Movimento

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Lições sobre
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
PARA ENGENHEIROS QUÍMICOS
João Jorge Ribeiro Damasceno
Faculdade de Engenharia Química
Universidade Federal de Uberlândia
Uberlândia, 2005
1
Sumário
I Transporte de Quantidade de Movimento em Fluidos 13
1 Conceitos Fundamentais 15
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Introdução à algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Teoremas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 A Caracterização dos Fluidos 29
2.1 Resposta a ação de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Resposta de Deformação de Corpos em Relação a Forças de Superfície 29
2.2 Reologia de Fluidos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Números Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 O experimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Linhas de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Equações da Continuidade e do Movimento 45
3.1 Movimento de um Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Equação da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Conservação do Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 A estática dos fluidos 59
4.1 Equacionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 O manômetro do tipo tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Manômetro do tipo tubo inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 O manômetro de Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.3 Manômetro de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Sistemas submetidos à Acelerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 A força de empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Distribuição de Velocidades 79
5.1 As simplificações da equação do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Escoamento Laminar Estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Escoamento Laminar Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Equação de Bernoulli 131
6.1 Dedução da equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5
6
7 Análise dimensional e similaridade 143
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 Dependência Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3 O teorema de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4 Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8 Escoamento em Tubulações 157
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2 Perda de Carga Distribuída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.1 Resolução de problemas do tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.2 Resolução de problemas do tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2.3 Resolução de problemas do tipo 3 - Cálculo de D . . . . . . . . . . . . 165
8.3 Cálculo da perda de carga em acidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.1 Comprimento equivalente (Le) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.2 Coeficiente de resistência do acidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.4 Cálculo da perda de carga total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.5 Equação geral de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9 Escoamento turbulento de fluidos puros 177
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2 Equações Médias Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3 Equações Empíricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3.1 Modelo da viscosidade turbilhonar de Boussinesq (1877) . . . . . . . . 183
9.3.2 Modelo do compremento de mistura de Prandtl(1925) . . . . . . . . . 184
9.3.3 Modelo da similaridade de von-Kármán (1930) . . . . . . . . . . . . . 186
9.3.4 Modelo de Deissler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Lista de Figuras
1.1 Volume de uma partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Propriedades da água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Forças de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Vetor Forção e Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Propriedades de um tensor (direção) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Produto escalar entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Deformação de um sólido sobre influência de uma força . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Deformação de um líquido viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Diagrama tensão-deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Diagrama reológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Reograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Fluido de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Viscosidade aparente de um Fluido de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Fluidos tipo power Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Fluidos psedoplásticos e dilatantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10 Fluido dilatante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Fluido pseudoplástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.12 Deslocamento de uma placa sólida sobre um fluido . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.13 Perfil de velocidade linear entre a placa móvel e o fluido . . . . . . . . . . . . 37
2.14 O experimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.15 Gráfico das linhas de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Descrição do movimento de um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Uma superfície qualquer envolvendo o volume de controle V . . . . . . . . . . 49
3.4 fluxo de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Sistema de divisão de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Duto de seção circular convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Tanque com alimentação e retirada de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1 Variação da pressão em um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Direção e sentido do aumento de pressão em um tanque . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Barômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Manômetro do tipo tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Manômetro tipo tubo em inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Manômetro de Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Manômetro de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8 Fluido em um recipiente parado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9 Força resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.10 Aceleração para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7
8
4.11 Aceleração para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.12 Forças que atuam no corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.13 Imersão do sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.14 Transporte do aquário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.15 Rotação de um vaso cilindrico em torno de seu eixo . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.16 Esquema do manômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.17 Medidor de Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.18 Esquema do medidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.19 Esquema do manômetro tipo tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.20 Placas paralelas com fluido no espaço interno entre elas . . . . . . . . . . . . . 76
4.21 Escoamento de um fluido de Binghan junto a uma placa vertical . . . . . . . . 76
4.22 equilibrio de forças através de pistões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.23 diferença de nível entre dois tanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.24 Diferença de pressão entre dois tanques conetados . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.25 Diferença de pressão entre tanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.26 Sistema de transmissão de pressão por pistões . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1 Escoamento inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Escoamento do filme líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Composição da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Escoamento inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Escoameno laminar em um tubo cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Cálculo da área infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.7 Escoamento em um espaço anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.8 Escoamento entre duas placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.9 Escoamento em um espaço anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.10 Escoamento sobre uma placa em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.11 Determinação de x e y como função de r e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.12 Função erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.13 Escoamento laminar transiente num tubo circular . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.14 Funções de Bessel de primeira e segunda espécies e ordem zero . . . . . . . . 122
5.15 Redução de diâmetro em um tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.16 Duto de duas faces porosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.17 Sistema água-querosene-mercúrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.18 Carro com aceleração constante para direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.19 Tanque com aceleração para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.20 Manômetro de líquidos múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.21 Manômetro com três líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.22 Manômetro liagdo a um tubo com escoamento de água . . . . . . . . . . . . . 128
5.23 Cubo de carvalho submerso em água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.24 Densímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.25 Transporte de um aquário num veículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.26 Dois fluidos newtonianos puros escoando num fino espaço entre duas placas . . 129
5.27 Reservatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1 Deslocamento entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Descarga de um recipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 O experimento de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4 O sifão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Capítulo0 Lista de Figuras 9
6.5 Placa de orifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.6 Bocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7 venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.8 Medida da queda de pressão entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.9 O tubo de pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.10 Pontos de tomada de pressão do tubo de pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.11 Duto inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.12 Medida de viscosidade por tubo de pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.13 Elemento cúbico de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.14 Sitema de expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.15 Sistema de sifão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.16 Sistema venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.1 Dependência funcional entre x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 Dependência funcional entre x, y e z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3 Rugosidade de um tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4 Escoamento de um fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.5 Típico gráfico que relaciona o fator de atrito com o número de Reynolds . . . . 148
8.1 Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.2 Versão a (F ×Re√F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.3 Versão b (1/
√
F ×Re√F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.4 Diagrama de von Kármán versão (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.5 Instalação para enchimento de tambores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.6 Curva característica de uma bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.7 Duto de seção anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.8 Transporte de solução ácida de uma torre de absorção . . . . . . . . . . . . . . 170
8.9 Transporte de solução ácida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.10 Esquema da instalação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.1 Escoamento laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2 Escoamento turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.3 Medida de velocidade utilizando um anemômetro de fio quente . . . . . . . . . 178
9.4 Médias temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.5 Subcamadas do escoamento turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.6 Localização de s em um duto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.7 Solução da equação de Deissler nas 3 regiões . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10
Lista de Tabelas
1.1 Ordem do tensor resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Situações físicas e aplicações das equações da continuidade . . . . . . . . . . . 50
5.1 Alguns valores da função erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3 Funções de BesselJ0(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4 Funções de Bessel J1(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 Comparação entre os três tipos de medidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
,
11
12
Parte I
Transporte de Quantidade de Movimento
em Fluidos
13
CAPÍTULO 1
Conceitos Fundamentais
1.1. Introdução
Corpo: porção finita de matéria contida numa dada porção do espaço.
Partícula ou ponto: menor porção de matéria de um corpo que preserva estatisticamente as
propriedades macroscópicas deste.
Massa específica: massa contida num dado volume,por unidade de volume.
ρ =
m
V
(1.1)
Vp - volume da partícula ou ponto.
ρ = lim
V→Vp
m
V
(1.2)
Propriedade: função que nas mesmas condições de medida apresenta sempre o mesmo valor,
independentemente da maneira com que tais condições foram alcançadas.
Em ambos os casos da figura 1.2 ρH2O(0
oC,1 atm) = 0, 9998681
g
cm3
. ρ é uma proprie-
dade do sistema.
Sistema: Porção do Universo que se deseja estudar.
Vizinhanças: O Universo a menos do sistema.
Variável intensiva: variável que independe do tamanho, (massa) do sistema. Exemplos:
• Temperatura - T
• Pressão - P
Figura 1.1: Volume de uma partícula
15
1.1 Introdução 16
Figura 1.2: Propriedades da água
• Densidade - ρ
ρH2O
Variável extensiva: variável que depende do tamanho (massa) do sistema. Exemplos:
• Entalpia - H
• Energia - E
Variância do sistema: número mínimo de variáveis intensivas que precisa ser especificado
para tornar o sistema invariante.
Regra das fases: relaciona a variância de um sistema com o número de espécies químicas
(componentes) e de fases nele contidas. F = N + 2− pi − r − s
F - variância do sistema.
N - número de espécies químicas.
pi - número de fases.
r - número de reações químicas independentes possíveis de ocorrer no sistema.
s - número de restrições intrínsecas do sistema.
Exemplos:
• água líquida pura
F = 2 N = 1, r = 0
ρ = ρ(T, P ) pi = 1, s = 0
• água líquida pura em equilíbrio com seu vapor
F = 1 N = 1, r = 0
ρ = ρ(T ) pi = 2, s = 0
• água líquida pura em em equilíbrio com ar (O2/N2/H2O)
F = 3 N = 3, r = 0
V = V (T, P, x) pi = 2, s = 0
Mecânica do Contínuo: estuda o movimento de corpos considerando que esses são formados
pela junção de diversas partículas ou pontos.
Capítulo1 Conceitos Fundamentais 17
Deslocamento: movimento de um corpo, em que todas as suas partículas se locomovem com
o mesmo vetor velocidade, ou seja, sem velocidades relativas entre seus pontos. É o
movimento desenvolvido por corpos rígidos, como os sólidos.
Escoamento: movimento de um corpo em que suas partículas se locomovem com velocidades
que podem ser distintas. Existem velocidades relativas entre os pontos do corpo. É o
movimento desenvolvido por corpos não rígidos, como os gases e líquidos.
Os corpos capazes de escoar, ou fluir, são chamados de fluidos.
Segundo Newton, alterações no vetor velocidade de um corpo rígido ocorrem apenas
quando existem desbalanceamento entre as forças de ação e reação, isto é, quando existe uma
resultante.
Uma resultante provoca a alteração do vetor quantidade de movimento com o tempo:
FR =
dp
dt
=
d
dt
(mv)
FR = m
dv
dt
+ v
dm
dt
Se a massa do corpo for constante com o tempo
FR = m
dv
dt
= ma
a = vetor aceleração do corpo. Assim
FR = ma =
∑
i
Fi
As forças podem ser classificadas em forças de campo e em forças de superfície.
Forças de campo: atuam diretamente sobre a massa do corpo (volume) sem a existência de um
contato físico.
Fc =
∫
ρKdV
K-vetor intensidade de campo.
Exemplos:
• Gravidade: K = g
• Campo elétrico: K = E
• Campo centrífugo: K = ω2R
Forças de superfície: atuam no corpo através de contato físico em suas superfícies limitantes.
Fs =
∫
T · n dS
T é o tensor tensão
Tensor é uma variável que necessita além de sua intensidade, de mais que uma direção
especificada para sua completa determinação.
As forças de superfície podem ser normais ou tangenciais.
1.1 Introdução 18
Figura 1.3: Forças de superfície
Forças normais: têm direção paralela ao vetor unitário normal à superfície.
Forças tangenciais ou cisalhantes: têm direção perpendicular ao vetor unitário normal à su-
perfície.
O vetor normal unitário a superfície é um vetor unitário perpendicular à tangente à super-
fície no ponto de interesse. O vetor unitário normal tem direção perpendicular à tangente
à superfície e sentido “para fora” da superfície.
As forças normais podem ser de tração ou de compressão.
Forças de tração: têm o mesmo sentido do vetor unitário normal.
Forças de compressão: têm o sentido inverso do vetor unitário normal.
Grandeza escalar: necessita apenas de seu valor numérico para ser completamente especifi-
cada.
Exemplos: massa, comprimento, volume, temperatura.
Grandeza vetorial: necessita, para sua completa especificação, de seu valor numérico e de
uma direção.
Exemplos: Força, velocidade.
Figura 1.4: Vetores
e1, e2, e3 são vetores unitários mutuamente ortogonais ou vetores ortonormais.
v = v1e1 + v2e2 + v3e3
v =
3∑
i=1
viei
Capítulo1 Conceitos Fundamentais 19
v = viei
Notação indicial de Einstein: índices repetidos subentendem um somatório.
Grandeza tensorial: necessita, para completa especificação além de seu valor numérico de n
direções.
Exemplo: Tensão
T =
F
A
Figura 1.5: Vetor Forção e Vetor Normal
Num sistema tridimensional
A = An = Aniei
F = Fjej
}
Ambos são vetores
T =
F
A
Os componentes possíveis da tensão são:
F1
A1
,
F1
A2
,
F1
A3
,
F2
A1
,
F2
A2
,
F2
A3
,
F3
A1
,
F3
A2
,
F3
A3
Um tensor tem 3n componentes onde n é a ordem do tensor (número de direções a ele
relacionadas)
T
∑
i
∑
j
Tijeiej
T = T11e1e1 + T12e1e2 + T13e1e3 + T21e2e1 + T22e2e2 + T23e2e3 + T31e3e1+
+ T32e3e2 + T33e3e3
T = Tijeiej notação indicial
i→ direção da normal à superfície de aplicação da força (linha)
j→ direção da força (coluna)
1.1 Introdução 20
Figura 1.6: Propriedades de um tensor (direção)
Quando i = j, a força tem a mesma direção que o vetor unitário normal, logo a tensão é
normal.
Quando i 6= j, a força tem a mesma direção que a do vetor unitário tangente (ortogonal
ao vetor unitário normal), logo a tensão é tangencial ou cisalhante.
Outra representação do tensor:
T =
T11 T12 T13T21 T22 T23
T31 T32 T33

v =
[
v1, v2, v3,
]
, vT =
v1v2
v3

Todas as grandezas são tensoriais.
Se n = 0→ tensor de ordem zero ou escalar.
Se n = 1→ tensor de ordem 1 ou vetor.
Se n = 2→ tensor de ordem dois.
Representação:
Temperatura (T) - ordem zero.
Velocidade (v) - ordem 1
Tensão (T) - ordem 2
T = Tijeiej (1.3)
i-direção da normal
j-direção da força
Campo: distribuição contínua de uma grandeza no espaço e no tempo.
O campo de temperaturas é um campo escalar
T = T (x, y, z, t)
Capítulo1 Conceitos Fundamentais 21
O campo de velocidades é um campo vetorial
v = v(x, y, z, t)
v = vxex + vyey + vzez
vx = vx(x, y, z, t)
vy = vy(x, y, z, t)
vz = vz(x, y, z, t)
Campos escalares (1.4)
O campo de tensões é um campo tensorial de ordem 2.
T = T(x, y, z, t) (1.5)
T =Txxex ex + Txyex ey + Txzex ez + Tyxey ex + Tyyey ey + Tyzey ez+
+ Tzxez ex + Tzyez ey + Tzzez ez
(1.6)
Txx = Txx(x, y, z, t)
Txy = Txy(x, y, z, t)
Txz = Txz(x, y, z, t)
Tyx = Tyx(x, y, z, t)
Tyy = Tyy(x, y, z, t)
Tyz = Tyz(x, y, z, t)
Tzx = Tzx(x, y, z, t)
Tzy = Tzy(x, y, z, t)
Tzz = Tzz(x, y, z, t)

Campos escalares (1.7)
Campo transiente: campo cujas componentes dependem do tempo.
Campo permanente: componentes não dependem do tempo.
Campo uniforme: componentesnão dependem da posição.
Campos uni, bi ou tridimensionais: campos em uma, duas ou três direções.
Exemplos:
v(x, y, z, t)− campo vetorial tridimensional transiente
T (t)− campo escalar uniforme transiente
T = T0 − campo escalar uniforme permanente
1.2 Introdução à algebra tensorial 22
1.2. Introdução à algebra tensorial
Operações com vetores (tensores de ordem 1)
a) Adição de vetores
u+ v = (ui + vi)ei
u− v = (ui − vi)ei
b) Multiplicação do vetor por um escalar
cu = c ui ei
c) Produto escalar entre dois vetores (produz um escalar)
u · v = (uiei) · (vjej) = uivj(ei · ej)
ei · ej ≡ |ei||ej| cos(êiej)
Como ei e ej são ortogonais unitários:
cos(ei ej) =
{
0 i 6= j
1 i = j
(1.8)
u · v = uivjδij (1.9)
δij ≡ delta de Kroenecker
δij =
{
0 i 6= j
1 i = j
Assim
u · v = ui vi = uj vj(escalar) (1.10)
u · v = ux vx + uy vy + uz vz (1.11)
d) Produto vetorial entre dois vetores (produz um vetor)
u× v = (uiei)× (vjej) = uivj(ei × ej) (1.12)
ei × ej = |ei||ej|( sen(êi ej))ek = ( sen(êi ej))ek (1.13)
Capítulo1 Conceitos Fundamentais 23
ek é um vetor unitário normal ao plano definido pelos vetores ei e ej. Como ei, ej e ek são
mutuamente ortogonais, o vetor ei × ej tem algumas propriedades muito importantes.
sen(êi ej) =

0 se i = j
1 se êi ej = pi/2
−1 se êi ej = −pi/2
(1.14)
Assim
e1 × e1 = e2 × e2 = e3 × e3 = 0 e1 × e2 = e3 e2 × e1 = −e3
e1 × e3 = −e2 e3 × e1 = e2 e2 × e3 = e1 e3 × e2 = −e1
Pode-se representar todas essas propriedades através da definição do tensor permutador
unitário εijk
εijk =

0 se i = j, j = k ou i = k
1 se ijk = 123, 231, 132
−1 se ijk = 321, 213, 132
(1.15)
1
��
3
77
2kk
Sequência no sentido horário εijk = 1 e sequência no sentido anti-horário εijk = −1.
Assim
u× v = uivjεijkek (1.16)
u× v = ε123u1v2e3 + ε213u2v1e3 + ε132u1v3e2 + ε312u3v1e2 + ε231u2v3e1+
+ ε321u3v2e1
(1.17)
u× v = (u1v2 − u2v1)e3 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u2v3 − u3v2)e1 (1.18)
Observação:
det
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3 (1.19)
Assim
u× v = det
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = det
∣∣∣∣∣∣
e1 u1 v1
e2 u2 v2
e3 u3 v3
∣∣∣∣∣∣ (1.20)
1.2 Introdução à algebra tensorial 24
e) Produto triplo entre três vetores (produz um escalar)
u · (v ×w) = uiei · (vjej × wkek = uivjwk ei · (ej × ek) =
= uivjwkei · εjkmem = uivjwkεjkmei · em =
= uivjwkεjkmδim = uivjwkεjki = εijkuivjwk
(1.21)
u · (v ×w) = εijkuivjwk (1.22)
Observação
det
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = u · (v ×w) (1.23)
u · (v ×w) = ε123u1v2w3 + ε213u2v1w3 + ε231u2v3w1 + ε321u3v2w1+
+ ε312u3v1w2 + ε132u1v3w2
= u1v2w3 − u2v1w3 + u2v3w1 − u3v2w1 + u3v1w2 − u1v3w2
(1.24)
f) Produto diádico ou tensorial entre dois vetores (produz um tensor de 2a ordem)
uv = uieivjej = uivjeiej (1.25)
eiej representa um elemento de uma matriz que ocupa a linha i e a coluna j.
e1 e2 =
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
0 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣ e3 e2 =
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
0 0 0
0 1 0
∣∣∣∣∣∣ (1.26)
Assim
u v =
∣∣∣∣∣∣
u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3
∣∣∣∣∣∣ (1.27)
Observação: Quando i = j tem-se um elemento da diagonal principal da matriz tensor.
Operações com tensores de ordem 2
Sejam dois tensores de ordem 2
T = Tijei ej (1.28)
S = Srser es (1.29)
(a) Soma de tensores
T+ S = (Tij + Sij)eiej (1.30)
Capítulo1 Conceitos Fundamentais 25
(b) Multiplicação de um tensor por um escalar
cT = (c Tij)eiej (1.31)
(c) Multiplicação entre 2 tensores gerando um escalar (duplo produto escalar :)
T : S = Tijeiej : Srseres = TijSrseiej : eres (1.32)
eiej : eres ≡ (ei · es)(ej · er) = δisδjr (1.33)
T : S = TijSrsδisδjr (1.34)
T : S = TijSji (1.35)
(d) Multiplicação entre dois tensores gerando um tensor (produto escalar entre tensores)
T · S = Tijeiej · Srseres = TijSrseiej · eres = TijSrsδjreies (1.36)
T · S = TijSjseies (1.37)
(e) Multiplicação entre um tensor e um vetor gerando um vetor
T · u = Tijeiej · ukek = Tijuk(ej · ek)ei = Tijukδjkei (1.38)
T · u = Tijujei (1.39)
Operador diferencial nabla (∇)
∇ = ei ∂
∂xi
= e1
∂
∂x1
+ e2
∂
∂x2
+ e3
∂
∂x3
(1.40)
a) Gradiente de um escalar
∇s = ei ∂s
∂xi
(vetor) (1.41)
b) Gradiente de um vetor
∇v = ei ∂
∂xi
vjej (1.42)
∇v = ∂vj
∂xi
eiej (tensor) (1.43)
1.2 Introdução à algebra tensorial 26
c) Divergência de um vetor (∇·)
∇ · v = ei ∂
∂xi
· vjej = ∂vj
∂xi
ei · ej = δij ∂vj
∂xi
(1.44)
∇ · v = ∂vi
∂xi
(escalar) (1.45)
d) Divergência de um tensor
∇ ·T = ei ∂
∂xi
· Tjkejek = ∂Tjk
∂xi
(ei · ej)ek = ∂Tik
∂xi
ek (vetor) (1.46)
e) Laplaciano de um escalar (∇ · ∇)
∇2s ≡ ∇ · ∇s = ei ∂
∂xi
· ej ∂s
∂xj
=
∂2s
∂xi∂xj
ei · ej = ∂
2s
∂xi∂xj
δij (1.47)
∇2s = ∂
2s
∂x2i
(escalar) (1.48)
f) Laplaciano de um vetor
∇2v = ∇ · ∇v = ei ∂
∂xi
· ej∂vk
∂xj
ek (1.49)
∇2v = ∂
2vk
∂xi∂xj
ei · ej︸ ︷︷ ︸
δij
(1.50)
∇2v = ∂
2vk
∂x2i
ek (vetor) (1.51)
Observação: As operações de multiplicação entre tensores produzem um tensor cuja ordem
é dada pela tabela f.
Tabela 1.1: Ordem do tensor resultante
Sinal de multiplicação Ordem do tensor resultante
Nenhum
∑
x
∑
-1
.
∑
-2
:
∑
-4
onde
∑
é a soma da ordem dos tensores fatores da multiplicação.
Exemplos:
u · v ∑ = 2 ordem 0
sT
∑
= 2 ordem 2
T · S ∑ = 4 ordem 2
T : S
∑
= 4 ordem 0
Capítulo1 Conceitos Fundamentais 27
1.3. Teoremas Integrais
Teorema 1.1 (Teorema de Gauss). Transforma uma integral de volume em uma integral de
superfície e vice-versa
a) Para uma função escalar∫ ∫ ∫
∇s dV =
∫ ∫
sn dS (1.52)
b) Para uma função vetorial∫ ∫ ∫
∇ · v dV =
∫ ∫
v · n dS (1.53)
∫ ∫ ∫
∇v dV =
∫ ∫
vn dS (1.54)
c) Para uma função tensorial∫ ∫ ∫
(∇ ·T) dV =
∫ ∫
(T · n) dS (1.55)
onde n é o vetor unitário normal à superfície que tem sentido para fora da superfície.
OBS:
v · n = |v||n| cos(v̂n) (1.56)
v · n = |v||n| cos(v̂n) (1.57)
Figura 1.7: Produto escalar entre dois vetores
Para saídas através da superfície
0 ≤ (v̂n) < 90◦ cos(v̂n) > 0
Para entradas através da superfície
90◦ < (v̂n) ≤ 180◦ cos(v̂n) < 0
logo ∫ ∫
v · n dS = (saída)-(entrada) (1.58)
1.3 Teoremas Integrais 28
Exercícios sobre Álgebra Tensorial
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda
ordem.
1. Mostrar que:
(a) ∇ · uv = u · ∇v + v∇ · u
(b) T : uv = (T · u) · v
(c) uv : T = u · (v ·T)
(d) ∇ · (s v) = v · ∇s+ s(∇ · v)
(e) ∇× (∇s) = 0
(f) ∇ · (∇× v) = 0
(g) ∇ · (T · v) = T : ∇v + v · (∇ ·T) se T for um tensor simétrico (Tij = Tji.
(h) s I : ∇v = s(∇·v) onde I é o tensor identidade dado por I = δij (delta de Kröenecher).
2. Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas
cartesianas.
(a) v · ∇v
(b) ∇× v
(c) ∇ · v
(d) ∇ ·T
CAPÍTULO 2
A Caracterização dos Fluidos
2.1. Resposta a ação de forças
Como diferenciar o comportamento de sólidos e de fluidos com relação à resposta à aplicação
de forças de superfície?
2.1.1. Resposta de Deformação de Corpos em Relação a Forças de Super-
fície
Forças normais:
• os sólidos sofrem pequenas deformações.
• os fluidos sofrem deformações iniciais um pouco maiores que as dos sólidos, mas atingido
o limite de compressibilidade ou de tração do fluido, este passa a se comportar como um
sólido.
As forças normais não são adequadas para se diferenciar o comportamento de sólidos e
fluidos.
Forças Cisalhantes
• Sólido:
Seja um paralelepipedo sólido com a base fixada a um plano fixo e o topo submetido à ação de
uma força cisalhante. Enquanto a força for aplicada, o sólido elástico apresenta uma deformação
definida.Ao cessar a aplicação da força, a deformação se desfaz.
γ= ângulo de deformação
Figura 2.1: Deformação de um sólido sobre influência de uma força
Tc =
Fc
A
∝ γ (2.1)
Tc = Gγ (Lei de Hooke) (2.2)
29
2.1 Resposta a ação de forças 30
Figura 2.2: Deformação de um líquido viscoso
G=módulo de rigidez do sólido.
Sejam dois sólidos submetidos à mesma tensão cisalhante.
Tc = G1γ1 = G2γ2 (2.3)
G1
G2
=
γ1
γ2
(2.4)
Quanto maior G menor o ângulo de deformação γ.
Seja 1 a borracha e 2 o aço.
G1
G2
=
γ2
γ1
< 1 (2.5)
logo
G1 < G2 (2.6)
O módulo de rigidez do aço é maior que o da borracha.
• Fluidos viscosos
Um paralelepípedo imaginário de um fluido sofrendo a ação de uma força cisalhante se
deforma de forma contínua e irreversível mesmo após a aplicação da força cessar.
γ = γ(t) D =
dγ
dt
D=taxa de deformação.
Quanto maior a tensão aplicada maior a taxa de deformação.
Tc ∝ D = dγ
dt
(2.7)
Para fluidos chamados de newtonianos
Tc = µD (2.8)
Tc = µ
dγ
dt
Lei deNewton (2.9)
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 31
µ= viscosidade do fluido.
Seja a mesma tensão cisalhante sendo aplicada a dois fluidos newtonianos distintos (1) água
e (2) mel.
T = µ1D1 = µ2D2 (2.10)
µ1
µ2
=
D2
D1
< 1 (2.11)
pois o mel tem uma taxa de deformação menor que a água.
µ1 < µ2
e a viscosidade do mel é maior que a da água.
A viscosidade é uma propriedade do fluido que indica o grau de resistência do fluido às
forças cisalhantes. É uma medida da resistência do fluido ao escoamento. Se Tc for constante.
Figura 2.3: Diagrama tensão-deformação Figura 2.4: Diagrama reológico
D =
dγ
dt
= 0 pois
dTc
dt
= G
dγ
dt
= 0 (2.12)
Pode-se interpretar um sólido como sendo um fluido com viscosidade infinita.
Um fluido ideal é um fluido imaginário em que a viscosidade é nula.
µideal = 0⇒ Tc = 0
Um fluido é qualquer material que se deforma contínua e irreversivelmente quando subme-
tido a ação de uma força cisalhante, por menor que ela seja.
2.2. Reologia de Fluidos Reais
Reologia: estuda a relação entre a tensão cisalhante aplicada a um fluido com a taxa de defor-
mação por ele desenvolvida.
2.2 Reologia de Fluidos Reais 32
Figura 2.5: Reograma
Seja o reograma a seguir
Cada curva no reograma acima representa um tipo de fluido.
a - fluido de Bingham
b - fluido pseudoplástico
c - fluido newtoniano
d - fluido dilatante
Os fluidos pseudoplásticos e dilatantes costumam ser classificados na categoria de fluidos
de Ostwald de Waele ou “Power Law”.
Fluidos newtonianos: seguem a equação de Newton
Tc = µD , µ = µ(T, P ) (2.13)
Fluidos não newtonianos: não seguem a equação de Newton mas podem ser representados
por uma expressão análoga
Tc = ηD , η = η(T, P,D) (2.14)
η = viscosidade aparente
Fluidos não newtonianos: a viscosidade aparente depende da taxa de deformação. Para um
fluido newtoniano
Tc = µD sendo µ(T, P ) (2.15)
Assim, para um fluido newtoniano η = µ =cte se T,P ctes
(i) O fluido de Bingham
Tij = T0 + η0Dij se Tij ≥ T0 (2.16)
T0 - tensão crítica;
η0 - consistência.
D = 0 se Tij < T0 (2.17)
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 33
Figura 2.6: Fluido de Bingham
Logo o fluido de Bingham só se deforma se Tij > T0
Mas, a viscosidade aparente de um fluido de Bingham será:
Tij = ηDij (2.18)
Para Tij < T0
Dij = 0 e Tij 6= 0 (2.19)
η ⇒∞ (2.20)
Para Tij > T0
Tij = ηDij = T0 + η0Dij (2.21)
assim
η = η0 +
T0
Dij
(2.22)
η(Dij → 0)→∞ (2.23)
η(Dij →∞) = η0 (2.24)
Figura 2.7: Viscosidade aparente de um Fluido de Bingham
A viscosidade aparente de um fluido de Bingham cai com o aumento da taxa de deforma-
ção, atingindo assintóticamente o valor de seu índice de consistência.
Índice de consistência de um fluido de Bingham - é a viscosidade aparente do fluido
quando submetido a taxas de deformações muito grandes (infinitas).
2.2 Reologia de Fluidos Reais 34
Figura 2.8: Fluidos tipo power Law
(ii) Os fluidos do tipo power law (Ostwald de Waele)
Tij = η0D
n
ij (2.25)
η0 - índice de consistência do fluido (>0)
n - índice de comportamento do fluido (>0)
Tij = η0D
n
ij = ηDij (2.26)
η = η0D
n−1
ij (2.27)
Como varia η com Dij?
dη
dDij
= (n− 1)η0Dn−2ij (2.28)
• Se n > 1⇒ dη
dDij > 0
logo η ↑ se Dij ↑
Tij = η0D
n
ij (2.29)
• Se n < 1⇒ dη
dDij
< 0
logo η ↓ se Dij ↑ (2.30)
n > 1→ fluido dilatante (2.31)
n < 1→ fluido pseudoplástico (2.32)
d2η
dD2ij
= (n− 1)(n− 2)η0Dn−3ij (2.33)
n > 1⇒ dη
dDij
> 0 (2.34)
d2η
D2ij
{
> 0 η > 2 concavidade para cima
< 0 1 < η < 2 concavidade para baixo (2.35)
n<1⇒ dη
dDij
< 0
d2η
D2ij
{
> 0 (única possibilidade)
concavidade para cima (2.36)
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 35
Figura 2.9: Fluidos psedoplásticos e dilatantes
O modelo de Ostwald de Waele é inconsistente fisicamente para determinadas faixas de
taxas de deformação. Isso ocorre porque os fluidos pseudoplásticos e dilatantes comportam-se
como fluidos newtonianos para valores de taxas de deformações muito baixas ou muito altas.
Tal comportamento não é previsto pelo modelo "power law".
Figura 2.10: Fluido dilatante Figura 2.11: Fluido pseudoplástico
Assim sendo, a power law só descreve o comportamento dos fluidos pseudoplásticos e
dilatantes numa faixa intermediária de Dij .
A forma correta de representar matematicamente um fluido dilatante ou um fluido pseudo-
plástico é o seguinte.
Tij = η0D
n
ij = ηDij (2.37)
onde
η = η1 se Dij < Dc1 (2.38)
η = η2 se Dij > Dc2 (2.39)
η = η0D
n−1
ij se Dc1 < Dij < Dc2 (2.40)
2.2 Reologia de Fluidos Reais 36
A taxa de deformação (Dij) medida através da variação do ângulo de deformação com o
tempo é inadequada devido a dificuldade de medir o referido ângulo. É fundamental escrever
Dij em termos de grandezas facilmente mensuráveis.
Seja uma placa plana sólida colocada sobre um fluido suportado por uma parede horizontal
fixa. Se for aplicada uma força cisalhante sobre a placa, a mesma passará a se mover com
velocidade V, deformando o fluido abaixo dela
Figura 2.12: Deslocamento de uma placa sólida sobre um fluido
Dyx =
dγ
dt
tg(dγ) =
dx
dy
(2.41)
Como dγ é infinitesimal
tg(dγ) =
dx
dy
(2.42)
dγ =
dx
dy
(2.43)
dγ
dt
=
dx
dt dy
=
dvx
dy
(2.44)
uma vez que vx =
dx
dt
.
Sendo assim, no caso exemplificado
Dyx =
dvx
dY
(2.45)
Num caso geral prova-se que
D = ∇v (2.46)
Assim, o tensor taxa de deformação pode ser chamado de tensor gradiente de velocidade.
No exemplo da placa móvel, se a distância entre ela e a parede horizontal que suporta
o fluido for pequena, desenver-se-á um perfil de velocidade linear, devido a transferência de
quantidade de movimento da placa móvel para o fluido.
Se o fluido for newtoniano
Txy = µDyx = µ
dvx
dy
(2.47)
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 37
Figura 2.13: Perfil de velocidade linear entre a placa móvel e o fluido
Como vx = ay + b (perfil linear)
vx(y = 0) = 0 (2.48)
vx(y = δ) = V (2.49)
tem-se
0 = a× 0 + b (2.50)
b = 0 (2.51)
V = aδ ou a =
V
δ
(2.52)
vx = V
(y
δ
)
e
dvx
dy
=
V
δ
(2.53)
Assim
Txy = µ (2.54)
Mas
Txy =
Fx
Ay
=
F
A
(2.55)
Logo
F
A
= µ
V
δ
(2.56)
e
µ =
Fδ
AV
(2.57)
[µ] =
[F ] [δ]
[A] [V ]
[µ] = M
L
T 2
L
1
L2
T
L
[µ] =
M
LT
(2.58)
2.2 Reologia de Fluidos Reais 38
No sistema internacional as unidades da viscosidade são:
Kg
ms
No sistema CGS as unidades da viscosidade são:
g
cm s
≡ p(poise)
A viscosidade cinemática é definida como sendo:
ν =
µ
ρ
(2.59)
[ν] =
M
LT
L3
M
=
L2
T
No sistema CGS, as unidades de ν são:
cm2
s
= p
cm3
g
≡ St (Stokes)(2.60)
Uma observção importante que pode ser feita ainda no exemplo da placa deslizando sobre o
fluido é o de que a quantidade de movimento é transportada na direção do gradiente de veloci-
dade decrescente, ou seja:
Tyx = −µdvx
dy
(2.61)
onde o sinal - indica que o fluxo de quantidade de movimento tem sentido oposto ao do gradiente
de velocidade.
Algumas definições importantes em reologia são:
Definição 2.1. Fluido ideal - fluido com viscosidade aparente nula, logo não pode transferir
quantidade de movimento.
Definição 2.2. Fluido perfeito - fluido submetido às condições em que
dvx
dy
= 0 ⇒ vx = cte.
Definição 2.3. Fluido não newtoniano - fluidos em que a viscosidade aparente depende da taxa
de deformação.
2.3. Forças que atuam em fluidos emmovimento e os números
adimensionais
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 39
Sobre um fluido em movimento podem atuar forças de superfície, forças de campo e forças
de inércia. Como já apresentado.
Fk = força de campo =
∫
ρk dV (2.62)
Fs = força de superfície =
∫
T · n dS (2.63)
Fi = força de inércia =
∫
ρ a dV (2.64)
Nos casos particulares em que k, a e T forem uniformes, pode-se escrever:
Fk = ρkV = mk (2.65)
Fs = T · An (2.66)
Fi = ρaV = ma (2.67)
As forças de superfície podem ser consideradas como a soma de uma contribuição estática
e de uma contribuição dinâmica, que está relacionada à viscosidade do fluido e, por isso, é
chamada de força viscosa.
Fs =
∫
T · n dA = Fp + Fv (2.68)
Isso ocorre porque o tensor tensão pode ser desdobrado em duas parcelas:
T = −(P I+ T ) (2.69)
onde P é a pressão exercida pelo fluido, T é o tensor tensão viscosa e I é o tensor unitário.T11 T12 T13T21 T22 T23
T31 T32 T33
 = −
P 0 00 P 0
0 0 P
−
T11 T12 T13T21 T22 T23
T31 T32 T33
 = −P I− T (2.70)
Um balanço de forças no elemento de volume do fluido leva a
Fi = Fk + Fp + Fv (2.71)
Fi - forças inerciais
Fk - forças de campo
Fp - forças de pressão
Fv - forças viscosas
1 =
Fk
Fi
+
Fp
Fi
+
Fv
Fi
(2.72)
Fi
Fk
= Fr = no de Froude
Fp
FI
= Eu = no de Euler
Fi
Fv
= Re = no de Reynolds
2.3 Números Adimensionais 40
logo
1
Fr
+ Eu+
1
Re
= 1 (2.73)
Como relacionar os números Fr, Eu e Re com grandezas mensuráveis?. Seja o escoamento
de um fluido em que são conhecidos os seguintes parâmetros:
• Comprimento característico, L;
• Velocidade característica, v;
• Massa específica do fluido, ρ;
• Viscosidade dinâmica do fluido, µ;
• Queda de pressão no sistema, −∆P .
Assim
Fi = ma = ρL
3 L
T 2
= ρL2v2 (2.74)
Fv = µ
v
L
L2 = µvL (2.75)
Fk = ρL
3k (2.76)
Fp = (−∆P )L2 (2.77)
Os números adimencionais serão dados por
Fr =
Fi
Fr
=
ρL2v2
ρL3k
=
v2
Lk
(2.78)
No caso da força de campo ser a força gravitacional
Fr =
v2
g L
(2.79)
Eu =
Fp
Fi
=
(−∆P )L2
ρv2L2
Eu =
−∆P
ρv2
(2.80)
Re =
Fi
Fv
=
ρv2L2
µv L
Re =
Lv ρ
µ
(2.81)
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 41
Figura 2.14: O experimento de Reynolds
2.3.1. O experimento de Reynolds
Reynolds adicionou um corante no centro de um tubo onde escoava um fluido newtoniano.
Para baixas velocidades (baixos Re) o corante tinha uma trajetória retilínea não se misturando
imediatamente ao fluido. Para altas velocidades (altos Re) o corante tinha uma trajetória caótica,
se misturando rapidamente ao fluido. Reynolds classificou o primeiro tipo de escoamento como
laminar e o segundo como turbulento e, além disso determinou a faixa de velocidade de cada
um dos escoamentos.
Re ≤ 2000 escoamento laminar (2.82)
2000 <Re ≤ 2300 escoamento de transição (2.83)
Re > 2300 escoamento turbulento (2.84)
Como Re =
Fi
Fv
Regime laminar
Re =
Fi
Fv
< 2000 (2.85)
A importância das forças viscosas é considerável nas forças que atuam no fluido.
Regime transiente
2000 <
Fi
Fv
< 2300 (2.86)
A importância das forças viscosas diminui com relação a das demais forças.
Regime turbulento
Re =
Fi
Fv
> 2300 (2.87)
A importância das forças viscosas é pequena com relação a das demais forças, tendendo
a diminuir mais ainda com o aumento da velocidade de escoamento. Quando é atingida a
turbulência plena, a importância das forças viscosas é desprezível.
2.3 Números Adimensionais 42
2.3.2. Linhas de corrente
No estudo do escoamento de fluidos é comum o uso de traçadores. Com este procedimento
pode-se observar o percurso desenvolvido por uma partícula de fluido, no caso de escoamento
laminar.
Sabe-e que:
v = viei (2.88)
vi =
dxi
dt
)
linha de corrente
(2.89)
vi
vj
=
dxi
dxj
)
linha de corrente
(2.90)
Seja o seguinte exemplo sobre linhas de corrente no escoamento bidimensional.
Exemplo 2.1. Um campo de velocidades é dado por v = Ax1e1 − Ax2e2, onde as unidades
da velocidade são dadas emm/s, as posições emm e A = 0, 3s−1.
(a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x1, x2, x3) = (2, 8, 0).
(c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto (2, 8, 0).
(d) Se uma partícula que passa pelo ponto (x10, x20, 0) for marcada no instante t=0, determine
sua localização t=6s.
(e) Qual a velocidade da partícula em t=6s?
(f) Mostre que a equação do trajeto da partícula (trajetória) é a mesma equação da linha de
corrente.
Solução:
(a)
dx2
dx1
)
linha de corrente
=
v2
v1
v = v1e1 + v2e2 = Ax1e1 − Ax2e2
dx2
dx1
)
linha de corrente
= −x2
x1
dx2
x2
= −dx1
x1
ln(x2) = − ln(x1) + c1
x2 =
c2
x1
; c2 = e
c1
x1x2 = c2
Capítulo2 A Caracterização dos Fluidos 43
Figura 2.15: Gráfico das linhas de corrente
(b)
(x1, x2, 0) = (2, 8, 0)
x1x2 = c
2× 8 = c = 16
logo
x1x2 = 16 m
2
(c)
v = Ax1e1 − Ax2e2
v = 0, 3x1e1 − 0, 3x2e2
No ponto (2, 8, 0) tem-se
v = 0, 3× 2e1 − 0, 3× 8e2
v = 0, 6e1 − 2, 4e2
|v| =
√
0, 62 + 2, 42
|v| = 2, 47 m/s
(d) A posição da partícula que em t = 0 estava no ponto (2, 8, 0) após 6 s.
v = 0, 3x1e1 − 0, 3x2e2
v1 =
dx1
dt
= 0, 3x1
v2 =
dx2
dt
= −0, 3x2
dx1
x1
= 0, 3dt
dx2
x2
= −0, 3dt
ln(x1) = 0, 3t+ c3
2.3 Números Adimensionais 44
ln(x2) = −0, 3t+ c4
ln(2) = c3
ln(8) = c4
logo
ln(x1) = 0, 3t+ ln(x2)
ln(x2) = −0, 3t+ ln(8)
x1 = 2 exp(0, 3t)
x2 = 8 exp(−0, 3t)
Para t = 6 s
x1 = 2 exp(0, 3× 6)
x1 = 12, 09 m
x2 = 8 exp(−0, 3× 6)
x2 = 1, 32 m
ou seja, a partícula estará ocupando a posição (x1, x2, 0) = (12, 09; 1, 32; 0)
(e) A velocidade da partícula que ocupa a posição calculada em (d).
v = 0, 3x1e1 − 0, 3x2e2
v = 0, 3× 12, 09e1 − 0, 3× 1, 32e2
v = 3, 63e1 − 0, 396e2
|v| =
√
3, 632 + 0, 3962
|v| = 3, 65 m/s
(f) A equação da linha de corrente, obtida em termos das equações paramétricas será:
x1 = x10 exp(0, 3t)
x2 = x20 exp(−0, 3t)
x1
x0
= exp(0, 3t)
t =
1
0, 3
ln
(
x1
x0
)
x2 = x20 exp
[
−0, 3
0, 3
ln
(
x1
x10
)]
x2
x20
=
x10
x1
ou
x1x2 = x10x20
x1x2 = 2× 8 = 16 m2
que é a equação da linha de corrente já obtida. Assim as equações da linha de corrente e
da trajetória são as mesmas neste exemplo em especial.
CAPÍTULO 3
As equações da continuidade e do
movimento para fluidos puros e
isotérmicos
3.1. Descrição do movimento de um fluido
Figura 3.1: Descrição do movimento de um fluido
Seja uma partícula de fluido em escoamento. Sejam ϕ - posição da partícula em t = 0
X - posição da partícula em t.
x - coordenada espacial não ligada diretamente à partícula.
assim x(ϕ, t) dá a posiçãode uma partícula que em t = 0 ocupava a posição ϕ e ϕ(X, t) dá a
posição em t = 0 de uma partícula que em t ocupar a posiçãoX .
Como duas partículas não podem ocupar, no mesmo instante, o mesmo lugar no espaço e
uma mesma partículanão pode ocupar dois lugares ao mesmo tempo, a função X(ϕ, t) deve
necessariamente ser bijetora e, consequentemente, imersível.
X(ϕ, t)↔ ϕ(X, t) (3.1)
ou seja conhecida uma das funções, a outra pode ser obtida.
ϕ,X - são coordenadas materiais pois acompanham o movimento da partícula.
x - são coordenadas espaciais pois independem do movimento das partículas.
Sejam uma propriedade qualquer do fluido(ξ)
ξ(x, t) - descrição espacial
ξ(X, t) - descrição material ou Lagrangeana.
45
3.1 Movimento de um Fluido 46
Definição 3.1. Descrição Lagrangeana - A variação da propriedade ξ é avaliada seguindo-se o
movimento de um grupo fixo de partículas.
Definição 3.2. Descrição Euleriana - A variação da propriedade ξ é avaliada sem que se acom-
panhe o movimento de um grupo fixo de partículas, mas sim adotando-se um sistema de coor-
denadas inercial.
Devido ás diferênças conceituais entre a análise material e a análise material, existem 3
derivadas temporais de ξ.
• ∂ξ
∂t
∣∣∣∣
x
- derivada com relação ao tempo em uma posição fixa.
• ∂ξ
∂t
∣∣∣∣
ϕ
- derivada com relação ao tempo, avaliada acompanhando-se o movimento de uma
partícula de fluido - derivada substantiva ou substancial.
∂ξ
∂t
∣∣∣∣
ϕ
≡ Dξ
Dt
• dξ
dt
- derivada total com relação ao tempo.
Seja ξ = ξ(x, t) = ξ(x1, x2, x3, t) onde as coordenadas x1, x2 e x3 dependem do tempo,
isto é, o sistema de coordenadas é móvel.
ξ = [x1(t), x2(t), x3(t), t] (3.2)
x1 t
x2 t
ξ
BB
88
&&
��
x3 t
t
dξ
dt
=
∂ξ
∂x1
dx1
dt
+
∂ξ
∂x2
dx2
dt
+
∂ξ
∂x3
dx3
dt
+
∂ξ
∂t
∣∣∣∣
x
(3.3)
Seja u a velocidade de deslocamento do sistema de coordenadas.
u =
dx1
dt
e1 +
dx2
dt
e2 +
dx3
dt
e3 = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei (3.4)
dξ
dt
=
∂ξ
∂x1
u1 +
∂ξ
∂x2
u2 +
∂ξ
∂x3
u3 +
∂ξ
∂t
∣∣∣∣
x
(3.5)
Capítulo3 Equações da Continuidade e do Movimento 47
dξ
dt
=∇ξ · u+ ∂ξ
∂t
∣∣∣∣
x
(3.6)
dξ
dt
- derivada total de ξ com relação ao tempo.
u - velocidade de deslocamento do sistema de coordenadas.
No caso da descrição material tem-se
ξ[X1(t), X2(t), X3(t), t] (3.7)
onde X1, X2, X3 são coordenadas materiais, isto é, denotam a posição de uma partícula de
fluido em função do tempo
X1(t) // t
X2(t) // t
ξ
AA
99
%%
��
X3(t) // t
t
assim
∂ξ
∂t
∣∣∣∣
ϕ
=
Dξ
Dt
=
∂ξ
∂X1
dX1
dt
+
∂ξ
∂X2
dX2
dt
+
∂ξ
∂X3
dX3
dt
+
∂ξ
∂t
∣∣∣∣
X
(3.8)
mas
v =
dXi
dt
ei é a velocidade da partícula de fluido, logo
Dξ
Dt
=∇ξ · v + ∂ξ
∂t
∣∣∣∣
X
(3.9)
a derivada substantiva tem uma representação parecida com a derivada total mas difere desta
por acompanhar a variação de ξ com o tempo no movimento de um conjunto de partículas de
fluido.
3.2. A equação da conservação da massa para um fluido puro
Seja o volume de controle apresentado a seguir
Fluxo de massa: ρv=
ρvA
A
3.2 Equação da Continuidade 48
Figura 3.2: Volume de controle Fluxo de massaque entra no
paralelepípedo
−
 Fluxo de massaque sai do
paralelepípedo
 =
 Acúmulo de massano
paralelepípedo

ρ vx|x=0∆y∆z − ρ vx|x=∆x∆y∆z + ρ vy|y=0∆x∆z − ρ vy|y=∆y ∆x∆z+
+ ρ vz|z=0∆x∆y − ρ vz|z=∆z ∆x∆y =
∂
∂t
(ρ∆x∆y∆z)
(3.10)
−∆ρvx∆y∆z −∆ρvy∆x∆z −∆ρvz∆x∆y = ∆x∆y∆z∂ρ
∂t
(3.11)
÷ vc = ∆x∆y∆z
∆ρvx
∆x
− ∆ρvy
∆y
− ∆ρvz
∆z
=
∂ρ
∂t
(3.12)
Fazendo vc → 0
−∂ρvx
∂x
− ∂ρvy
∂y
− ∂ρvz
∂z
=
∂
∂t
(3.13)
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0 (3.14)
Seja agora uma superfície qualquer envolvendo o volume de controle V.∫∫
ρv · n dS = fluxo de massa que sai menos o que entra (3.15)
ρv · n = |ρv| cos θ
Para as saídas: −−pi
2
< θ <
pi
2
ou |θ| < pi
2
, cos θ > 0 logo ρv · n > 0
Para as entradas:
pi
2
< θ <
3pi
2
ou |θ| > pi
2
, cos θ < 0 , ρv · n < 0.
Acúmulo:
∂
∂t
∫
ρ dV . Como dV não depende do tempo
∂
∂t
∫
ρ dV =
∫
∂ρ
∂t
dV
Capítulo3 Equações da Continuidade e do Movimento 49
Figura 3.3: Uma superfície qualquer envolvendo o volume de controle V
Figura 3.4: fluxo de massa
Assim o balanço de massa fica
(entra)− (sai) = (acumula)
−
∫
ρv · n dS =
∫
∂ρ
∂t
dV (3.16)∫
ρv · n dS =
∫
∇ · ρvdV (3.17)
assim ∫ {
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
}
dV = 0 (3.18)
Teorema de Gauss.
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0
As equações da conservação da massa (equações da continuidade) em suas formas inte-
gral e diferencial, são utilizadas, respectivamente, na análise de problemas macroscópicos e
infinitesimais.
V˙ = vA , m˙ = ρvA
É importante salientar que um volume de controle não varia com o tempo e que∫
∂ρ
∂t
dV (3.19)
3.2 Equação da Continuidade 50
Tabela 3.1: Situações físicas e aplicações das equações da continuidade
Situação física Equação integral Equação diferencial
Fluído compressível
em regime
transiente ρ(x, t)
∫ ∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS = 0 ∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0
Fluído compressível
em regime
permanente ρ(x)
∫
ρv · n dS = 0∑
entra m˙ =
∑
sai m˙
∇ · ρv = 0
Fluído incompressível
em regime
transiente ρ = cte.
∫
v · n dS = 0∑
entra V˙ =
∑
sai V˙
∇ · v = 0
Fluído incompressível
em regime
permanente ρ = cte.
∫
v · n dS = 0∑
entra V˙ =
∑
sai V˙
∇ · ρv = 0
Capítulo3 Equações da Continuidade e do Movimento 51
é o acúmulo de massa no interior do volume de controle. Assim, pode-se escrever∫
∂ρ
∂t
dV =
∂
∂t
∫
ρ dV =
dm
dt
(3.20)
Neste ponto é importante frisar que:
• Volume de controle é um volume constante em relação ao tempo mas que pode ter a massa
em seu interior como sendo uma função deste.
• Volume material é um volume que pode variar com o tempo mas que subentende sempre
a mesma massa em seu interior.
As equações da continuidade em suas formas integral e diferencial devem sempre ser utili-
zadas para volumes de controle.
Equação da continuidade em sua forma integral:∫
∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS = 0 (3.21)
Equação da continuidade em sua forma diferencial:
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0 (3.22)
Alguns exemplos
Exemplo 3.1. Seja o sistema deseja-se calcular v2.
Figura 3.5: Sistema de divisão de fluxo
3.2 Equação da Continuidade 52
Figura 3.6: Duto de seção circular convergente
Hipóteses:
• Fluido incompressível escoando em estado estacionário.
Pela equação da continuidade tem-se:∫
∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS = 0
Como o fluido é incompressível e escoa em estado estacionário∫
∂ρ
∂t
= 0
∫
ρv · n dS = ρ
∫
v · n dS = 0
logo ∫
v · n dS =
∑
saídas
V˙ −
∑
entradas
V˙
V˙ = vA = v
pid2
4∑
saídas
V˙ =
∑
entradas
V˙
v2
pid22
4
+ v3
pid23
4
= v1
pid21
4
v2d
2
2 + v3d
2
3 = v1d
2
1
v2 =
v1d
2
1 − v3d23
d22
Exemplo 3.2. Um gás ideal escoa num duto de seção circular e convergente. O escoamento é
permanente e a pressão e temperatura do gás são funções da posição axial. Qual a velocidade
do gás na saída do duto. São conhecidos v1, d1, P1, T1, d2, P2 e T2.∫
∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS = 0
ρ = ρ(x)
Capítulo3 Equações da Continuidade e do Movimento 53∫
ρv · n dS =
∑
saídas
m˙−
∑
entradas
m˙ = 0
∑
saídas
m˙ =
∑
entradas
ρ1v1A1 = ρ2v2A2
Para um gás ideal
PV = nRT =
m
M
RT
ρ =
m
V
=
PM
RT
P1M
RT1
v1
pid21
4
=
P2M
RT2
v2
pid22
4
v2 =
(
P1
P2
)(
T2
T1
)(
d1
d2
)2
v1
Exemplo 3.3. Enchimento/esvaziamento de um tanque.
Figura 3.7: Tanque com alimentação e retirada de massa
Um tanque é alimentado com uma vazão volumétrica V˙1 e do qual é retirada uma vazão
volumétrica V˙2. O fluido no tanque é um fluido incompressível e sabe-se que V˙1 6= V˙2. Calcular
a velocidade de variação da altura do nível do líquidono tanque.∫
∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS = 0
∫
∂ρ
∂t
dV =
∂
∂t
∫
ρdV =
dm
dt
uma vez que V independe de t
dm
dt
+
∫
ρv · n dS = 0
dm
dt
+ ρV˙2 − ρV˙1 = 0
3.2 Equação da Continuidade 54
m = ρAh
ρA
dh
dt
= −ρ(V˙2 − V˙1)
dh
dt
=
V˙1 − V˙2
A
• Se V˙1 > V˙2 ⇒ dh
dt
> 0 e h cresce com t.
• Se V˙1 < V˙2 ⇒ dh
dt
< 0 e h decresce com t.
• Se, por hipótese, V˙1 e V˙2 são constantes e diferentes.
dh
dt
=
V˙1 − V˙2
A
h =
(
V˙1 − V˙2
A
)
t+ c
h(t = 0) = h0
h = h0 +
(
V˙1 − V˙2
A
)
t
• Se V˙1 = V˙2
dh
dt
= 0 e h = cte.
e o sistema se encontra em estado estacionário.
3.3. A equação da conservação da quantidade de movimento
para um fluido puro
Teorema 3.1 (Newton). As forças existem aos pares e quando ocorre um desbalanceamento
entre as forças existe uma modificação da quantidade de movimento do corpo.
∑
j
Fj = Fi (3.23)
onde Fi é a força de inércia
Fi =
d
dt
(mv) = m
dv
dt
+ v
dm
dt
(3.24)
Se a massa do corpo puder ser considerada constante
Fi =
d(mv)
dt
= m
dv
dt
= ma (3.25)
Capítulo3 Equações da Continuidade e do Movimento 55
Para um fluido
Fi = Fs + Fk
onde Fs são as forças de superfície e Fk as forças de campo
Fi =
∫
ρa dV (3.26)
Fk =
∫
ρk dV (3.27)
Fs = −
∫
T · n dS (3.28)
onde o sinal - na equação 3.28 representa a resultante sobre o corpo (entra-sai).∫
ρadV =
∫
ρkdV −
∫
T · ndS (3.29)
Mas
T = P I+ T (3.30)
P I - tensão normal estática, devido à pressão do fluido.
T - tensão dinâmica ou viscosa que só existe se o fluido estiver em movimento.
T = P I+ T =
P 0 00 P 0
0 0 P
+
T11 T12 T13T21 T22 T23
T31 T32 T33
 (3.31)
T =
T11 + P T12 T13T21 T22 + P T23
T31 T32 T33 + P
 (3.32)
Assim, o balanço de forças pode ser rescrito como∫
ρadV =
∫
ρkdV −
∫
T · ndS −
∫
P I · n dS (3.33)
Mas
∫
P I·ndS e ∫ T ·ndS podem ser transformadas em integrais de volume através do teorema
de Gauss.∫
P I · n dS =
∫
∇P dV (3.34)∫
T · n dS =
∫
∇ · T dV (3.35)
Assim∫
{ρa− ρk+∇ · T +∇P} dV = 0 (3.36)
3.3 Conservação do Momentum 56
logo
ρa = −∇P −∇ · T +ρk
força de inércia
volume
OO
força de pressão
volume
OOOO
força viscosa
volume
OO
força de campo
volume
OO
a ≡ Dv
Dt
=
∂v
∂t
+ v ·∇v (3.37)
Assim, a equação do movimento em sua forma diferencial é
ρ
[
∂v
∂t
+ v ·∇v
]
= −∇P −∇ · T + ρk (3.38)
que é uma equação vetorial!
∂v
∂t
=
∂
∂t
viei (3.39)
v ·∇v = viei · ej ∂
∂xj
vkek = vi
∂
∂xi
vkek (3.40)
∇P = ei ∂P
∂xi
(3.41)
ρk = ρkiei (3.42)
∇ · T = ei ∂
∂xi
· Tjkejek = ∂Tjk
∂xi
ek (3.43)
A equação do movimento na direção x em coordenadas cartesianas retangulares será
ρ
[
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂vy
+ vz
∂vx
∂z
]
= −∂P
∂x
−
[
∂Txx
∂x
+
∂Tyx
∂y
+
∂Tzx
∂z
]
+ ρgx (3.44)
3.3.1. Casos Particulares
(a) Fluido estático (v = 0)
T ∝ ∇v
ρ
Dv
Dt
= −∇P −∇ · T + ρk (3.45)
Capítulo3 Equações da Continuidade e do Movimento 57
mas
∇ · T = 0 (3.46)
∴
∇P = ρk (3.47)
que é a equação que rege a estática dos fluidos
(b) Fluido ideal (η = 0)
T = η∇v = 0 (3.48)
logo
ρ
Dv
Dt
= −∇P −∇ · T + ρk (3.49)
ρ
Dv
Dt
= −∇P −+ρk (3.50)
Para o caso em que a força de campo é a gravitacional
ρ
Dv
Dt
= −∇P + ρg (3.51)
que é a chamada Equação de Euler.
3.3 Conservação do Momentum 58
CAPÍTULO 4
A estática dos fluidos
4.1. Equacionamento
No campo gravitacional tem-se
ρ
Dv
Dt
= −∇P −∇ · T + ρg (4.1)
∇P = ρg
Num sistema de coordenadas retangular
∂P
∂x
= ρgx (4.2)
∂P
∂y
= ρgy (4.3)
∂P
∂z
= ρgz (4.4)
Sendo assim, colocando um dos três eixos de referência na direção de g, tem-se que as
componentes da gravidade nas outras duas direções são nulas. Por exemplo:
Figura 4.1: Variação da pressão em um tanque
∂P
∂x
=
∂P
∂y
= 0
∂P
∂z
= −ρg
Isso quer dizer que P é constante em relação a x e a y e decresce com o aumento de z, para
o caso de um fluido incompresssível.
59
4.1 Equacionamento 60
Será adotada a simbologia de que uma distância vertical para cima é h e para baixo é z.
dP
dh
= −ρg (4.5)
Se ρ e g forem constantes
P = −ρgh+ c1 (4.6)
Sabendo-se que P (h0) = P0 tem-se
P0 = −ρgh0 + c1 ; c1 = P0 + h0ρg (4.7)
logo
P = P0 − ρg(h− h0) (4.8)
No mesmo problema se a origem fosse colocada na superfície do fluido incompressível, chegar-
se-ia a
Figura 4.2: Direção e sentido do aumento de pressão em um tanque
dP
dz
= ρg
P = ρgz + c P (z = 0) = P0 (4.9)
P = P0 + ρgz (4.10)
e a pressão aumenta conforme se desce verticalmente no interior de um fluido incompressível.
Alguns exemplos:
(a) Atmosfera ideal isotérmica
dP
dh
= −ρg (4.11)
Para um gás ideal PV =
m
M
RT e ρ =
m
V
=
PM
RT
dP
dh
= −PM
RT
g (4.12)
dP
P
= −Mg
RT
dh (4.13)
Capítulo4 A estática dos fluidos 61
onde g e T são constantes
lnP = −Mg
RT
h+ c (4.14)
P = c exp
[
−Mgh
RT
]
(4.15)
P (h = 0) = Pat(pressão atmosférica ao nível do mar) (4.16)
logo
P = P0 exp
[
−Mgh
RT
]
(4.17)
e a pressão cai exponencialmente com a altura numa atmosfera ideal e isotérmica.
(b) O barômetro
Seja o experimento em que um tubo cheio com um fluido incompressível e pouco volátil é
colocado do ponta-cabeça num reservatório contendo o mesmo fluido.
Figura 4.3: Barômetro
dP
dh
= −ρg (4.18)
P = c− ρgh (4.19)
Seja hat a altura do líquido sobre o nível do mesmo no recipiente. Sabe-se que
P (hat) = P
vapor
Como o líquido é por hipótese, muito pouco volátil.
P vapor ≈ 0
assim
0 = c− ρghat (4.20)
P = ρg(hat − h) (4.21)
4.1 Equacionamento 62
Fazendo h = 0 como o nível do líquido no recipiente, pode-se escrever
P (h = 0) = Pat logo (4.22)
Pat = ρg hat (4.23)
hat =
Pat
ρg
(4.24)
e a pressão atmosférica pode ser medida através da altura da coluna de líquido num barô-
metro. Por exemplo, se o líquido for o mercúrio
ρ = 13, 6
g
cm3
g = 980
cm
s2
Pat = 1, 016× 106dina
cm2
hHg =
1, 016× 106
13, 6× 980 = 76, 23cm
Se o líquido for a água
ρ = 1
g
cm3
hH2O =
1, 016× 106
1× 980 = 10, 36m
Logo a escolha do fluido barométrico é fundamental para uma boa medida.
(c) A estática dos fluidos e a primeira lei da termodinâmica.
d
dt
(
Ut +mgh+
mv2
2
)
=
∑
m˙i
(
H +
v2
2
+ gh
)
i
+ Q˙− W˙s − PextdVt
dt
(4.25)
Se o sistema for estático e isotérmico
m˙i = 0
Não havendo entrada ou saída de calor ou trabalho de eixo.
Q˙ = w˙s = 0 (4.26)
Pext = P sistema estático (4.27)
d
dt
(
Ut +mgh+
mv2
2
+ PV
)
= 0 (4.28)
dUt
dt
+
d
dt
(mgh) +
d
dt
(
mv2
2
)
+
d
dt
(PV ) = 0 (4.29)
Sistema isotérmico
dUt
dt
= 0
Sistema estático
d
dt
(
mv2
2
)
= 0
d
dt
(mgh+ PV ) = 0 (4.30)
mgh+ PV = cte.m = ρV (4.31)
ρV gh+ PV = cte. (4.32)
ρgh+ P = cte1 (4.33)
Capítulo4 A estática dos fluidos 63
assim
P1 + ρgh1 = P2 + ρgh2 (4.34)
e a soma doas energias por unidade de volume de pressão e potencial são conservadas.
4.2. O manômetro do tipo tubo em U
Este tipo de manômetro é um tubo de vidro de pequeno diâmetro dobrado na forma de
"U"preenchido parcialmente com um líquido e que tem suas extremidades à fontes de pressão.
Figura 4.4: Manômetro do tipo tubo em U
Da estática dos fluidos tem-se
dP
dh
= −ρg (4.35)
P = −ρgh+ c (4.36)
P (h0) = P0 (4.37)
P = P0 − ρgh (4.38)
Mas
P0 = P1 + ρg(x+ h1) = P2 + ρgx+ ρmgh1 (4.39)
P1 − P2 = (ρm − ρ)gh1 (4.40)
Seja (P1 − P2) fixo. Quanto maior (ρm − ρ) menor h1. O fluido manométricodeve ser
escolhido de forma a fornecer valores de h1 que favoreçam a precisão da medida.
Para valores muito pequenos de (P1−P2)mesmo com valores pequenos de (ρm−ρ) obtém-
se valores de h1 que comprometem a precisão da medida, devido ao seu pequeno valor. Nestes
casos, utiliza-se o manômetro de tubo inclinado.
4.2 O manômetro do tipo tubo em U 64
Figura 4.5: Manômetro tipo tubo em inclinado
4.2.1. Manômetro do tipo tubo inclinado
No manômetro de tubo inclindo uma das pernas do manômetro do tipo tubo em "U"é
defletida de um ângulo θ com a vertical,
(P1 − P2) = (ρm − ρ)gh (4.41)
mas h = l cos θ
(P1 − P2) = (ρm − ρ)gl cos θ (4.42)
Conhecido o ângulo θ, obtem-se um medida mais precisa da diferença de pressão, um vez
que l é maior que h. Quanto maior o valor de θ, melhor a precisão da medida.
Observa-se que se θ =0o h = l e se θ =90o não é possível se ter a medida de l.
4.2.2. O manômetro de Bourdon
Trata-se de um sistema do tipo “língua de sogra” coberto com um mostrador, previamente
calibrado. Conforme a pressão aumenta a língua de sogra abre produzindo um deflexão no pon-
teiro do mostrador proporcional à diferença entre a pressão que está sendo medida e a pressão
ambiente a que o manômetro está submetido.
Figura 4.6: Manômetro de Bourdon
O manômetro de Bourdon, antes de ser utilizado, deve ser calibrado. A calibração pode ser
feita utilizando-se um manômetro de pesos.
Capítulo4 A estática dos fluidos 65
Figura 4.7: Manômetro de pesos
4.2.3. Manômetro de pesos
m - massa dos pesos padronizados + embolo.
A - área transversal do embolo.
P1 = Pamb +
mg
A
(4.43)
Conhecidos m e A, determina-se a pressão. Com este sistema é possível calibrar outros
manômetros, com grande precisão.
Importante: Todos os manômetros medem diferenças de pressão e não pressões absolutas.
P1
_
OO
Pamb(pressão do ambiente em que o manômetro está colocado)
_
P2
_
P = 0(vácuo absoluto)
_
Pm - pressão medida pelo manômetro, ou pressão manométrica.
Pm1 = P1 − Pamb > 0 (4.44)
Pm2 = P2 − Pamb < 0 (4.45)
Quando a pressão medida é menor que a do ambiente em que o manômetro está colocado,
a pressão manômetrica é negativa(vácuo).
4.3. Sistemas fluidos submetidos a uma aceleração constante
t = 0 o fluido esta contido no recipiente parado.
t > 0 o recipiente é acelerado com uma aceleração uniforme e constante. O fluido adquire uma
nova conformação e permanece parado na nova conformação. A equação do movimento mostra
que
ρa = −∇P −∇ · T + ρg (4.46)
4.3 Sistemas submetidos à Acelerações 66
Figura 4.8: Fluido em um recipiente parado
Como o fluido está parado no interior do recipiente que está sendo uniformemente acelerado, o
mesmo não está sofrendo deformação e T , assim
ρa = ∇P + ρg (4.47)
e
∇P = ρ(g − a) (4.48)
Nessas condições as isobáricas são dadas por planos perpendiculares à direção do vetor g′ = g-
a
Figura 4.9: Força resultante
θ = ângulo do nível do líquido com a horizontal = ângulo que vetor g − a faz com a vertical.
θ = arctg
|a|
|g| = arcsen
|a|
|g − a| = arccos
|g|
|g − a| (4.49)
No caso em que g e a têm a mesma direção, tudo funciona como se a aceleração da gravi-
dade fosse alterada.
(a) Aceleração para cima
g − a = g′ e g′ > g e tudo ocorre como se o fluido tivesse seu peso aumentado.
(b) Aceleração para baixo
g − a = g′ e tudo ocorre como se o fluido tivesse seu peso diminuido.
Se o recipiente se deslocar para baixo com aceleração igual a da gravidade, será como se o
fluido nele contido não tivesse peso.
Seja o caso do deslocamento do recipiente sobre um plano inclinado de θ graus com relação
à horizontal
Capítulo4 A estática dos fluidos 67
Figura 4.10: Aceleração para cima Figura 4.11: Aceleração para baixo
Figura 4.12: Forças que atuam no corpo
90 + θ + θ′ = 180 (4.50)
θ′ = 90− θ (4.51)
α = 180− θ′ = 180− 90 + θ (4.52)
α = 90 + θ (4.53)
|g − a| = |g|2 + |a|2 + 2|a||g| cosα (4.54)
cosα = cos(90 + θ) = senθ (4.55)
|g − a| = |g|2 + |a|2 + 2|a||g| senθ (4.56)
θ é o ângulo do plano inclinado com a horizontal.
4.4. A força de empuxo
Seja um sólido flutuando semi imerso em um fluido
Figura 4.13: Imersão do sólido
4.4 A força de empuxo 68
As forças que atuam no sólido são (V = V1 + V2)∫
ρsgdV +
∫
PndS2 =
∫
PndS1 (4.57)∫
{ρsg +∇P2 −∇P1} dV = 0 (4.58)
da estática dos fluidos
∇P2 = ρGg (4.59)
∇P1 = ρLg (4.60)∫ V
0
ρsg dV +
∫ V−V1
0
ρGg dV =
∫ V1
0
ρLg dV (4.61)
ρsgV + ρGgV − ρGgV1 = ρLgV1 (4.62)
(ρs + ρG)gV = (ρL + ρG)gV1 (4.63)
onde V1 é o volume do sólido que está submerso.
Como ρs >> ρG e ρL >> ρG
ρsgV = ρLgV1 (4.64)
V1
V
=
ρs
ρL
(4.65)
Como V1 < V ρs < ρL.
Seja ρs = 0, 95 g/cm3 e ρL = 1, 05 g/cm3
V1
V
=
0, 95
1, 05
= 0, 905 (4.66)
V1 = 0, 905V (4.67)
e apenas 9,5% do sólido não estará submerso.
No caso em que ρs > ρL, o sólido afundará totalmente no líquido.
No caso em que ρs = ρL o sólido ficará suspenso no interior do líquido. Empuxo é uma
força que existe porque a pressão em fluido estático aumenta quando se afunda neste.
Exemplo 4.1.
Você deve transportar um aquário medindo 12 × 24 × 12 in em um carro. Quanto de
água você pode deixar no aquário de modo a ficar razoavelmente seguro de que não haverá
transbordamento na viagem?
∇P = ρ(g − a)
∂P
∂x
ex +
∂P
∂y
ey = ρ(gx − ax)ex + ρ(gy − ay)ey
∂P
∂x
ex +
∂P
∂y
ey = −ρaex − ρgey
Capítulo4 A estática dos fluidos 69
Figura 4.14: Transporte do aquário
logo
∂P
∂x
= −ρa
∂P
∂y
= −ρg
P = P (x, y)
dP =
∂P
∂x
dx+
∂P
∂y
dy
Numa isobárica dP = 0
∂P
∂x
dx+
∂P
∂y
dy = −ρadx− ρgdy = 0
dy
dx
= −a
g
Da figura
e =
b
2
| tgθ| = b
2
a
g
Percebe-se que quanto maior b maior e e verifica-se ser aconselhável colocar a maior
dimensão do aquário numa direção perpendicular ao movimento, assim,
e =
12
2
a
g
= 6
a
g
O valor máximo permissível de e será
e = 12− d
Assim
12− d = 6a
g
Se o maior valor de a for, por exemplo, a =
2
3
g
12− d = 6
g
× 2
3
g = 4
d = 8 in
4.4 A força de empuxo 70
Exemplo 4.2.
Um vaso cilindrico parcialmente cheio com líquido é girado a uma velocidade angular
constante w em torno do seu eixo. Após um curto período de tempo não há movimento rela-
tivo entre as partículas de líquido, e o mesmo se movimenta como se fosse um corpo rígido.
Determine a forma da superfície livre.
∇P = ρ(g − a)
∇P = ∂Per
∂r
+
1
r
∂Peθ
∂θ
+
∂Pez
∂z
g = −gez
a = arer + aθeθ + azez
aθ = az = 0
ar = −w2r
∂P
∂r
= ρ(gr − ar) = ρw2r
1
r
∂P
∂θ
= 0
∂P
∂z
= ρ(gz − az) = −ρg
dP =
∂P
∂r
dr +
∂P
∂
dz
dP = ρw2r dr − ρg dz
Figura 4.15: Rotação de um vaso cilindrico em torno de seu eixo
P − P1 = ρw
2r2
2
− ρg(z − h1)
P1 = Pat
P = Pat +
ρw2r2
2
− ρg(z − h1)
Na superfície livre, P = P1 = Pat
logo
ρg(h1) =
ρw2r2
2
z = h1 +
w2
2g
r2
Capítulo4 A estática dos fluidos 71
Como relacionar h1 (altura mínima da superfície livre do líquido, o que ocorre no eixo do
cilindro) com h0 (altura do líquido parado)?
Sabe-se que ocorre conservação de volume de líquido, ou seja
Antes do moviento V = piR2h0
Após o movimento
V =
∫ 2pi
0
∫ R
0
∫ z
0
r dr dθ dz
V + 2pi
∫ R
0
[
h1 +
w2r2
2g
]
r dr
V = 2pi
[
h1R
2
2
+
w2R4
8g
]
V = pih1R
2 +
piw2R4
4g
Igualando o volume inicial e o volume final tem-se
piR2h0 = piR
2h1 +
piw2R4
4g
h1 = h0 − piw
2R4
4g
Voltando à equação da superfície livre do líquido obtêm-se
= h1 +
w2r2
2g
= h0 − w
2R2
4g
+
w2r2
2g
z = h0 − w
2R2
2g
[
1
2
−
( r
R
)2]
Observações:
(1) Quanto maior r maior z
(2) Tal equação é válida para h1 ≥ 0, ou seja
h1min = 0 = h0 −w2maxR
2
4g
w2max =
4gh0
R2
wmax =
2
R
√
gh0
4.4 A força de empuxo 72
Figura 4.16: Esquema do manômetro
Exemplo 4.3.
O manômetro mostrado abaixo contém dois liquidos. O líquido A tem densidade relativa
de 0,88 e o líquido B tem ρrel = 2, 95. Calcule a deflexão h quando a diferença de pressão
P1 − P2 for 870Pa.
PM = P
′
M
P1 + ρAgy = P2 + ρAg(y − h) + ρBgh
P1 − P2 = (ρB − ρA)gh
P1 − P2 = 870Pa = (2, 94− 0, 88)× 103Kg
m3
× 9, 81cm
s2
h
h =
870
(2, 95− 0, 88)× 9810
h = 0, 0428m = 4, 28 cm
Exemplo 4.4.
Determine a pressão manométrica em psig no ponto a sabendo que o líquido A tem den-
sidade relativa de 0,75 e o líquido B 1,20. O líquido em torno do ponto a é água e o tanque a
esquerda está aberto para a atmosfera.
Figura 4.17: Medidor de Pressão
Capítulo4 A estática dos fluidos 73
Conversão de unidades para o sistema internacinal
36 in = 36 in× 0, 0254m
in
= 0, 9144m
15 in = 0, 381m
5 in = 0, 127m
10 in = 0, 254m
ρH2O = 1000
Kg
m3
ρA = 750
Kg
m3
ρB = 1200
Kg
m3
PM = P
′
M
PM = Pat + 1200× 9, 81× 0, 914− 1200× 9, 81× 0, 381− 750× 9, 81× 0, 254
PM = PAt + 4405, 7 (Pa)
P ′M = Pa − 1000× 9, 81× (0, 127 + 0, 254)
P ′M = Pa − 3737, 6 (Pa)
Como PM = P ′M
Pat + 4405, 7 = Pa − 3737, 6
Pa − Pat = 8143, 3 Pa
Pa − Pat = 8143, 3Pa × 14, 7 lbf/in
2
1, 013× 105 Pa
Pa − Pat = 1, 18 psig
Exemplo 4.5.
O aparato representado na figura abaixo foi concebido para medir a diferença de nível de
água entre dois grandes tanques de armazenamento. É fundamental que pequenas diferenças
sejam medidas com precisão. Um óleo com densidade menor que 1 é usado par fornecer uma
ampliação de leitura de 10 : 1 numa eventual variação de nível, ou seja, uma variação de
nível entre os tanques provocará uma deflexão no manômetro dez vezes maior. Qual deve ser a
densidade relativa do óleo?
PM = P
′
M
PM = Pat + ρg(H + h)− ρg(10H + x)
P ′M = Pat + ρgH − ρgx− ρog10h
Pat + ρgH + ρgh− 10ρgh− ρgx = Pat + ρgH − ρgx− ρog10h+ 9ρgh = ρog10h
ρo = 0, 9ρ
ρo
ρ
= d = 0, 9
4.4 A força de empuxo 74
Figura 4.18: Esquema do medidor
Figura 4.19: Esquema do manômetro tipo tubo em U
Exemplo 4.6.
Considere o manômetro em U invertido abaixo. Calcule a diferença de pressão.
hA = 1610mm = 1, 61m
hB = 1080mm = 1, 08m
hC = 610mm = 0, 61m
PM = P
′
M
PM = P1 − ρH2OghB
P ′M = P2 − ρH2OghC − ρbzg(hB − hC)
P1 − ρH2OghB = P2 − ρH2OghC +−ρbzghB + ρbzghC
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P1 − P2 = ρH2Pg(hB − hC)− ρbzg(hB − hC)
−∆P = (ρH2O − ρbz)g(hB − hC)
ρbz = 880Kg/m
3
−∆P = (1000− 880)9, 81(1, 08− 0, 61)
−∆P = 553, 3Pa
Exercícios sobre Viscosidade, pressão, unidades
Capítulo4 A estática dos fluidos 75
1. Em alguns livros, lei de Newton é expressa na seguinte forma:
F =
1
gc
ma
Qual o valor numérico e as unidades de gc nos seguintes casos:
a) Deseja-se F (kgf ); utiliza-se m(kg) e a (m/2).
b) Deseja-se F (lbf ); utiliza-se m(lbm) e a (ft/s2).
c) Deseja-se F (lbf ); utiliza-se m(slug) e a (ft/s2).
2. No escoamento de fluidos, um parâmetro freqüentemente utilizado é o número de Reynolds,
definido por:
Re =
D v ρ
µ
onde ρ e µ são, respectivamente, a densidade e a viscosidade do fluido, D é um compri-
mento característico e v uma velocidade característica. Mostre que o número de Reynolds é
adimensional e calcule seu valor numérico para as seguintes condições:
a) ρ = 62 lbm/ft3;
b) µ = 1 cp;
c) v = 4 ft/s;
d) D = 2 in.
3. A fórmula simplificada para transferência de calor de um tubo para o ar ambiente é dada por:
h = 0, 026
G0,6
D0,4
onde h é o coeficiente de transferência de calor, dado em BTU/(h ft2oF), G é o fluxo
mássico em lbm/(h ft2) e D é o diâmetro do tubo, em ft. Se G e D forem expressos em
g/(min cm2) e cm, respectivamente, qual será o novo valor da constante para que h seja
expresso em cal/(min cm2oC)?
4. Um coeficiente de difusão tem um valor de 0,5 lbm/(h ft2atm). Calcular o valor correspon-
dente nas seguintes unidades: g/(s cm2mmHg).
5. 5) Responda se as seguintes afirmativas estão certas ou erradas, justificando a resposta:
a) Um fluido viscoso em repouso ou em escoamento uniforme não apresenta tensões cisa-
lhantes.
b) Para o escoamento de um fluido viscoso em uma tubulação as tensões cisalhantes são
nulas.
c) Um fluido ideal em escoamento não apresenta tensões cisalhantes.
d) Denomina-se fluido newtoniano aquele que apresenta viscosidade.
6. Qual o valor da força que deve ser aplicada à placa superior da figura 4.20, cuja área é de
0,035 m2, para que sua velocidade seja de 0,40 ft/s, sendo de 0,05 in a distância entre as
placas e 0,09 poise a viscosidade do fluido?. Supor perfil linear de velocidades para o fluido
no espaço entre as placas.
4.4 A força de empuxo 76
Figura 4.20: Placas paralelas com fluido no espaço interno entre elas
7. Um fluido de Bingham escoa junto a uma placa vertical sendo conhecido o perfil de tensões
cisalhantes (txy versus x, linear) no fluido. A tensão junto a placa é τp , que é maior que a
tensão crítica do fluido. Esboçar o perfil de velocidade do fluido, justificando e explicando
sua forma.
Figura 4.21: Escoamento de um fluido de Binghan junto a uma placa vertical
8. O viscosímetro de cilindros concêntricos indica um torque de 3 lbf ft, quando o cilindro
interno gira a 30 rpm. Qual a viscosidade do fluido, admitindo perfil linear de velocidades
do fluido entre os cilindros.
9. Uma força de 1000 lbf é exerrcida na alavanca AB apresentada na Figura 4.22. A ponta B
da alavanca é conectada a uma barra que aciona um pistão de 2 in de diâmetro. Qual a força
F que deve ser exercida no pistão maior, de 10 in de diâmetro,para que haja equilíbrio?
10. No sistema ilustrado na Figura 4.23, calcular a diferrença de nível entre o óleo dos dois
tanques.
11. Para a Figura 4.24, determinar h.
12. Calcular a pressão atmosférica, expressa em psia, a uma altura de 2 km a partir do nível do
mar, sabendo que:
• ar se comporta como gás ideal;
• a temperatura do ar decresce linearmente com a altura, de acordo com a equação, T =
To − a h, onde a é a constante de decréscimo de temperatura (a = 3, 6 × 10−3oF/ft)
e h é a diferença de altura entre o plano considerado e o plano de referência (nível do
mar).
Capítulo4 A estática dos fluidos 77
Figura 4.22: equilibrio de forças através de pistões
Figura 4.23: diferença de nível entre dois tanques
Figura 4.24: Diferença de pressão entre dois tanques conetados
4.4 A força de empuxo 78
13. No esquema ilustrado na Figura 4.25, determinar a altura h.
Figura 4.25: Diferença de pressão entre tanques
14. Para o sistema ilustrado na Figura 4.26 a seguir, determinar a força F , expressa em libras-
força, que deve ser exercida no pistão menor para que o sistema permaneça em equilíbrio. O
fluido dentro do sistema tem a seguinte equação de estado:
γ = ρ g = K P 1/2
ondeK = 0, 10lb1/2f /ft
2. Considere que o pistão maior é constituído por um bloco metálico
de 5 5000 lbm e 1,25 ft2 de área de seção transversal e que o pistão menor apresenta 0,10
ft2 de área.
Figura 4.26: Sistema de transmissão de pressão por pistões
CAPÍTULO 5
Distribuiçaõ de velocidades para sistemas
em escoamento laminar isotérmico
5.1. As simplificações da equação do movimento
A equação do movimento é
ρ
Dv
Dt
= −∇P −∇ · T + ρg (5.1)
Já foi mostrado que para o caso de fluidos estáticos a mesma é simplificada para
∇P = ρg (5.2)
e que para o caso de fluidos estáticos linearmente acelerados ela é
∇P = ρ(g − a) (5.3)
Para o caso de escoamento de fluidos ideais tem-se a equação de Euler
ρ
Dv
Dt
= −∇P + ρg (5.4)
Uma forma bastante importante da equação do movimento é aquela que descreve o escoa-
mento de fluidos newtonianos com ρ e µ constantes. A equação que relaciona a tensão com a
taxa de deformação (equação constitutiva)