Provas de Calculo com gabarito

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade Esta´cio de Sa´
1a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo Diferencial Integral I – 1o per´ıodo de 2014
Nome:
Matr´ıcula:
1a Questa˜o (3.0 pontos): Considerando a func¸a˜o f(x) = 2x3 − 4x2 − x + 1, cujo gra´fico pode ser visto na
Figura 1, responda as questo˜es dos itens abaixo, justificando sua resposta:
- 2 -1 1 2
x
- 3
- 2
-1
1
2
f H x L
Figura 1: Gra´fico de f(x).
(a) Determine a equac¸a˜o da reta
tangente no ponto (1,−2) (mar-
cado no gra´fico da Figura 1).
(b) Na Figura 1, fac¸a um esboc¸o do
gra´fico da reta tangente no ponto
(1,−2).
(c) Determine a equac¸a˜o da reta nor-
mal no ponto (1,−2) (marcado
no gra´fico da Figura 1).
2a Questa˜o (2.0 pontos): Determine a derivada de f(x) = 3 cos(x) sen (x).
3a Questa˜o (1.0 pontos): A Lei de Boyle para a expansa˜o de um ga´s e´ PV = C, onde P e´ a pressa˜o (Kg/m2),
V e´ o volume (m3) do ga´s e C uma constante. Num certo instante t, a pressa˜o e´ P = 150 Kg/m2 e o volume e´
V = 1, 5 m3. Neste mesmo instante t, sabemos que o volume esta´ crescendo a uma taxa dVdt = 1 m
3/min. Ache
a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o neste instante (isto e´, ache dPdt ).
4a Questa˜o (2.0 pontos): Usando o teste da derivada segunda, encontre os ma´ximos e mı´nimos relativos da
func¸a˜o f(x) = 13x
3 + 92x
2 + 8x− 10.
5a Questa˜o (2.0 pontos): Uma part´ıcula se move ao longo da curva s(t) = t3 − 5t2 + 7t− 3.
(a) Determine a func¸a˜o v(t) que fornece a velocidade da part´ıcula (em m/s) e determine os instantes em que
v(t) = 0.
(b) Calcule a acelerac¸a˜o nos instantes em que a velocidade e´ igual a zero.
Universidade Esta´cio de Sa´
1a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo Diferencial Integral I – 1o per´ıodo de 2014
GABARITO
1a Questa˜o (3.0 pontos):
(a) A Equac¸a˜o da Reta tangente a` curva f no ponto (x0, y0) e´ dada por
y − y0 = f ′(x0)(x− x0).
O ponto (x0, y0) = (1,−2) e´ dado na questa˜o. Precisamos, enta˜o, calcular f ′(x0). Assim, determinando-se
a derivada de f , temos
f ′(x) = 6x2 − 8x− 1.
E,
f ′(x0) = f ′(1) = 6 · (1)2 − 8 · 1− 1 = 6− 8− 1 = −3.
Logo, a Equac¸a˜o da Reta Tangente e´
y − (−2) = −3(x− 1)
y + 2 = −3x + 3− 2
y = −3x + 1.
(b) Precisamos de dois pontos para trac¸armos a reta tangente a f . Ja´ temos um deles dado pelo problema, ou
seja, (1,−2). O outro, podemos encontrar fazendo x = 0 na Equac¸a˜o da Reta Tangente. Assim,
x = 0 =⇒ y = −3 · 0 + 1 =⇒ y = 1 =⇒ (0, 1).
A Figura a seguir mostra o esboc¸o do gra´fico.
- 2 -1 1 2
- 3
- 2
-1
1
2
(c) A Equac¸a˜o da Reta Normal a` curva f e´ dada por
y − y0 = − 1
f ′(x0)
(x− x0).
Assim,
y − (−2) = −1−3(x− 1)
y + 2 =
1
3
x− 1
3
y =
1
3
x− 1
3
− 2
y =
1
3
x− 7
3
.
2a Questa˜o (2.0 pontos):
Para resolver esta questa˜o, utilize a propriedade da derivada do produto de duas func¸o˜es, isto e´,
(u · v)′ = u · v′ + v · u′.
Assim,
f(x) = 3 cos(x) sen (x) = 3u · v.
u = cos(x) =⇒ u′ = − sen (x)
v = sen (x) =⇒ v′ = cos(x)
E, para f ′(x) temos
f ′(x) = 3(u · v)′
f ′(x) = 3(u · v′ + v · u′)
f ′(x) = 3[cos(x) cos(x) + sen (x)(− sen (x))]
f ′(x) = 3[cos2(x)− sen 2(x)] (poderia deixar a resposta assim)
f ′(x) = 3 cos(2x).
3a Questa˜o (1.0 pontos): Derivando-se a equac¸a˜o da Lei de Boyle em relac¸a˜o ao tempo, temos
d
dt
(PV ) =
d
dt
(C)
P · dV
dt
+ V · dP
dt
= 0
150 · 1 + 1, 5 · dP
dt
= 0
dP
dt
= −150
1, 5
dP
dt
= −100 Kg/m2 por minuto.
Obs.: A pressa˜o decresce a` medida que o volume cresce.
4a Questa˜o (2.0 pontos):
1o Passo: f ′(x) = x2 + 9x + 8.
2o Passo: f ′(x) = 0
x2 + 9x + 8 = 0
∆ = b2 − 4ac = (9)2 − 4 · 1 · 8 = 81− 32 = 49.
x =
−b±√∆
2a
=
−9± 7
2
=⇒ x1 = −1 ou x2 = −8.
3o Passo: f ′′(x) = 2x + 9.
4o Passo: Teste da Derivada 2a
f ′′(x1) = 2(−1) + 9 = −2 + 9 = 7 > 0 =⇒ pto. mı´n. relativo em x = −1.
f ′′(x2) = 2(−8) + 9 = −16 + 9 = −7 < 0 =⇒ pto. ma´x. relativo em x = −8.
O gra´fico abaixo mostra a curva f e os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos encontrados.
5a Questa˜o (2.0 pontos):
(a)
v(t) = s′(t)
v(t) = 3t2 − 10t + 7
v(t) = 0
3t2 − 10t + 7 = 0
∆ = b2 − 4 · a · c
= (−10)2 − 4 · 3 · 7
= 100− 84
= 16
t =
10± 4
2 · 3 =⇒ t1 = 1 s ou t2 =
7
3
s ≈ 2, 33 s.
(b)
a(t) = v′(t)
a(t) = 6t− 10
a(t1) = a(1) = 6− 10 = −4 m/s2
a(t2) = a
(
7
3
)
= 6 · 7
3
− 10 = 2 · 7− 10 = 4 m/s2