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Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ y = 2x - 4 Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: T= v(t)|v(t)|. 4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s. 12i+2j Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 a Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 0,25i + 7j + 1,5k Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62) 27/2 Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 125 Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 2j Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. r'(t)=v(t)=12i - j O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s. 12i+2j Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 0 e 0 Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 4,47 Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1) -2 Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 125 Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. Considerar F(x, y, z) = 1. 1/6 Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 2sent i - cost j + t2 k + C Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y fx=e3y e fy=3xe3y O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k i + j + k Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 0 e 0 Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 4,47 Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 2/t + 2bcotgt + tgt Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-zno ponto P0(-1,-1,-1) ∇f=<-e,-e,-e> Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos R= [0,1]x[0,3]. 1/2(e-1)(e6-1) O divergente de F(x, y) = (4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 9x -6y Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: ( 2, π/6) Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: T= v(t)|v(t)|. 4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ y = 2x - 4 Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 2j Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1. r'(t)=v(t)=12i - j Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 2sent i - cost j + t2 k + C O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: (0, -1, 1) Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y fx=e3y e fy=3xe3y Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 3 Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 0 e 0 O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k i + j + k Encontrando Derivadas. Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s. 12i+2j Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. (1-cost,sent,0) Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por r =3 tg θ . sec θ Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 0 A circunferência \(x ^2+y ^2 = 9\) em coordena as polares é dada por: r = 3 Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. xy.cosxy + senxy Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. z / (yz - 1) Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade : V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 0,25i + 7j + 1,5k Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 4,47 Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivaçã implícita. (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 1. Encontre dwdt se: w = x.y + z, x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 2 Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 2/t + 2bcotgt + tgt Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62) Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1) -2 ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy xy cos xy + sen xy O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz 1 Marque apenas a alternativa correta: Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3. Calcule o limite de: lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 11 Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): ½ ua Determine as derivadas de primeira ordem da função: f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z, fz = 2y 27/2 Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 8(u.v.) O divergente de F(x, y) = (4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 9x -6y Marque apenas alternativa correta: Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3. 9/2 u.v Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y. fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x2 O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 288π Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 10 e 10 Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: A função f(t) é contínua para t = 0; A função g(t) é descontínua para t = 0; A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; Encontramos afirmativas corretas somente em: I e II Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz. 1 Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i + (6x.y.z - 3y2)j no ponto (0,1,1). -6 Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 2π Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a: 2 Calcule a integral dupla: ∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx 70/3 Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) (3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 15pi/4 Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. (0,-1,2) Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, Integrando temos: (sent)i + t4j Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. Considerar F(x, y, z) = 1. 1/6 Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4t indique a única expressão correta na forma y=f(x): y=6x2, x>0 Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto? 8i ⃗+5j ⃗ e √89 Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo. 80 e 40 Encontre as derivadas parciais da função ln(xyz) df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). O divergente da função F(x,y,z) vale: 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) O vetor gradiente da função f(x,y,z) = xy2z3 no ponto P = (3; -2; 1) terá módulo, aproximadamente: 38,16 Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x). 3/2 e 0 Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante pelos planos y=0, z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4. 26/3 Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). -7/2 Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 9((rcos(θ))2+16r2=400 Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k Podemos concluir que a) as aeronaves não colidem. b) as aeronaves colidem no instante t=2 c) as aeronaves colidem no instante t=5 d) as aeronaves colidem no instante t=3 e) as trajetórias não se interceptam (c) O valor da integral é -1/12 Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 9/2 Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 28/9 Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 25, 33 Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira . -6 O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 3t2 i + 2t j Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y - y3)j no ponto (1,1). 2 A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Considere as funções: 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas: 1,3,4 As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são: v = (4; 16) Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 8π2
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