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CALCULO DIFERENCIAL 2.docx

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Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
	
	y = 2x - 4
	
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) (   ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k   em t = t0  é   uma   reta   que   passa   pelo   ponto   P(x(t0),y(t0),z(t0)    paralela ao vetor  v(t) = x'(t0)i  + y'(t0)j + z'(t0)k.             
 2) (   ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0)
3) (   ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é:
T= v(t)|v(t)|.
4) (   )  O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por           
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) (   )  A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt|
	1) (V)                2) (V)                     3) (V)                    4) (F)                  5) (V)
	
	O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s.
	
	12i+2j
	
	Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
	
	a
	
	Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
	
	0,25i + 7j + 1,5k
	
	Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
	
	(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
	
	Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:
	
	O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
	
	Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
	
	27/2
	
	Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
	
	125
	
	Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
	
	2j
	
	Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
	
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
	O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s.
	
	12i+2j
	
	Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente.  Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
	
	0 e 0
	
	Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
	
	4,47
	
	Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
	
	V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
	
	Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)
	
	-2
	
	Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
	
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
	
	125
	
	Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	
	1/6
	
	Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
	
		2sent i - cost j + t2 k + C
	
	Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y
	
	fx=e3y e fy=3xe3y
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
	
	i + j + k
	
	Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente.  Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
	
	0 e 0
	
	Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
	
	4,47
	
	Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
	
	V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
	
	Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost.
	
	2/t + 2bcotgt + tgt
	
	Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-zno ponto P0(-1,-1,-1)
	
	∇f=<-e,-e,-e>
	
	Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
	
	1/2(e-1)(e6-1)
	
	O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale:
	
	9x -6y
	
			Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para  coordenadas polares vamos obter:
	
	( 2, π/6)
	
		Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) (   ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k   em t = t0  é   uma   reta   que   passa   pelo   ponto   P(x(t0),y(t0),z(t0)    paralela ao vetor  v(t) = x'(t0)i  + y'(t0)j + z'(t0)k.             
 2) (   ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0)
3) (   ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é:
T= v(t)|v(t)|.
4) (   )  O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por           
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) (   )  A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt|
 
	
1) (V)                2) (V)                     3) (V)                    4) (F)                  5) (V)
		Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
	
	y = 2x - 4
	
		Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
	
	2j
	
		Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
	
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
	
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
		O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:
	
	(0, -1, 1)
	
		Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y
	
	fx=e3y e fy=3xe3y
	
		Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
	3
	
		Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente.  Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
	0 e 0
	
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
i + j + k
		Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
		O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s.
	12i+2j
	
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
	(1-cost,sent,0)
	
		Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
	r =3 tg θ . sec θ
	
		Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
	f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
	
		Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y +
∂F/∂z é igual a
	
	0
	
		A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordena
as polares é dada por:
	
		r = 3
	
		Encontre a derivada parcial fy    se f(x,y) = y.senxy.
	
	xy.cosxy + senxy
	
		Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y.
	
	z / (yz - 1)
	
		Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade 
:
	
	V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
	
		Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
	
	0,25i + 7j + 1,5k
	
		Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
	
	4,47
	
		Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivaçã
 implícita.
	
	(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
	
		1.
		Encontre dwdt se: w = x.y + z,
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0?
	
	
	2
	
		Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost.
	
	2/t + 2bcotgt + tgt
	
		Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
	
		Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)
	
	-2
	
		ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	xy cos xy + sen xy
	
		O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está:
	
	Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0).
	
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
	
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
		Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz
	
	1
	
		Marque apenas a alternativa correta:
	
	Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3.
	
		Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	11
	
		Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1):
	
	½ ua
	
		Determine as derivadas de primeira ordem da função:
 f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
		
	
	fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z,  fz = 2y
	
	27/2
	
		Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
	
	8(u.v.)
	
		O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale:
	
	9x -6y
	
		Marque apenas 
 alternativa correta:
	
	Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3.
	
	9/2 u.v
	
		Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y.
	
	fx = 2x(1 + y);   fy = 2y + x2
	
		O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale:
	
	288π
	
		Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo.
	
10 e 10
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
		A função f(t) é contínua para t = 0;
A função g(t) é descontínua para t = 0;
A função h(t) não possui imagem para t = pi/6;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
	
	I e II
	
		Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz.
	
	1
	
		Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i + (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1).
	
-6
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	2π
	
		Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a:
	2
	
		Calcule a integral dupla:
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx
	70/3
	
		Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y )
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	
		Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}.
	
	
15pi/4
		Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
	(0,-1,2)
	
		Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
Integrando temos:
	(sent)i + t4j
	
		Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	1/6
	
Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t  e y=6e4t indique a única expressão correta na forma y=f(x):
	y=6x2,  x>0
	
		Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto?
	8i ⃗+5j ⃗ e √89
	
		Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo.
	80 e 40
	
		Encontre as derivadas parciais da função ln(xyz)
	df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z
	
		Considere a função F(x,y,z) = 
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
O divergente da função F(x,y,z) vale:
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3)
		O vetor gradiente da função f(x,y,z) = xy2z3 no ponto P = (3; -2; 1) terá módulo, aproximadamente:
	38,16
	
		Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a
	cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ)
	
		Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x).
	3/2 e 0
	
		Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante pelos planos y=0, z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4.
	26/3
	
		Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2).
	64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
	
		Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1).
	-7/2
	
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	9((rcos(θ))2+16r2=400
	
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
	(c)
	
		O valor da integral é
	-1/12
	
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
	9/2
	
		Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2  dada por x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento
28/9
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
25, 33
		Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira .
 
	-6
	
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2
j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
	3t2 i  + 2t j
	
		Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y - y3)j no ponto (1,1).
	2
	
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	1,3,4
	
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são:
	v = (4; 16)
	
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	8π2

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