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Estatística experimental( Apostila)

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- no de unidades experimentais: N = I x J 
- Total geral: ••=== ∑ ∑
== =
YTYG
J,I
1j,1i
I
1i
iij 
- Total para o tratamento i: •== ∑
=
i
J
1j
iji YYT 
- Média para o tratamento i: 
J
T
mˆ ii = 
- Média geral do experimento: 
IJ
Gmˆ = . 
 
4.3. Modelo estatístico 
Existe um modelo estatístico específico para cada tipo de delineamento. O modelo 
estatístico identifica quais são as fontes de variação dos valores de uma variável resposta 
em estudo. 
Para os dados oriundos de um experimento instalado segundo o DIC, o seguinte 
modelo estatístico deve ser utilizado nas análises estatísticas: 
ijiij etmY ++= 
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38
 
 
em que, 
ijY é o valor observado para a variável resposta obtido para o i-ésimo tratamento 
em sua j-ésima repetição; 
m média de todos os valores possíveis da variável resposta; 
it é o efeito do tratamento i no valor observado ijY ; 
mmt ii −= 
ije é o erro experimental associado ao valor observado ijY ; 
iijij mYe −= 
O erro experimental ocorre em todos os experimentos, porque não é possível 
controlar o efeito de fontes de variações que ocorrem de forma aleatória e desconhecida. 
Este erro é o responsável pela variação observada entre as observações obtidas nas 
repetições para cada tratamento. 
4.4. Análise de Variância 
É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou 
seja, a variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença 
entre os efeitos dos tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é 
denominada de erro experimental ou resíduo. 
No entanto, para que esta técnica seja empregada é necessário que sejam 
satisfeitas as seguintes pressuposições: 
1a) os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos; 
2a) os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos, independentes, com 
média zero e com variância comum. 
Partindo do modelo estatístico, pode-se decompor a variação entre os valores 
observados nas diferentes causas de variabilidade, como demonstrado a seguir: 
Considere o modelo estatístico para um experimento instalado segundo o DIC: 
ijiij etmY ++= 
 fazendo mmt ii −= e eij = Yij – mi , tem-se: ( ) ( )iijiij mYmmmY −+−=− , 
substituindo iji eem,m por seus estimadores tem-se: ( ) ( )iijiij mˆYmˆmˆmˆY −+−=− , 
elevando ambos os membros ao quadrado ( ) ( ) ( )[ ]2iiji2ij mˆYmˆmˆmˆY −+−=− , 
aplicando somatório 
( ) ( ) ( )[ ]∑∑
====
−+−=−
J,I
1j,1i
2
iiji
J,I
1j,1i
2
ij mˆYmˆmˆmˆY , 
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑
========
+−+−=−
J,I
1j,1i
J,I
1j,1i
2
iij
J,I
1j,1i
2
i
J,I
1j,1i
2
ij produtosduplosmˆYmˆmˆmˆY 
pode-se verificar que: 0produtosduplos
J,I
1j,1i
=∑
==
. 
Escrevendo de uma forma mais simplificada a igualdade anterior temos: 
SQTotal = SQTrat + SQRes 
Por meio das fórmulas obtidas anteriormente, pode-se obter os valores para as 
respectivas somas de quadrados. No entanto, essas fórmulas demandam muitos cálculos. 
Lorena
Realce
Lorena
Realce
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Fórmulas de mais fácil aplicação podem ser obtidas, conforme é mostrado a seguir. 
Inicialmente trabalharemos com a fórmula da SQTotal. 
Tem-se que: 
( )∑
==
−=
J,I
1j,1i
2
ij mˆYSQTotal 
desenvolvendo o quadrado perfeito, 
( ) ( )∑∑
====
+−=−
J,I
1j,1i
2
ij
2
ij
J,I
1j,1i
2
ij mˆYmˆ2YmˆY 
aplicando-se as propriedades de somatório, temos: 
( ) ∑∑∑∑
========
+−=−
J,I
1j,1i
2
J,I
1j,1i
ij
J,I
1j,1i
2
ij
J,I
1j,1i
2
ij mˆYmˆ2YmˆY 
( ) 2J,I
1j,1i
ij
J,I
1j,1i
2
ij
J,I
1j,1i
2
ij mˆIJYmˆ2YmˆY +−=− ∑∑∑
======
 
A média geral pode ser escrita como: 
IJ
Y
mˆ
J,I
1j,1i
ij∑
=== , assim 
( )
2J,I
1j,1i
ijJ,I
1j,1i
ij
J,I
1j,1i
ijJ,I
1j,1i
2
ij
J,I
1j,1i
2
ij IJ
Y
IJY
IJ
Y
2YmˆY
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−=−
∑
∑
∑
∑∑ ==
==
==
====
 
simplificando tem-se, 
( )
IJ
Y
IJ
Y
2YmˆY
2
J,I
1j,1i
ij
2
J,I
1j,1i
ijJ,I
1j,1i
2
ij
J,I
1j,1i
2
ij
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−
∑∑
∑∑ ====
====
 
finalmente temos: 
( )
IJ
Y
YmˆYSQTotal
2
J,I
1j,1i
ijJ,I
1j,1i
2
ij
J,I
1j,1i
2
ij
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−=
∑
∑∑ ==
====
 
que é a fórmula mais prática para se calcular a SQTotal. 
Para a SQTratamentos tem-se: 
( )∑
==
−=
J,I
1j,1i
2
i mˆmˆSQTrat 
desenvolvendo o quadrado perfeito, 
( ) ( )∑∑
====
+⋅−=−
J,I
1j,1i
2
i
2
i
J,I
1j,1i
2
i mˆmˆmˆ2mˆmˆmˆ 
aplicando-se as propriedades de somatório, temos: 
( ) ∑ ∑ ∑∑
== == ====
+−=−
J,I
1j,1i
J,I
1j,1i
J,I
1j,1i
2
i
2
i
J,I
1j,1i
2
i mˆmˆmˆ2mˆmˆmˆ 
( ) ∑ ∑∑
= ===
+−=−
I
1i
I
1i
2
i
2
i
J,I
1j,1i
2
i mˆIJmˆJmˆ2mˆJmˆmˆ 
A média geral e a média para tratamentos podem ser escritas respectivamente 
como: 
EST 220 – Estatística Experimental – I/2008 
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J
T
mˆe
IJ
Y
mˆ ii
J,I
1j,1i
ij
==
∑
== 
substituindo na expressão anterior, tem-se: 
( )
2J,I
1j,1i
ijI
1i
I
1i
i
J,I
1j,1i
ij
2
2
i
J,I
1j,1i
2
i IJ
Y
IJ
J
T
J
IJ
Y
2
J
T
Jmˆmˆ
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−=−
∑∑ ∑∑∑ ==
= =
==
==
 
sabe-se que ∑
=
=
J
1j
iji YT , então 
( )
2J,I
1j,1i
ijI
1i
J,I
1j,1i
ij
J,I
1j,1i
ij
2
2
i
J,I
1j,1i
2
i IJ
Y
IJ
J
Y
J
IJ
Y
2
J
T
Jmˆmˆ
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+−=−
∑∑ ∑∑∑ ==
=
====
==
 
simplificando, tem-se. 
( )
IJ
Y
IJ
Y
2
J
T
mˆmˆ
2
J,I
1j,1i
ijI
1i
2
J,I
1j,1i
ij2
i
J,I
1j,1i
2
i
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−
∑
∑
∑
∑ ==
=
==
==
 
finalmente tem-se: 
( ) ∑
∑
∑
=
==
==
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−=
I
1i
2
J,I
1j,1i
ij2
i
J,I
1j,1i
2
i IJ
Y
J
T
mˆmˆSQTrat 
A fórmula anterior é utilizada quando o número de repetições é igual para todos os 
tratamentos. No caso em que o número de repetições varia de acordo com o tratamento a 
fórmula apropriada é 
∑
∑
=
== ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=
I
1i
2r,I
1j,1i
ij
i
2
i
N
Y
r
T
SQTrat
i
 
em que, 
N é o número de unidades experimentais = ∑
=
I
1i
ir 
ir é número de unidades experimentais do tratamento i. 
 
A Soma de Quadrados do Resíduo (SQRes) é obtida por diferença, 
SQRes = SQTotal - SQTrat 
 
O quadro da análise de variância, geralmente denotada por ANOVA (ANalysis Of 
VAriance) para a análise de um experimento instalado segundo o DIC, com igual número 
de repetições para todos os tratamentos é do seguinte tipo: 
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41
 
 
FV GL SQ QM F Ftab; α 
Tratamentos (I-1) SQTrat 
1I
SQTrat
− sReQM
QMTrat [(I-1); I(J-1)] 
Resíduo I(J-1) SQRes ( )1JI
sReSQ
− 
 
Total IJ - 1 SQTotal 
 
A partir das SQTrat e SQRes, obtém-se os respectivos quadrados médios, por 
meio do quociente entre a soma de quadrados com o respectivo número de graus de 
liberdade. 
Para se concluir se existe diferença entre tratamentos, calcula-se o valor de F,

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