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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LUIZ ROBERTO 1 Taxa de juros 1 AULA 04 – Medidas de Posição AULA 04 Medidas de Posição: Média Aritmética Mediana Moda 2 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Média Aritmética, Mediana e Moda São medidas de tendência central definidas na Estatística. São medidas importantes que tentam apontar para o valor central de um conjunto de dados. 3 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Média Aritmética A Média Aritmética é a medida de posição central da Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto de dados. Vamos estudar as técnicas para cálculo da média nos casos de dados: Não agrupados Agrupados 4 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição DADOS NÃO AGRUPADOS A Média Aritmética ou simplesmente Média é obtida pela soma de todos os valores numéricos do conjunto de dados, dividido pela quantidade de dados. Para o conjunto de n dados, X1, X2,..., Xn, a média aritmética pode ser obtida aplicando-se a fórmula: 5 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exemplo 1 Suponha que as notas de um candidato, em seis provas de um concurso, sejam 8,4 9,2 7,1 6,8 8,7 7,2 Cálculo da Média das notas: 6 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exemplo 2 Considere uma distribuição de frequências simples: Em uma prateleira de uma loja foram encontrados 4 tipos de produtos com os seguintes preços e respectivas quantidades: R$(xi) 50 60 80 90 Quantidade oufrequência (fi) 8 5 4 3 7 f i = 20 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição As quantidades atuam como fatores de ponderação. Logo, o preço médio dos produtos pela Média Aritmética Ponderada será: R$(xi) 50 60 80 90 fi 8 5 4 3 O preço médio de todos os produtos da prateleira é R$64,50. 8 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Outro exemplo de Média Aritmética Ponderada: 50 casais de um condomínio. N° de Filhos (xi) N° de casais (fi) fi.xi 0 6 0 1 16 16 2 9 1 8 3 8 24 4 3 12 5 3 15 6 3 18 7 2 14 Total () 50 117 = = 2,34 filhos 9 = Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES Neste caso, a média aritmética é obtida utilizando-se a Média Ponderada, com as seguintes ressalvas: Os valores utilizados para as variáveis xi correspondem aos pontos médios dos intervalos de classes. As frequências fi correspondem às frequências simples dos intervalos de classes. 10 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exemplo 3: DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES Distribuição de frequências dos 40 alunos a faculdade A. i Estaturas (cm) xi (ponto médio) fi (frequênciassimples) xifi 1 150|154 152 4 608 2 154|158 156 9 1404 3 158|162 160 11 1760 4 162|166 164 8 1312 5 166|170 168 5 840 6 170|174 172 3 516 fi= 40 6440 11 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Para o cálculo da estatura média dos alunos da turma aplicamos a fórmula da média ponderada. Concluímos que a altura média dos estudantes da amostra é de 161 cm. 12 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Principais Características da Média Aritmética O cálculo da média envolve todos os elementos do conjunto de dados. A média é influenciada por dados com valores muito pequenos ou muito grandes. Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma única média. 13 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição MEDIANA - Dados não agrupados Neste caso, a MEDIANA é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados de forma crescente. 14 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição MEDIANA - Dados não agrupados Ordenar os dados de forma crescente. Caso o número de dados seja ímpar, a mediana será o termo de ordem central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e a esquerda, isto é, a mediana será o valor do termo de ordem (n + 1)/2. Caso o número de dados seja par, a mediana será a média aritmética dos termos que ocupam as posições n/2 e (n/2) + 1. 15 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exemplo 1 - Cálculo da Mediana 6,8 7,2 7,2 8, 4 8,7 9,2 Como n = 6 (número par de dados) a mediana do conjunto será a média aritmética entre os termos de posição 3 e de posição 4: Md = 16 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exercício 2- O cálculo da Mediana Para a série de dados: 5 13 10 2 4 7 6 qual é o valor da mediana? Em ordem crescente: 2 4 5 6 7 10 13 A mediana é dada por Md = (n + 1) / 2 = 4 (ou 4° dado) Md = 6 Observe que três termos estão situados à esquerda de 6 e os outros três termos a direita de 6. A mediana dividiu a série de dados em partes iguais. 17 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Dados agrupados SEM intervalos de classes 1° Passo: Incluir na distribuição de frequências simples uma coluna com as frequências acumuladas. 2° Passo: Identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade do somatório das frequências simples e observar o valor da variável associado a esta frequência, que é a MEDIANA (Md). 18 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exemplo: Cálculo da Mediana 1º Passo: Incluir uma coluna com as frequências acumuladas na distribuição de frequências. xi fi Fi 50 8 8 60 5 13 80 4 17 90 3 20 fi= 20 19 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição 2º Passo: calcular o valor de A frequência acumulada imediatamente superior ao número 10 encontrado é F2 = 13. Logo, a MEDIANA Md = 60, que corresponde ao valor da variável associado a frequência acumulada 13. xi fi Fi 50 8 8 60 5 13 80 4 17 90 3 20 fi= 20 20 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Atenção! Quando o valor de for igual a uma das frequências acumuladas Fi , o cálculo da mediana será a média aritmética entre os valores das variáveis xi e xi+1. Exemplo: 21 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição xi fi Fi 50 20 20 58 30 50 66 50 100 fi= 100 A mediana da distribuição será dada pela média aritmética entre os valores das variáveis x2 e x3. Md = 22 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Dados agrupados COM intervalos de classes Acrescentar à tabela uma coluna com as frequências acumuladas Fi. Calcular Encontrar a classe mediana que corresponde à classe associada à frequência acumulada imediatamente superior a . 23 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Onde: Limd limite inferior da classe mediana f md frequência simples da classe mediana Fmd-1 frequência acumulada da classe anterior à classe mediana Amd amplitude da classe mediana. 24 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição i Estaturas (cm) fi (frequênciassimples) Fi (frequências acumuladas) 1 150|154 4 4 2 154|158 9 13 3 158|162 11 24 4 162|166 8 32 5 166|170 5 37 6 170|174 3 40 fi= 40 Exemplo 3: Cálculo da Mediana 25 = 20 Imediatamente acima Classe Mediana Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Pela fórmula: LImd = 158 Amd = 4 fmd = 11 Fmd -1 = 13 Md = 158 + . ( 20 – 13) = 160, 54 26 i (cm) fi Fi 1 150|154 4 4 2 154|158 9 13 3 158|162 11 24 4 162|166 8 32 5 166|170 5 37 6 170|174 3 40 fi= 40 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Moda É a medida de posição da Estatística que encontra o dado que aparece mais frequentemente na distribuição. A moda é o valor que mais se repete no conjunto. 27 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Moda para dados NÃO agrupados Exemplo 1: Cálculo da moda A série de dados 8,4 9,2 7,2 6,8 8,7 7,2 tem moda igual a 7,2 que corresponde ao dado que mais se repete. 28 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição xi fi 50 8 60 5 80 4 90 3 fi= 20 MODA: Dados Agrupados SEM intervalos de classes. A maior frequência é f1 = 8, logo a moda é o valor correspondente à variável x1, ou seja Mo = 50. 29 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição MODA: Dados Agrupados COM intervalos de classes. Identificamos a classe modal que corresponde à classe com maior frequência de dados. Então o cálculo da Moda será dado por: Mo = onde: l = limite inferior da classe modal e L = limite superior da classe modal. 30 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição Exemplo 3: O cálculo da Moda i Estaturas (cm) fi (freq. simples) 1 150|154 4 2 154|158 9 3 158|162 11 4 162|166 8 5 166|170 5 6 170|174 3 fi= 40 31 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição A Moda pode não ser única: bimodal A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. Pode não existir: amodal A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, logo não possui moda. 32 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição 33 Mediana Exemplo: a) O número de valores observados (n) é impar X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1) 1º) Colocar em ordem crescente: X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10) 2º) A posição da Mediana por P = = = 4 ==> 4ª posição. Md = 4 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição 34 Mediana b) O número de valores observados (n) é par X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6) 1º) Ordem crescente: X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10) 2º) Determinar a posição da Mediana: Md = + 1 P1 = = 4 4ª posição e P2 = + 1 = 5 5ª posição Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª posição). Tira-se a média aritmética entre os dois números. Md = = 6,5 Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição 35 Taxas (xi) N°de Municípios (fi) 6 --- 16 29 16 --- 26 24 26 --- 36 16 36 --- 46 13 46 --- 56 4 56 --- 66 3 66 --- 76 2 76 --- 86 2 86 --- 96 1 Total () 94 1º passo: Identifica-se a classe de maior frequência = 29 (1ª classe): 6 --- 16 2º passo: Aplica-se a fórmula: Mo = Mo = = 11 Moda – para dados agrupados com classes Taxa de juros AULA 04 – Medidas de Posição 36 HISTOGRAMA É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de retângulos justapostos. POLÍGONO DE FREQUÊNCIA É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de um polígono. Idade Fi 2-4 3 4-6 5 6-8 10 8-10 6 10-12 2 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Fi limite das classes Taxa de juros
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