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Estatística experimental( Apostila)

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1
1121 r
ba...
r
ba
r
baCˆ,CˆCov σ++σ+σ= 
Admitindo que exista homogeneidade de variâncias entre os tratamentos, ou seja: 
22
I
2
2
2
1 ... σ=σ==σ=σ , então. 
( ) ∑
=
σ=σ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
I
1i i
ii22
I
II
2
22
1
11
21 r
ba
r
ba...
r
ba
r
baCˆ,CˆCov 
Sabe-se que, se duas variáveis aleatórias são independentes, a covariância entre 
elas é igual a zero. Assim, se 1Cˆ e 2Cˆ são independentes, a covariância entre eles é igual 
a zero, isto é: ( ) 0Cˆ,CˆCov 21 = 
Para que a covariância seja nula, é necessário, portanto que: 
∑
=
=
I
1i i
ii 0
r
ba . 
Esta é a condição de ortogonalidade entre dois contrastes para um experimento 
com número diferente de repetições para os tratamentos. Para um experimento com o 
mesmo número de repetições, satisfazendo as mesmas pressuposições (médias 
independentes e homogeneidade de variâncias), a condição de ortogonalidade se resume 
a: 
 ∑
=
=
I
1i
ii 0ba 
Para um experimento com I tratamentos, podem ser formados vários grupos de 
contrastes ortogonais, no entanto cada grupo deverá conter no máximo (I-1) contrastes 
ortogonais, o que corresponde ao número de graus de liberdade para tratamentos. 
Dentro de um grupo de contrastes ortogonais, todos os contrastes tomados dois a 
dois, serão também ortogonais. 
 
Exercícios 
2.3. Verificar se os contrastes do Exercício 2.1 formam um grupo de contrastes 
ortogonais. 
2.4. Verificar se os contrastes do Exercício 2.2 formam um grupo de contrastes 
ortogonais. 
EST 220 – Estatística Experimental – I/2008 
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25 
2.5. Métodos para obtenção de grupos de contrastes 
mutuamente ortogonais 
Obtenção por Meio de Sistema de Equações Lineares 
Neste método, deve-se estabelecer, a princípio, um contraste que seja de interesse 
e, a partir deste é que os demais são obtidos. Por meio da imposição da condição de 
ortogonalidade e da condição para ser um contraste, obtém-se equações lineares, cujas 
incógnitas são os coeficientes das médias que compõem o contraste. Como o número de 
incógnitas é superior ao número de equações existentes, será sempre necessário atribuir 
valores a algumas incógnitas. É desejável que os valores a serem atribuídos, permitam 
que os coeficientes sejam números inteiros. 
 
Exercício 
2.5. Foi instalado para avaliar a produção de 4 híbridos cujas características são 
apresentadas na tabela a seguir. 
 
Hibrido 1 2 3 4 
Porte Alto Alto Alto Baixo 
Inicio do Florescimento Precoce Tardio Tardio Precoce 
Índice de acamamento Médio Alto Baixo Médio 
ri 3 3 3 3 
 
 Suponha que ao estabelecer as comparações dos híbridos com relação a 
produção, seja levado em consideração 
 
• o porte; 
• o início do florescimento; 
• o índice de acamamento. 
 
Obtenha um grupo de contrastes ortogonais que permita testar as comparações 
segundo os critérios citados. 
Obtenção por Meio de Regras Práticas 
Por meio desta metodologia, é possível estabelecer facilmente um grupo de 
contrastes ortogonais. A metodologia pode ser resumida nos seguintes passos 
(BANZATTO e KRONKA, 1989): 
Divide-se o conjunto das médias de todos os tratamentos do experimento em dois 
grupos. O primeiro contraste é obtido pela comparação das médias de um grupo contra 
as médias do outro grupo. Para isso atribui-se sinais positivos para membros de um grupo 
e negativos para membros do outro grupo. 
Dentro de cada grupo formado no passo anterior, que possui mais que uma média, 
aplica-se o passo 1, subdividindo-os em subgrupos. Repete-se este passo até que se 
forme subgrupos com apenas uma média. Ao final, deveremos ter formado (I-1) 
comparações. 
Para se obter os coeficientes que multiplicam cada média que compõem os 
contrastes estabelecidos, deve-se, para cada contraste: 
Verificar o número de parcelas experimentais envolvidas no 1º grupo, digamos g1, e 
o número de parcelas experimentais envolvidas no 2º grupo, digamos g2. Calcula-se o 
mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre g1 e g2. 
Dividir o m.m.c. por g1. O resultado será o coeficiente de cada média do 1º grupo. 
Cap 2 – Contrastes 
 
 
 
26
 
Dividir o m.m.c. por g2. O resultado será o coeficiente de cada média do 2º grupo. 
Multiplicar os coeficientes obtidos pelo número de repetições da respectiva média. 
Se possível, simplificar os coeficientes obtidos por uma constante. No caso em que o 
número de repetições é igual para todos os tratamentos, este passo pode ser eliminado. 
 
Exercício 
 
2.6. Num experimento inteiramente casualizado, com 4 repetições, foram comparados os 
efeitos de 5 tratamentos em relação ao crescimento de mudas de Pinus oocarpa, 60 dias 
após a semeadura. Os tratamentos utilizados e os resultados obtidos foram (BANZATTO 
e KRONKA, 1989): 
 
Tratamentos Totais 
1 – Solo de cerrado (SC) 21,0 
2 – Solo de cerrado + esterco (SC+E) 27,1 
3 – Solo de cerrado + esterco + NPK (SC+E+NPK) 26,6 
4 – Solo de cerrado + vermiculita (SC+V) 22,1 
5 – Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC+V+NPK) 25,6 
 
Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre as médias. 
 
2.7. Suponha agora para o exemplo 1 que os tratamentos 1 e 4 tenham 3 repetições e os 
tratamentos 2, 3 e 5 tenham 4 repetições. Obtenha um grupo de contrastes ortogonais 
entre médias. 
2.6. Exercícios Suplementares 
2.8. Dados 
Tratamentos imˆ ri 
1 25,0 5 
2 18,7 5 
3 30,4 5 
4 27,5 6 
 
e os contrastes 
43213
3212
211
m3mmmC
m2mmC
mmC
−++=
−+=
−=
 
Admitindo-se que os estimadores das médias sejam independentes e que 
45,0s2c = , pede-se 
a) 1Cˆ , 2Cˆ e 3Cˆ 
 b) ( ) ( ) ( )321 CˆVˆe,CˆVˆ,CˆVˆ 
 c) as estimativas das covariâncias entre os estimadores dos contrastes, e por meio 
das mesmas, dizer quais são os contrastes ortogonais entre si. 
 
EST 220 – Estatística Experimental – I/2008 
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27 
2.9. Supondo independência entre médias, homogeneidade de variâncias entre 
tratamentos e admitindo que 321 mem,m têm, respectivamente, 5, 3 e 6 repetições, 
verificar se os contrastes dados abaixo são ortogonais. 
3212
211
m2mmC
mmC
−+=
−=
 
. 
2.10. Considere um experimento com 4 tratamentos e as seguintes informações: 
 
3r;4rrr
10,4s
4321
2
c
====
=
 
3212
43211
mm2mC
m3mmmC
+−=
−++=
 
Pede-se: 
a) Forme um grupo de contrastes ortogonais, a partir dos contrastes C1 e C2, por 
meio do método do sistema de equações lineares. 
b) Obtenha ( )1CˆVˆ 
c) Obtenha V(C1) 
2.11. Num experimento com 4 tratamentos e 5 repetições, são dados os seguintes 
contrastes ortogonais: 
421 mmC −= 
4212 mmm2C ++−= 
Determinar um contraste C3 que seja ortogonal a C1 e C2. 
2.12. Com os dados abaixo, obter o contraste 3C ortogonal aos contrastes 21 Ce C . 
5rr m9m5m4C
4rr mmC
424212
31211
==−+=
==−=
 
2.13. Dado o contraste C1 = 2m1 – m2 – m3, referente a um experimento com 3 
tratamentos (r1 = r2 = r3 = 5), obter um contraste ortogonal C2 em relação a C1. 
 
2.14. Dado o contraste C1 = 2m1 – m2 – m3, referente a um experimento com 3 
tratamentos (r1 = r2 = 4 e r3 = 5), obter um contraste ortogonal C2 em relação a C1 
 
2.15. Dado o contraste C1 = 9m1 – 4m2 – 5m3, referente a um experimento com 3 
tratamentos (r1 = r2 = 4 e r3 = 5), obter um contraste ortogonal C2 em relação a C1. 
 
2.16. Dados os contrastes C1 = m2 – m4 e Y2 = –2m1 + m2 + m4, referente a um 
experimento com 4 tratamentos (r1 = r2 = r3 = r4 = 5), obter um contraste ortogonal C3 em 
relação a C1 e C2. 
 
2.17. Dados os contrastes C1 = m1 + m2 + m3 – 3m4 e C2 = m1 – 2m2 + m3, referente a um 
experimento com 4 tratamentos (r1 = r2 = r3 = 4 e r4 =

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