AP1 Calculo2 Gabarito

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1a Avaliação Presencial Data: 21/05/2016
Disciplina:Cálculo II Professora:Beatriz Ribeiro
Aluno(a): SUGESTÃO DE SOLUÇÃO
Questão 1 (6 Pontos): Calcule a integral
∫ (
2x2 +
1
x4
−√x+ ex
)
dx.
Resolução
Temos que:
I =
∫ (
2x2 +
1
x4
−√x+ ex
)
dx =
∫
2x2dx+
∫
1
x4
dx−
∫ √
xdx+
∫
exdx
Agora, podemos fazer cada integral separadamente:∫
2x2dx = 2
∫
x2dx = 2 · x
3
3
+ C
∫
1
x4
dx =
∫
x−4dx =
x−3
−3 + C = −
x−3
3
+ C
−
∫ √
xdx = −
∫
x1/2dx = −x
3/2
3/2
+ C = −2
3
x3/2 + C = −2
3
√
x3 + C∫
exdx = ex + C
Portanto:
I =
2
3
x3 − 1
3x3
− 2
3
√
x3 + ex + C
Questão 2 (8 Pontos): Calcule a integral
∫
cos x√
4− sen2x dx.
Resolução
Fazendo a mudança de variáveis u = sen x, temos que du = cos x dx. Assim:
I =
∫
cos x√
4− sen2x dx =
∫
1√
4− u2 du
(Nesse ponto, quem usou que essa integral é arcsen
u
2
+ C e voltou para a variável x já levou total na questão, mas vamos
terminá-la.)
Agora, uma nova mudança: u = 2 senθ, donde du = 2cosθ dθ:
I =
∫
1√
4− u2 du =
∫
2cosθ√
4− 4sen2θ dθ =
∫
2cosθ√
4(1− sen2θ) dθ =
∫
2cosθ
2
√
1− sen2θ dθ =
∫
cosθ√
1− sen2θ dθ
Como sen2θ + cos2θ = 1, segue que 1− sen2θ = cos2θ, assim:
I =
∫
cosθ√
1− sen2θ dθ =
∫
cosθ√
cos2θ
dθ =
∫
cosθ
cosθ
dθ =
∫
dθ = θ + C
Como u = 2 senθ, segue que θ = arcsen
u
2
. Mas a primeira mudança foi u = sen x, donde:
I = θ + C = arcsen
u
2
+ C = arcsen
(sen x
2
)
+ C
Questão 3 (8 Pontos): Calcule a integral
∫ −8x
x3 − 3x2 − x+ 3 dx.
Resolução
Temos que 13− 3 · 12− 1+ 3 = 0, donde 1 é raiz de x3− 3x2− x+3. Assim, x3− 3x2− x+3 é divisível por x− 1. Efetuando a
divisão, temos: x3− 3x2− x+3 = (x− 1)(x2− 2x− 3) = (x− 1)(x+1)(x− 3) (já que é fácil encontrar raiz de equação de 2o grau).
Assim:
I =
∫ −8x
x3 − 3x2 − x+ 3 dx =
∫ −8x
(x− 1)(x+ 1)(x− 3) dx =
∫
A
x− 1 +
B
x+ 1
+
C
x− 3 dx
Agora:
A = lim
x→1
−8x
(x+ 1)(x− 3) =
−8
2 · (−2) = 2
B = lim
x→−1
−8x
(x− 1)(x− 3) =
8
(−2)(−4) = 1
C = lim
x→3
−8x
(x− 1)(x+ 1) =
−24
2 · 4 = −3
Logo:
I =
∫
2
x− 1 +
1
x+ 1
+
−3
x− 3 dx = 2ln|x− 1|+ ln|x+ 1| − 3ln|x− 3|+ C
Questão 4 (8 Pontos): Calcule a integral
∫
ln2 x dx.
Resolução
Vamos usar integração por partes.
Sejam u = ln2 x e dv = dx. Assim, du =
2 lnx
x
dx e v = x, donde:
I =
∫
ln2 x dx = x ln2 x−
∫
x
2 lnx
x
dx = x ln2 x− 2
∫
lnx dx
Você poderia lembra que
∫
lnx dx = x(lnx− 1) + C ou fazer a conta por partes de novo:
Sejam u = lnx e dv = dx. Então, du =
1
x
dx e v = x, donde:∫
lnx dx = x lnx−
∫
x
1
x
dx = x lnx−
∫
dx = x lnx− x+ C = x(lnx− 1) + C
Portanto:
I = x ln2 x− 2x(lnx− 1) + C = x(ln2 x− 2 lnx− 2) + C
Questão 5 (10 Pontos):
a) Determine as antiderivadas de cossec2x e de sec2x.
b) Usando o item a), calcule a integral
∫
(tg 2x+ cotg 2x)2 dx.
Atenção: no item b), não é permitido usar as fórmulas de redução.
Resolução
a) Como a derivada de tg x é sec2x e a derivada de cotg x é −cossec2x, segue que∫
sec2x dx = tg x+ C e
∫
cossec2x dx = −cotg x+ C
b) Primeiro, vemos que:
I =
∫
(tg 2x+ cotg 2x)2 dx =
∫
(tg22x+ 2tg x cotg x+ cotg22x) dx
Agora, temos que: 1 + cotg2x = cossec2x e 1 + tg2x = sec2, donde cotg2x = cossec2x− 1 e tg2x = sec2x− 1. Assim:
I =
∫
(sec22x+ 2tg x cotg x+ cossec22x− 2) dx =
∫
sec22x dx+ 2
∫
tg x cotg x dx+
∫
cossec22x dx−
∫
2 dx
Usando o item (a) e lembrando ainda que tg x · cotg x = 1, temos:
I =
tg 2x
2
− cotg 2x
2
+ C