Exercicíos Cálculo Númerico

Prévia do material em texto

1. 
 
 
Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 
 3,142 
 3,14159 
 3,1416 
 3,141 
 3,1415 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
 2/16 
 16/17 
 - 2/16 
 17/16 
 9/8 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 -11 
 -7 
 3 
 2 
 -3 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. 
Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu 
salário em função de x. 
 
 1000 + 50x 
 1000 + 0,05x 
 1000 - 0,05x 
 1000 
 50x 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
 -7 
 3 
 -11 
 2 
 -3 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que 
função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo xpertencente 
ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
 Função exponencial. 
 Função quadrática. 
 Função afim. 
 Função linear. 
 Função logaritma. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a: 
 
 
 
 10860 
 1085 
 1084 
 1086 
 10085 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o 
comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de 
uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a 
descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com 
relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando 
números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta 
intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta 
intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
 
 
 
 
Exercício inciado em 12/11/2017 14:24:26. 
 
 
 
 
 
 
CCE0117_A2_201510761071_V1 
 
 
 
 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
Vídeo 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
1. 
 
 
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, 
velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações 
matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se 
obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 Método de Romberg. 
 Método do Trapézio. 
 Método da Bisseção. 
 Extrapolação de Richardson. 
 Regra de Simpson. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de 
eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto 
afirmar que: 
 
 
 É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 É a raiz real da função f(x) 
 Nada pode ser afirmado 
 É o valor de f(x) quando x = 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo 
procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de 
rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar: 
 
 
 
A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do 
mesmo. 
 
A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o 
entendimento de todos os procedimentos. 
 
A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas 
hierárquicas. 
 A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas. 
 
A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos 
objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da 
Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga 
o valor encontrado para x3. 
 
 
 1 
 0, 375 
 0,4 
 0.25 
 0.765625 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro 
absoluto associado? 
 
 1,008 m2 
 0,2 m2 
 99,8% 
 0,2% 
 0,992 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da 
raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
 Newton Raphson 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Bisseção 
 Gauss Jordan 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 
0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 Relativo 
 De truncamento 
 Percentual 
 De modelo 
 Absoluto 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos 
matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado 
problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, 
sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS 
AFIRMAR: 
 
 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em 
pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 
Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em 
pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
 
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem 
as ações a serem executadas. 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas 
estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if". 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é 
a entrada de outra. 
 
 
 
 
 
 
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
 
 
 
 
Exercício inciado em 12/11/2017 14:35:14. 
 
 
 
 
1. 
 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz 
desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido: 
 
 A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. 
 A derivada da função deve ser positiva em todas as iteraçõesintermediárias. 
 A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. 
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 
utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize 
quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
 1.9876 
 1.0746 
 1.0800 
 1.0909 
 1.0245 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, 
qual o valor da raiz após a primeira iteração. 
 
 0,55 
 1,00 
 1,85 
 1,56 
 1,14 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) 
através de: 
 
 Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 Uma reta tangente à expressão f(x). 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de 
um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo 
ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." 
Esse método é conhecido como: 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Método de Pégasus 
 Método das secantes 
 Método do ponto fixo 
 Método da bisseção 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 
3ln(x) dado x0=0,5. 
 
 1,70 
 1,17 
 1,77 
 1,67 
 1,87 
 
 
 
 
 
CCE0117_A4_201510761071_V1 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 
 x=-3, y=1, z=-2. 
 x=2, y=4, z=6. 
 x=-2, y=4, z=-6. 
 x=1, y=2, z=3. 
 x=3, y=1, z=2. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
 Nenhuma das Anteriores. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções 
quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, 
determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
 y=2x+1 
 y=x
3+1 
 y=2x 
 y=x
2+x+1 
 y=2x-1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
 x = -2 ; y = 3 
 x = 5 ; y = -7 
 x = - 2 ; y = -5 
 x = 2 ; y = -3 
 x = 9 ; y = 3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas 
lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, 
financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser 
utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
 Método de Newton-Raphson. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 Método do ponto fixo. 
 Método da bisseção. 
 Método da falsa-posição. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
6. 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação 
a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 Sempre são convergentes. 
 Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 x1 = -10 ; x2 = 10 
 x1 = -20 ; x2 = 15 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 x1 = 10 ; x2 = -10 
 x1 = 18 ; x2 = 18 
 
 
 
 
 
 
 
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
 
 
 
 
Exercício inciado em 12/11/2017 14:46:43. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que 
devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das 
funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
 Função quadrática. 
 Função logarítmica. 
 Função cúbica. 
 Função exponencial. 
 Função linear. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
2. 
 
 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje 
encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método 
de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio 
interpolador? 
 
 
 grau 15 
 grau 30 
 grau 31 
 grau 20 
 grau 32 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma 
comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais 
"x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso 
desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico 
deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
 Determinação de raízes. 
 Verificação de erros. 
 Interpolação polinomial. 
 Integração. 
 Derivação. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação 
através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica 
utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique 
se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA. 
 
 
 Há convergência para o valor -3. 
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 Há convergência para o valor -59,00. 
 Há convergência para o valor - 3475,46. 
 Há convergência para o valor 2. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para 
grandes motores.Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses 
pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 
 Pode ter grau máximo 10 
 Sempre será do grau 9 
 Será de grau 9, no máximo 
 Nunca poderá ser do primeiro grau 
 Poderá ser do grau 15 
 
 
 
6. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções 
reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se 
ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por 
interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), 
C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x) 
 
 Um polinômio do terceiro grau 
 Um polinômio do quinto grau 
 Um polinômio do sexto grau 
 Um polinômio do quarto grau 
 Um polinômio do décimo grau 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n 
que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as 
quais podemos citar: 
 
 
 o método de Euller 
 o método de Runge Kutta 
 o método de Raphson 
 o método de Lagrange 
 o método de Pégasus 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcular pela regra do Trapézio 
usando 5 pontos e sabendo-se que: 
 
 
 7,970 
 2,395 
 4,785 
 5,125 
 3,985 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função? 
 
 
 Semelhança de triângulos. 
 Semelhança de círculos. 
 Nenhuma das anteriores. 
 Semelhança de retângulos. 
 Semelhança de quadrados. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de 
engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A 
respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: 
 
 I - Pode ser de grau 21 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 
 
Apenas II e III são verdadeiras. 
 
 Todas as afirmativas estão erradas 
 Apenas I e II são verdadeiras 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 Apenas I e III são verdadeiras 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e 
B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser 
executado. 
 
 Indefinido 
 Qualquer valor entre 2 e 10 
 0 
 20 
 5 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior 
interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, 
empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que 
devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das 
funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
 Função cúbica. 
 Função linear. 
 Função exponencial. 
 Função quadrática. 
 Função logarítmica. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
6. 
 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 
 (13,13,13) 
 (11,14,17) 
 (10,8,6) 
 (8,9,10) 
 (6,10,14) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos 
utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração 
conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de 
integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou 
seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: 
 
 
 Varia, aumentando a precisão 
 Varia, diminuindo a precisão 
 Nunca se altera 
 Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
 Nada pode ser afirmado. 
 
 
8. 
 
 
Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, 
aproximadamente, o valor 
de usando o método dos 
trapézios com 3 casas decimais. 
 
 
 
 
 13,017 
 13,500 
 13,857 
 13,900 
 13,000 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o 
valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir 
dessas informações, determine o erro relativo. 
 
 
 0,2667 
 0,1266 
 0,1667 
 0,6667 
 0,30 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos 
utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração 
conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos 
congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração 
são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor? 
 
 
 0,5 
 Indefinido 
 3 
 30 
 0,3 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 
 3,14159 
 3,141 
 3,1416 
 3,142 
 3,1415 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um 
método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. 
Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação. 
 
 
 0,025 e 0,03 
 0,25 e 0,03 
 0,50 e o,30 
 0,25 e 0,30 
 0,03 e 0,25 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a 
um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é: 
 
 2,5 
 1 
 indeterminado 
 2 
 3 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto 
neste caso é: 
 
 3,1416 
 0.0015926536 
 0,1415926536 
 0,14 
 3,14 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita 
métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução 
desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) 
e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente. 
 
 
marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar 
intensa. 
 
mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar 
intensa. 
 Nenhuma das Anteriores 
 
marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da 
trena. 
 marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 
 todas são verdadeiras 
 todas são falsas 
 apenas I é verdadeira 
 apenas III é verdadeira 
 apenas II é verdadeira 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
O Método de Rombergé uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, 
exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros 
métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-
b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida 
da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função 
f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
 0,382 
 0,351 
 1,053 
 0,725 
 1,567 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos 
numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um 
destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se 
conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-
5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de 
investigação das raízes. 
 
 
 [4,6] 
 [3,4] 
 [4,5] 
 [5,6] 
 [2,3] 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de 
Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o 
valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
 
 
 0,8 
 0,4 
 0,6 
 1,0 
 1,2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e 
"y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o 
tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros 
exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que 
passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através 
do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: 
 
 
 
As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas 
casos particulares da interpolação de Lagrange. 
 A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos. 
 Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos. 
 
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos 
(x,y). 
 
Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de 
dois pontos (x,y). 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
5. 
 
 
Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a 
regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de 
Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito. 
 
 
 Regra de Simpson. 
 Método da Bisseção. 
 Extrapolação de Richardson. 
 Método de Romberg. 
 Método do Trapézio. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas 
numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas 
especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida. 
 A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. 
Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou 
seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que 
teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial? 
 
 
 5 
 3 
 4 
 2 
 1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
8. 
 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto 
afirmar que: 
 
 É um método de pouca precisão 
 É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração 
 Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos 
 Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
 Só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
 
1. 
 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) 
) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a 
determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este 
polinômio? 
 
 
 X
20 + 7X - 9 
 X
19 + 5X + 9 
 X
21 + 3X + 4 
 X
30 + 8X + 9 
 X
20 + 2X + 9 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
2. 
 
 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) 
pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos 
trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro 
conhecido como: 
 
 
 erro absoluto 
 erro relativo 
 erro de truncamento 
 erro booleano 
 erro de arredondamento 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 2 
 -11 
 -8 
 -7 
 3 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar 
que: 
 
 Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0 
 Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0 
 Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0 
 Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0 
 Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique 
o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva 
que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, 
utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a 
equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. 
Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 -3 
 3 
 0 
 -2 
 1 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos 
equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um 
método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, 
que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os 
pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. 
Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo 
igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 -2 
 -1 
 2 
 1 
 0 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e 
as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de 
equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos 
naturaisque nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções 
que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" 
diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função. 
 Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola. 
 Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo. 
 A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal. 
 Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos. 
 
 
1. 
 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de 
várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a 
Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os 
computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos 
afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, 
em geral, apenas soluções aproximadas. 
 
Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção 
do resultado. 
 
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na 
resolução de um dado problema. 
 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores 
numéricos, que são soluções de determinado problema. 
 
Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a 
solução numérica desejada. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da 
bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros 
absoluto e relativo valem, respectivamente: 
 
 
 2.10-2 e 1,9% 
 3.10
-2 e 3,0% 
 0,020 e 2,0% 
 0,030 e 1,9% 
 0,030 e 3,0% 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
3. 
 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser 
enquadrada como fator de geração de erros: 
 
 Uso de dados de tabelas 
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números 
 
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de 
equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
4. 
 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, 
NxP e P- Q, se: 
 
 
 
 b = a + 1, c = d= e = 4 
 2b = 2c = 2d = a + c 
 
b - a = c - d 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 
a = b = c = d= e - 1 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo 
numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares 
assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir 
para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi. 
 
Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado 
pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir 
para a solução do sistema. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em 
transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual 
o erro relativo associado? 
 
 0,992 
 99,8% 
 0,2 m2 
 1,008 m2 
 0,8% 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
7. 
 
 
Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R2,1 da integral de 
f(x) = cos(x) no intervalo entre 0 e  
é dado por: 
 
 
  
  
 2 
 - 
 - 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos 
expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um 
sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação 
destes sistemas. 
 
 
 Método de Gauss-Jacobi. 
 Método de Newton-Raphson. 
 Método de Gauss-Seidel. 
 Método de Decomposição LU. 
 Método de Gauss-Jordan.