Aula Capítulo 04, Beer e Johnston - Mecânica Vetorial para Engenheiros

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Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ
Disciplina: Estat´ıstica
Prof. Anna Regina Corbo
CAPI´TULO 4: Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Uma varia´vel aleato´ria e´ cont´ınua se o conjunto de poss´ıveis valores da V.A. e´ um intervalo
de nu´meros reais.
Ex.: Temperatura, Peso, Voltagem.
Definic¸a˜o 1: Para uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X, uma func¸a˜o densidade de probabili-
dade e´ uma func¸a˜o tal que:
1. f(x) > 0 para todo x.
2.
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
3. P (a 6 X 6 b) =
∫ b
a
f(x)dx
A func¸a˜o densidade de probabilidade f(x) e´ usada para calcular uma a´rea que representa
a probabilidade de X assumir um valor em [a, b].
Mas qual e´ o valor de P (X = a), para um valor qualquer de a (probabilidade pontual)?
Note que P (X = a) = P (a 6 X 6 a) =
∫ a
a
f(x)dx = 0.
Deste modo, temos
P (x1 6 X 6 x2) = P (x1 < X < x2)
Exemplo 1
Seja f(x) = 1, 5x2 para −1 < x < 1, uma func¸a˜o densidade de probabilidade. Determine:
a) P (X > 0)
b) P (−0, 5 6 X 6 0, 5)
c) P (X < −2)
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1 Me´dia e Variaˆncia de uma VA cont´ınua
Definidas de modo similar a`s VA discretas. No entanto, utilizamos a generalizac¸a˜o dos so-
mato´rios: a integral.
Suponha que X seja uma V.A. cont´ınua com func¸a˜o densidade de probabilidade f(x). A
Me´dia ou Valor Esperado de X e´ dada por:
µ = E[X] =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
A Variaˆncia de X e´ dada por:
σ2 = V [X] =
∫ ∞
−∞
(x− µ)2f(x)dx
O Desvio-padra˜o de X e´
σ =
√
V [X]
Exemplo 2
O tamanho (em microˆmetros) de uma part´ıcula e´ modelada pela func¸a˜o densidade:
f(x) = 2x−3, para x > 1.
Determine a me´dia de X.
2 Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Cumulativa
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o de uma VA cont´ınua X e´ dada por:
F (x) = P (X 6 x) =
∫ x
−∞
f(t)dt , para −∞ < x <∞.
De acordo com esta definic¸a˜o, podemos determinar a func¸a˜o densidade de uma VA
cont´ınua a partir de uma diferenciac¸a˜o da func¸a˜o distribuic¸a˜o, ou seja,
f(x) =
d
dx
F (x)
Exemplo 3
O tempo ate´ que uma reac¸a˜o qu´ımica esteja completa e´ aproximado pela func¸a˜o de distri-
buic¸a˜o:
F (x) =
{
0, x < 0
1− e−0,01x, x > 0
a) Determine a func¸a˜o densidade de X.
b) Que proporc¸a˜o de reac¸o˜es e´ completada em 200ms?
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3 Principais distribuic¸o˜es de probabilidade cont´ınuas
3.1 Distribuic¸a˜o Uniforme Cont´ınua
Uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X definida em [a, b] tem distribuic¸a˜o uniforme se sua
func¸a˜o densidade e´ do tipo:
f(x) =
1
b− a, para a 6 x 6 b.
Graficamente, temos:
Neste caso, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o da VA cont´ınua X e´ dada por:
F (x) =
∫ x
a
1
b− adx =
x− a
b− a
Ou seja,
F (x) =

0, se x < a
x− a
b− a , se a 6 x 6 b
1, se x > b
Graficamente,
Notac¸a˜o: X ∼ Unif [a, b].
Exemplo 4
X: corrente ele´trica em miliamperes (mA).
X e´ VA cont´ınua definida em [0, 20mA] com distribuic¸a˜o uniforme.
Qual a probabilidade da medida da corrente estar entre 5mA e 10mA?
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3.2 Distribuic¸a˜o Exponencial
Uma varia´vel aleato´ria tem uma distribuic¸a˜o exponencial com paraˆmetro λ > 0 se a
func¸a˜o densidade de X e´:
f(x) = λe−λx, para 0 6 x <∞
onde λ e´ a “contagem de Poisson” me´dia do modelo.
Observac¸a˜o: Modelo utilizado quando a probabilidade de uma determinada VA e´ alta no
in´ıcio mas decai exponencialmente no intervalo determinado.
Notac¸a˜o: X ∼ Exp(λ)
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por:
F (x) = P (X 6 x) =
∫ x
−∞
f(t)dt =
∫ x
0
f(t)dt =
∫ x
0
λe−λtdt = −e−λx + e−λ·0 = 1− e−λx
Ou seja:
F (x) = 1− e−λx
Se a varia´vel aleato´ria X for exponencialmente distribu´ıda, com paraˆmetro λ, enta˜o:
E[X] =
1
λ
e V [X] =
1
λ2
onde E[X] e´ a distaˆncia (ou tempo) ate´ a pro´xima resposta favora´vel.
Exemplo 5
Numa rede de computadores, as conexo˜es sa˜o exponencialmente distribu´ıdas com me´dia de
25 conexo˜es por hora. Qual e´ a probabilidade de na˜o haver conexo˜es em um intervalo de 6
minutos, a partir do instante em que as conexo˜es sa˜o iniciadas?
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3.3 Distribuic¸a˜o Normal (ou Distribuic¸a˜o Gaussiana)
Uma varia´vel aleato´ria X, com func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =
1√
2piσ
e−(x−µ)
2upslope2σ2 , para −∞ < x <∞
tem uma distribuic¸a˜o normal com paraˆmetros µ e σ2 onde E[X] = µ e V [X] = σ2.
Notac¸a˜o: X ∼ N(µ, σ2).
(a) Curva mais estreita: X ∼ N(µ, σ2 = 1) (b) Curva mais larga: X ∼ N(µ, σ2 = 4)
O gra´fico da densidade normal e´ uma curva sime´trica centrada em µ e com largura pro-
porcionalmente definida pelo valor de σ2.
No entanto, a func¸a˜o densidade normal na˜o possui uma forma exata para a integral. Deste
modo, na˜o e´ poss´ıvel determinar uma expressa˜o para a func¸a˜o distribuic¸a˜o F . Neste caso, na
func¸a˜o distribuic¸a˜o do modelo normal a probabilidade acumulada e´ calculada numericamente
ou atrave´s de tabelas.
Definic¸a˜o 2: Uma varia´vel aleato´ria normal com µ = 0 e σ2 = 1 e´ dita uma varia´vel
aleato´ria normal padra˜o e e´ denotada por Z. Seu ca´lculo e´ feito com o aux´ılio da
“Tabela de Distibuic¸a˜o Normal Padra˜o”.
Definic¸a˜o 3: A func¸a˜o distribuic¸a˜o cumulativa de uma varia´vel aleato´ria normal padra˜o e´
denotada por:
F (z) = P (Z 6 z)
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Exemplo 6
Calcular as probabilidades abaixo, com o aux´ılio da “Tabela de Distibuic¸a˜o Normal Padra˜o”:
a) P (Z < 1, 26)
b) P (Z < −1, 37)
c) P (−1, 25 < Z < 0, 37)
3.3.1 Padronizac¸a˜o
No entanto, na maioria das vezes em que a varia´vel aleato´ria X e´ normal, ela na˜o e´ padra˜o.
Ou seja, X e´ normal com E[X] = µ e V [X] = σ2, para µ e σ quaisquer. Neste caso, a
varia´vel aleato´ria:
Z =
X − µ
σ
sera´ uma VA normal com E[Z] = 0 e V [Z] = 1. Ou seja, Z e´ VA normal padra˜o e seu
ca´lculo pode ser feito com o aux´ılio da tabela correspondente.
Exemplo 7
Medida da corrente em um fio tem distribuic¸a˜o normal, com me´dia de 10mA e desvio-padra˜o
de 2mA.
a) Qual e´ a probabilidade da medida exceder 13mA?
b) Qual e´ a probabilidade da medida da corrente estar entre 9 e 11mA?
c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar
abaixo deste valor seja 0, 98.
3.3.2 Gra´fico de Probabilidade Normal
Como sabemos se uma distribuic¸a˜o normal e´ um modelo razoa´vel para os dados? O gra´fico
de probabilidade e´ um me´todo para determinar se os dados da amostra obedecem a uma
distribuic¸a˜o hipote´tica, baseada no exame visual subjetivo dos dados.
Uma forma simples de realizar esta ana´lise e´ utilizando um histograma de frequeˆncias
relativas, conforme vimos no Cap´ıtulo 1. Se a forma do histograma “parecer” a forma da
curva de densidade normal, enta˜o aceitamos a normalidade dos dados.
Exemplo 8
Amostra acerca do tempo de vida de baterias usadas em computadores, em minutos: 176,
191, 214, 220, 205, 192, 201, 190, 183 e 185. Podemos considerar esta amostra normalmente
distribu´ıda?
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