Exercícios de Equações Diferenciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS A
HORA´RIO: 11:10 a`s 12:50 - 31/03/2005
1a. Avaliac¸a˜o
1. A populac¸a˜o de uma cidade satisfaz o modelo
dy
dt
= y(10−1 − 10−7y), y(0) = 5000
Aqui t e´ medido em meses. Qual o valor limite da populac¸a˜o? Em que instante a
populac¸a˜o sera´ a metade deste valor limite?
Link para a soluc¸a˜o.
2. Sabe-se que a populac¸a˜o de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao
nu´mero de pessoas presentes no instante t. A populac¸a˜o inicial de 500 cresce 15%
em 10 anos. Qual sera´ a populac¸a˜o em 30 anos.
Link para a soluc¸a˜o.
3. A taxa segundo a qual uma droga se difunde no fluxo sangu´ıneo e´ descrita por
dy
dt
= r − ky,
em que r e k sa˜o constantes positivas. Encontre a func¸a˜o y(t) que da´ a concentrac¸a˜o
da droga no sangue no instante t, sabendo-se que y(0) = 0. Qual o valor limite para
a concentrac¸a˜o?
Link para a soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o
1.
dy
dt
= y(10−1 − 10−7y)
1
y(10−1 − 10−7y)
dy
dt
= 1
1
y(10−1 − 10−7y)
=
A
y
+
B
10−1 − 10−7y
1 = A(10−1 − 10−7y) +By
Fazendo y = 0 obtemos A = 10 e y = 106 obtemos B = 10−6.
∫
1
y(10−1 − 10−7y)
dy = 10
∫
ydy + 10−6
∫
1
10−1 − 10−7y
dy
= 10 ln y − 10 ln |10−1 − 10−7y|
= 10 ln
∣∣∣∣ y10−1 − 10−7y
∣∣∣∣
A equac¸a˜o diferencial pode ser escrita como
d
dt
(
10 ln
∣∣∣∣ y10−1 − 10−7y
∣∣∣∣
)
= 1
ln
∣∣∣∣ y10−1 − 10−7y
∣∣∣∣ = 10−1t+ C1
y
10−1 − 10−7y
= ±eC1e10
−1t = Ce10
−1t
Substituindo-se t = 0 e y = 5000 obtemos C =
5 · 103
10−1 − 5 · 10−4
.
O valor limite da populac¸a˜o e´ um ponto de equil´ıbrio da equac¸a˜o diferencial. Por-
tanto yL = 10
6. Para y = 5 · 105 temos que
t = 10 ln
(
1
C
y
10−1 − 10−7y
)
= 10 ln
(
10−1 − 5 · 10−4
5 · 103
5 · 105
10−1 − 5 · 10−2
)
= 10 ln
9, 95
0, 05
≈ 53 meses
Link para a pro´xima questa˜o.
2.
y(t) = 500ekt
y(10) = 500 · 1, 15 = 500e10k
k =
1
10
ln 1, 15
y(30) = 500e30k = 500e30
1
10
ln 1,15 = 500 · (1, 15)3 = 760
Link para a pro´xima questa˜o.
3.
dy
dt
+ ky = r. (1)
Para resolveˆ-la precisamos determinar o fator integrante
µ(t) = e
∫
kdt = ekt
Multiplicando-se a equac¸a˜o (1) por µ(t) = ekt obtemos
d
dt
(ekty) = rekt
Integrando-se ambos os membros obtemos
ekty(t) =
r
k
ekt + C ou y(t) = Ce−kt +
r
k
Substituindo-se t = 0 e y = 0, obtemos
0 = Ce−k 0 +
r
k
⇒ C = −
r
k
Ou seja, a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
y(t) =
r
k
(1− e−kt).
lim
t→∞
y(t) =
r
k