Sistemas de EDOs

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Aula 16 - Se´ries e EDOs
Profa. Dra. Cla´udia Mesquita
UNIFESP
10 de outubro de 2016
Profa. Dra. Cla´udia Mesquita
Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Coeficientes constantes
Considere o seguinte sistema
Y ′ = AY ,
onde A e´ uma matriz de ordem nXn.
Se Y = ξert e´ soluc¸a˜o do sistema, enta˜o r e ξ satisfazem as
seguintes equac¸o˜es
det(A− rIn) = 0 e (A− rIn)ξ = 0.
Note que a equac¸a˜o dada pela primeira equac¸a˜o acima e´ de grau n
em r .
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Para n = 2 teremos
det(A− rIn) = ar2 + br + c = 0.
Temos as seguintes possibilidades:
1 Duas ra´ızes reais e iguais r1 e r2;
2 Duas ra´ızes reais e iguais r1;
3 Duas ra´ızes complexas conjugadas r1 = λ+ iµ e r2 = λ− iµ.
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
No primeiro caso as soluc¸o˜es do sistema em (1) sa˜o da forma
Y (t) = c1ξ1e
r1t + c2ξ2e
r2t ,
onde ξ1 e ξ2 sa˜o autovetores associados a r1 e r2, respectivamente.
No segundo caso temos
Y (t) = c1ξ1e
r1t + c2ξ2e
r1t ,
onde ξ1 e ξ2 sa˜o autovetores distintos (LI) associados a r1 (veja
que neste caso estamos assumindo uma caracter´ıstica sobre a
matriz A: ela sempre possui n autovetores LIs)
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Estudaremos agora o terceiro caso, autovalores complexos
conjugados r1 = λ+ iµ e r2 = λ− iµ.
Os autovetores associados a estes tambe´m sera˜o conjugados
r1 = λ+ iµ⇒ ξ1 = ~a + i~b
r2 = λ− iµ⇒ ξ2 = ~a− i~b
Assim,
Y1(t) = (~a + i~b)e
(λ+iµ)t
Y2(t) = (~a− i~b)e(λ−iµ)t
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Precisamos encontrar soluc¸o˜es reais para o sistema usando estas
encontradas anteriormente. Para isto precisamos escreveˆ-las ambas
na sua forma complexa, deixando expl´ıcita suas partes real e
imagina´ria.
Y1(t) = (~a + i~b)e
(λ+iµ)t
= (~a + i~b)eλt(cos(µt) + i sin(µt))
= eλt(~a cos(µt)− ~b sinµt) + ieλt(~a sin(µt) + ~b cosµt)
= ~u(t) + i~v(t)
Com estes mesmos ca´lculos obtemos
Y2(t) = ~u(t)− i~v(t) (1)
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Agora, somando e subtraindo as soluc¸o˜es encontradas obtemos, a
mesnos de constantes, que
~u(t) = eλt(~a cos(µt)− ~b sinµt)
e
~v(t) = eλt(~a sin(µt) + ~b cosµt)
sa˜o soluc¸o˜es reais LI para o sistema (1).
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Encontre um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para o sistema
abaixo
X ′ =
( −1/2 1
−1 −1/2
)
X
Exerc´ıcio resolvido em sala
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Propriedades qualitativas e comportamento das soluc¸o˜es
Definic¸a˜o
(soluc¸o˜es de equil´ıbrio) Dado um sistema as soluc¸o˜es de equil´ıbrio
sa˜o as poss´ıveis soluc¸o˜es constantes (Y ′ = 0).
Definic¸a˜o
Um ponto e´ dito assintoticamente esta´vel se as soluc¸o˜es se
aproximam dele quando t →∞. Um ponto e´ dito assintoticamente
insta´vel se as soluc¸o˜es se afastam dele quando t →∞.
Definic¸a˜o
(Retrato de fase) Gra´fico mostrando va´rias curvas (x1(t), x2(t))
soluc¸o˜es do sistema.
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
EX 1: O sistema X ′ =
(
1 1
4 1
)
X tem como soluc¸a˜o geral
X (t) = c1
(
1
2
)
e3t + c2
(
1
−2
)
e−t
=
(
c1e
3t + c2e
−t
2c1e
3t − 2c2e−t
)
=
(
x1(t)
x2(t)
)
Para desenhar o plano de fase e´ preciso encontrar a relac¸a˜o entre
x1(t) e x2(t) para alguns casos em particular:
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
(i) Escolhendo c2 = 0 obtemos X (t) = c1X1(t) e x1 = c1e
3t e
x2 = 2x1;
(ii) Escolhendo c1 = 0 obtemos X (t) = c2X2(t) e x1 = c2e
−t e
x2 = −2x1;
(iii) Tomando c1 6= 0 e c2 6= 0 temos X (t)→ c1X1(t), quando
t →∞ X (t)→ c2X2(t), quando t → −∞
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Este padra˜o de trajeto´rias e´ t´ıpico de sistemas de duas
equac¸o˜es de primeira com coeficientes constantes que
possuem autovalores de sinais contra´rios;
A origem e´ dita um ponto de sela.
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EX 2: O sistema X ′ =
(
3 −1
−2 2
)
X tem como soluc¸a˜o geral
X (t) = c1
(
1
2
)
et + c2
( −1
1
)
e4t
=
(
c1e
t − c2e4t
2c1e
t + c2e
4t
)
=
(
x1(t)
x2(t)
)
Para desenhar o plano de fase e´ preciso encontrar a relac¸a˜o entre
x1(t) e x2(t) para alguns casos em particular:
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
(i) Escolhendo c2 = 0 obtemos X (t) = c1X1(t) e x1 = c1e
t e
x2 = 2x1;
(ii) Escolhendo c1 = 0 obtemos X (t) = c2X2(t) e x1 = −c2e4t e
x2 = −x1;
(iii) Tomando c1 6= 0 e c2 6= 0 temos X (t)→ c2X2(t), quando
t →∞, X (t)→ 0, quando t → −∞
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Este padra˜o de trajeto´rias e´ t´ıpico de sistemas de duas
equac¸o˜es de primeira com coeficientes constantes que
possuem autovalores de sinais iguais;
Neste caso dizemos que a origem e´ um no´ insta´vel ou fonte.
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Caso os autovalores sejam ambos negativos ocorre uma mudanc¸a
na direc¸a˜o das curvas.
Neste caso, diremos que a origem e´ um no´ esta´vel ou sumidouro
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Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
EX 3: O sistema X ′ =
( −1/2 1
1 −1/2
)
X tem como soluc¸a˜o
geral
X (t) = c1
(
cos t
−sen t
)
e−t/2 + c2
(
sen t
cos t
)
e−t/2
=
(
c1e
−t/2 cos t + c2e−t/2sen t
−c1e−t/2sen t + c2e−t/2 cos t
)
=
(
x1(t)
x2(t)
)
Sem se prender aos detalhes (na˜o menos importantes!), apenas
observe que temos uma combinac¸a˜o linear entre as func¸o˜es seno e
cosseno, multiplicada por uma exponencial.
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No exemplo acima, a exponencial tem coeficiente negativo, logo
quando t →∞ x1 e x2 tendem a zero.
Este padra˜o de trajeto´rias e´ t´ıpico de sistemas de duas
equac¸o˜es de primeira com coeficientes constantes que
possuem autovalores complexos com parte real negativa;
Neste caso dizemos que a origem e´ um ponto espiral
assintoticamente esta´vel ou sumidouro.
Profa. Dra. Cla´udia Mesquita
Sistemas lineares homogeˆneos de 1a ordem
Note que caso os autovalores complexos tenham parte real nula, o
padra˜o das trajeto´rias tera˜o um comportamento similar ao do
gra´fico abaixo
Neste caso dizemos que a origem e´ um centro.
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Caso os autovalores tenham parte real positiva, o padra˜o das
trajeto´rias sera´ similar ao do gra´fico abaixo
Neste caso dizemos que a origem e´ um ponto espiral
assintoticamente insta´vel ou fonte.
Profa. Dra. Cla´udia Mesquita
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Obrigada pela atenc¸a˜o!
Profa. Dra. Cla´udia Mesquita
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