PREPAR AV2_Fundamentos de Matematica

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Fundamentos de Matemática
José Carlos Rocha, Vicente Eudes
Pedro Henrique Casals 
Aula 7: Função do primeiro grau
Função afim ou função do primeiro grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Toda função do tipo f(x) = ax + b com a,b ϵ R e a≠0 é chama da de função do 1° grau ou função afim.
Exemplos: y = 3x + 5 , y = x – 2 , y = 3x ...
A função do 1° grau y = ax + b onde b=0 recebe o nome particular de função linear.
O gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Para construirmos o gráfico da função, precisamos representar dois pontos distintos desta no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles.
Basta que escolhamos dois valores diferentes de x e determinemos os valores correspondentes de y. 
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Raiz de uma função do primeiro grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
A raiz da função do 1° grau corresponde ao ponto pelo qual o gráfico da função intercepta o eixo x (eixo das abcissas). Para tanto, basta substituirmos y por zero na expressão da função.
Por exemplo: na função y = x + 1.
Fazendo y = 0, temos: 0 = x + 1; logo: x = -1 é a raiz.
Da mesma forma, a interseção da função com o eixo y (eixo das ordenadas) é obtida fazendo-se x = 0 na expressão da função.
Coeficiente linear e coeficiente angular de uma função do primeiro grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Observe o gráfico da função y = ax + b ao lado.
O parâmetro b é chamado de coeficiente linear (interseção com o eixo y) enquanto que o parâmetro a é chamado de coeficiente angular e é dado por:
Aula 8: Função do primeiro grau 
Estudo de sinal e inequações
Estudo do sinal da função do primeiro grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
A função do 1° grau f(x) = ax + b é dita crescente se, e somente se, a > 0 e é dita decrescente se, e somente se, a < 0 .
Exemplos: sejam as funções y1 = 2x - 3 , y2 = -2x – 4.
A função y1 é crescente porque o coeficiente de x (2) é positivo e a função y2 é decrescente porque o coeficiente de x (-2) é negativo. 
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Estudo da variação do sinal da função do primeiro grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Estudar o sinal da função do 1° grau f(x) = ax + b significa determinar os valores reais para os quais tenhamos y < 0, y = 0 e y > 0. 
Sabemos que, se y = 0, então x = -b/a; portanto, para conhecermos os valores de x para os quais y < 0 ou y > 0, devemos considerar o valor do coeficiente angular a.
Quando a > 0, a função é crescente e teremos:
y < 0 (função negativa) para x < -b/a e y > 0 (função positiva) para x > -b/a.
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Estudo da variação do sinal da função do primeiro grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Se a < 0, a função é decrescente. Neste caso, teremos:
y < 0 (função negativa) para x > -b/a e y > 0 (função positiva) para x < -b/a.
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Inequações: inequação produto
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Considere as funções quaisquer do 1° grau f(x) e g(x) com x ϵ R, chamamos de inequação produto a toda inequação da forma: 
f(x).g(x) > 0 ou f(x).g(x) < 0
Por exemplo: seja a inequação produto (2x + 4).(6 – 3x) > 0.
Estudando a variação do sinal das funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = 6 – 3x, teremos:
f(x) = 2x + 4:. a > 0 e x = -2 se y = 0; logo, f(x) é positiva para x > -2 e negativa para x < -2.
g(x) = 6 – 3x:. a < 0 e x = 2 se y = 0; logo, g(x) é positiva para x < 2 e negativa para x > 2.
A tabela abaixo mostra os sinais das funções e de seu produto.
Verificamos, então, que f(x).g(x) é positiva apenas quando -2 < x < 2.
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Inequações: inequação quociente
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Considere as funções quaisquer do 1° grau f(x) e g(x) com x ϵ R, chamamos de inequação quociente a toda inequação da forma: 
f(x)/g(x) > 0 ou f(x)/g(x) < 0, com g(x) não identicamente nula.
Por exemplo: seja a inequação quociente (2x + 4)/(6 – 3x) < 0.
Estudando a variação do sinal das funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = 6 – 3x, teremos:
f(x) = 2x + 4:. a > 0 e x = -2 se y = 0; logo, f(x) é positiva para x > -2 e negativa para x < -2.
g(x) = 6 – 3x:. a < 0 e x = 2 se y = 0; logo, g(x) é positiva para x < 2 e negativa para x > 2.
A tabela abaixo mostra os sinais das funções e de seu quociente.
Verificamos, então, que f(x)/g(x) é negativa apenas quando x < -2 e x > 2.
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Aula 9: Função de segundo grau
Função quadrática ou função do segundo grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com (a,b,c) ϵ R e a≠0 é chamada de função do 2° grau ou função quadrática.
Exemplo: y = 3x2 + 2x - 2
O gráfico de uma função y = ax2 + bx + c é uma parábola. 
Considerando a parábola y = ax2 + bx + c, se a > 0, a parábola possui concavidade para cima e se a < 0, a parábola possui concavidade para baixo. 
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Pontos notáveis da parábola
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Alguns pontos da parábola merecem destaque, porque facilitam a construção do gráfico da função de 2° grau: 
Pontos de interseção com o eixo X: Para obtê-los, basta atribuir valor zero a y e resolver a equação resultante 0 = ax2 + bx + c
Utilizando a fórmula de Bhaskara: onde
Observe que:
Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas x1 e x2 ;
Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes iguais (x1 = x2 );
Se ∆ < 0, não haverá raízes reais e a parábola não terá ponto comum com o eixo x.
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Aula 10: Função de segundo grau
Máximos e mínimos
Máximo e mínimo de uma função
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Seja f uma função real de variável real, dizemos que a função f admite um valor máximo se, e somente se, existe um xmax ϵ D(f) tal que f(xmax) > f(x) para todo e qualquer x ϵ D(f). 
O valor f(xmax) é chamado de valor máximo da função f e o número xmax é chamado de ponto máximo da função f.
Seja f uma função real de variável real, dizemos que a função f admite um valor mínimo se, e somente se, existe um xmin ϵ D(f) tal que f(xmin) < f(x) para todo e qualquer x ϵ D(f). 
O valor f(xmin) é chamado de valor mínimo da função f e o número xmin é chamado de ponto mínimo da função f.
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Conceito de máximo e mínimo aplicado à função do 2° grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Seja f uma função real de variável real tal que f(x) = ax2 + bx + c, com {a, b, c} ϵ R e a ≠ 0.
f admite valor máximo se a < 0 e o valor máximo será dado por 
 com ponto de máximo dado por
f admite valor mínimo se a > 0 e o valor mínimo será dado por 
 com ponto de mínimo dado por
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Variação do sinal de uma função do 2° grau
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
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Aula 11: Função Exponencial
Função exponencial
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
As funções exponenciais são utilizadas na representação de situações nas quais a taxa de variação é considerada grande. Por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, no desenvolvimento de bactérias ou micro-organismos ou, ainda, no crescimento populacional.
As regras de potencialização auxiliam na resolução dos problemas que envolvem funções exponenciais.
Função exponencial é qualquer função real de variável real da forma f(x) = ax 
Com a > 0 e a ≠ 1.
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Gráficos da função exponencial
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Se a > 1, a função é crescente e se 0 < a < 1, a função é decrescente.
Os gráficos não intersectam o eixo X porque as funções não se anulam, qualquer que seja o valor de x.
Os valores da função exponencial são todos positivos para qualquer valor de x.
Uma desigualdade de membros positivos não se alteram quando elevamos ambos os membros ao mesmo expoente positivo, mas mudam de sentido quando o expoente é negativo.
Para resolvermos uma inequação exponencial, precisamos encontrar potências de mesma base para que os expoentes possam ser operados como inequações.
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Aula 12: Função Logarítmo
Função logaritmo e suas propriedades
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Sejam a e b dois números reais positivos e b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b ao expoente x tal que bx = a e escrevemos: logb a = x.
Propriedades:
loga a = 1		loga 1 = 0		loga am = m
alogab = b		loga bc = loga b + loga cloga (b/c) = loga b - loga c
loga bm = m.loga b
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Gráficos da função logarítmica
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo dos X no ponto (1,0);
Quando a base é maior do que 1, os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números entre 0 e 1 têm logaritmos negativos;
Quando a base é menor do que 1, os números maiores do que 1 têm logaritmos negativos e os números entre 0 e 1 têm logaritmos positivos.
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