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Estatística experimental( Apostila)

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média menor do que a suposta de 1,5 metros. Em termos 
probabilísticos poderia se dizer que a probabilidade de encontrar um grupo de indivíduos 
com média igual ou inferior a 0,60 metros é muito pequena, em uma população que 
apresenta uma média igual a 1,5 metros. Veja na figura a seguir 
 
f (Xb)
0. 0
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4
0. 5
0. 6
0. 7
0. 8
0. 9
1. 0
1. 1
Var i avel : Xb
0. 0 1. 0 1. 5 2. 0 2. 5 3. 00. 60 
 
A função densidade de probabilidade da média amostral de uma variável aleatória 
que tem distribuição normal, no caso, f(Xb), é dada por: 
2
n
mx
2
1
e
n
2
1)Xb(f
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
σ
−−
πσ
= 
A área sob a curva abaixo do valor 0,60 m, indica a probabilidade de se encontrar 
um valor igual ou inferior a 0,60 metros em uma população com média igual a 1,5 metros. 
Como pode ser notado, esta probabilidade é pequena em relação à área total do gráfico. 
Com base neste raciocínio é que o pesquisador estabelece um valor crítico que o ajuda a 
decidir sobre rejeitar ou não-rejeitar a hipótese de nulidade. Este valor crítico pode a 
princípio ser estabelecido de duas maneiras. A primeira delas seria a situação em que o 
pesquisador de posse de seu conhecimento prévio no assunto estabeleceria um valor 
crítico antes de coletar a amostra. Este valor crítico seria um valor para a média amostral 
tal que acima dele o pesquisador não-rejeitaria a hipótese de nulidade e abaixo dele 
rejeitaria a hipótese de nulidade. Digamos que neste caso o valor crítico adotado fosse 
igual a 1,0 metro. O valor para a média igual a 1,0 metro determinaria duas regiões na 
EST 220 – Estatística Experimental – I/2008 
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7 
distribuição das médias amostrais, conforme é apresentado na figura a seguir. Estas duas 
regiões são denominadas como Região de Não-Rejeição da Hipótese de Nulidade 
(RNRHo) e Região de Rejeição da Hipótese de Nulidade (RRHo) . Como os respectivos 
nomes indicam, se o valor da média amostral estiver contido na RNRHo, o pesquisador 
não deve rejeitar a hipótese de nulidade. Caso contrário, se o valor da média amostral 
estiver contido na RRHo, o pesquisador deve rejeitar a hipótese de nulidade e considerar 
a hipótese alternativa como sendo a hipótese verdadeira. 
f (Xb)
0. 0
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4
0. 5
0. 6
0. 7
0. 8
0. 9
1. 0
1. 1
Var i avel : Xb
0. 0 0. 5 1. 5 2. 0 2. 5 3. 0Xbc=1. 0
Regi ão de 
Rej ei ção da
Hi pót ese de
Nul i dade
Regi ão de
Não Rej ei ção da
Hi pót ese de Nul i dade
erro t i po I
ou erro al f a
 
Deve-se observar que ao adotar o critério acima, o pesquisador sempre estará 
sujeito a cometer um de dois erros possíveis. Um destes erros, conhecido como erro tipo I 
ou erro alfa (∝), se refere à probabilidade de rejeitar uma hipótese verdadeira, no caso a 
hipótese de nulidade. Na figura citada anteriormente, o critério adotado pelo pesquisador 
foi que se a média amostral assumisse um valor menor que 1,0 metro, então rejeitar-se-ia 
a hipótese de nulidade. É exatamente a adoção deste critério que pode levar o 
pesquisador a cometer um erro em sua tomada de decisão, pois como se pode observar 
na figura, em uma população que realmente apresenta média igual a 1,5 metros, existe 
uma pequena percentagem de indivíduos que podem apresentar uma altura média inferior 
a 1,0 metro. No entanto, o pesquisador acaba assumindo que devido ao fato daquela 
chance ser muito pequena, ele decide que se uma amostra de elementos apresentar 
média menor que 1,0 metro, ela pertence a uma população com média inferior à 
especificada de 1,5 metros, conforme é mostrado na figura a seguir. 
Cap 1 – Testes de Hipóteses 
____________________________________________________________________ 
 
 
8 
medi a 1. 5
f (Xb)
0. 0
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4
0. 5
0. 6
0. 7
0. 8
0. 9
1. 0
1. 1
Var i avel : Xb
0. 0 1. 0 2. 0 2. 5 3. 0
erro al f a
erro bet a
m<1. 5
m<1. 5 m=1. 5
curva para
Ho
RRHo RNRHo
curva para
Ha
 
Nesta figura, pode-se observar duas curvas: a da esquerda quando se assume que 
a população tem uma média inferior a especificada, isto é a curva para a hipótese 
alternativa (Ha) com m < 1,5 metros; e a curva da direita para a situação em que a 
população apresenta média igual à especificada, ou seja, curva para a hipótese de 
nulidade (Ho) com média m = 1,5 metros. Quando o pesquisador toma a decisão de 
rejeitar a Ho, ele na verdade acaba por concluir que a população de onde foi retirada a 
amostra pertence aquela população com média m < 1,5 metros. Observe, valores nesta 
região podem levar a duas conclusões que a rigor ambas estariam “corretas”, mas a 
probabilidade de encontrar indivíduos com média inferior ou igual ao valor crítico, no caso 
1,0 metro, é bem maior numa população com m < 1,5 metros do que numa população 
com média m = 1,5 metros. É esta diferença nas probabilidades que leva o pesquisador a 
rejeitar Ho ao invés de não rejeitá-la. 
Conforme mencionado anteriormente, a área sob a curva da hipótese Ho que leva 
a sua rejeição se refere à probabilidade de se rejeitar Ho quando Ho é verdadeira. Isto foi 
definido anteriormente como erro alfa. Um raciocínio lógico que se tem é tentar fazer este 
erro ser o menor possível. No entanto, em todo teste de hipóteses existe também um 
outro erro, conhecido como erro tipo II ou erro beta (β), o qual aumenta o seu valor à 
medida que se diminui o erro alfa. Este erro se refere à probabilidade não-rejeitar a 
hipótese Ho quando Ho é falsa (ver figura anterior). No exemplo que estamos 
trabalhando, este erro beta será tanto maior, quanto menor for o valor crítico. Se por 
exemplo, fizermos que o valor crítico para a média amostral seja igual a 0,9 m, então a 
nova proporção entre os erros alfa e beta seria conforme figura a seguir. 
 
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________________________________________________________________ 
 
 
9 
medi a 0. 8 1. 5
f (Xb)
0. 0
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4
0. 5
0. 6
0. 7
0. 8
0. 9
1. 0
1. 1
Var i avel : Xb
0. 0 0. 5 1. 5 2. 0 2. 5 3. 0
RRHo RNRHo
erro
bet a
erro
al f a
curva Ho
curva Ha
Xbc=0. 9
 
Nós acabamos de ver a maneira empírica de realizar um teste de hipótese, a qual 
se baseia no fato do pesquisador estabelecer o valor crítico de rejeição da hipótese Ho 
com base em seu prévio conhecimento do problema. Este procedimento, embora seu 
forte apelo prático, traz a desvantagem de não poder estabelecer a princípio qual seria a 
probabilidade de se cometer o erro tipo I, ou seja, a que nível de significância que o teste 
de hipóteses será realizado. É de consenso que se publique, que nos trabalhos 
científicos, a que nível de significância um teste de hipóteses foi realizado. Desta forma, é 
possível comparar os resultados e conclusões de diferentes trabalhos de pesquisa, pois 
existe uma tendência que, para determinada área do conhecimento, o nível de 
significância esteja dentro de uma faixa de valores aceito pela maioria dos pesquisadores. 
A determinação do nível de significância quando se usa o método empírico é possível, 
embora computacionalmente não seja uma tarefa fácil, pois envolve a integração de 
funções complexas tais como exponenciais, gama, beta, e etc. . Devido a todas estas 
razões, o método não-empírico é o mais usado. 
O procedimento para um teste de hipóteses usando o método não-empírico é 
similar ao método empírico. A diferença está basicamente que no método não-empírico, o 
valor crítico é conhecido a partir do nível de significância estabelecido e o uso de tabelas 
estatísticas. Existe uma tabela estatística apropriada para cada tipo de teste de hipóteses. 
Estas tabelas fornecem valores críticos

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