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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
Taxa de juros
1
AULA 04 – Medidas de Posição
AULA 04 
Medidas de Posição:
Média Aritmética
Mediana
Moda
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Média Aritmética, Mediana e Moda
São medidas de tendência central definidas na Estatística. 
São medidas importantes que tentam apontar para o valor central de um conjunto de dados. 
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Média Aritmética
A Média Aritmética é a medida de posição central da Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto de dados. 
 
Vamos estudar as técnicas para cálculo da média nos casos de dados:
Não agrupados 
Agrupados
4
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
DADOS NÃO AGRUPADOS
A Média Aritmética ou simplesmente Média é obtida pela soma de todos os valores numéricos do conjunto de dados, dividido pela quantidade de dados.
 
Para o conjunto de n dados, X1, X2,..., Xn, a média aritmética pode ser obtida aplicando-se a fórmula:
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 1
Suponha que as notas de um candidato, em seis provas de um concurso, sejam 
8,4 9,2 7,1 6,8 8,7 7,2
 
Cálculo da Média das notas:
6
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 2
Considere uma distribuição de frequências simples:
Em uma prateleira de uma loja foram encontrados 4 tipos de produtos com os seguintes preços e respectivas quantidades:
R$(xi)
50 60 80 90
Quantidade oufrequência
(fi)
8 5 4 3
7
 
f i = 20

Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
As quantidades atuam como fatores de ponderação.
Logo, o preço médio dos produtos pela
Média Aritmética Ponderada será:
R$(xi)
50 60 80 90
fi
8 5 4 3
O preço médio de todos os produtos da prateleira é R$64,50.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Outro exemplo de Média Aritmética Ponderada: 
50 casais de um condomínio.
N° de Filhos
(xi)
N° de casais
(fi)
fi.xi
0
6
0
1
16
16
2
9
1 8
3
8
24
4
3
12
5
3
15
6
3
18
7
2
14
Total ()
50
117
=
= 2,34 filhos
9
=
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES
Neste caso, a média aritmética é obtida utilizando-se a Média Ponderada, com as seguintes ressalvas:
Os valores utilizados para as variáveis xi correspondem aos pontos médios dos intervalos de classes. 
As frequências fi correspondem às frequências simples dos intervalos de classes.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 3: DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES
Distribuição de frequências dos 40 alunos a faculdade A.
i
Estaturas
(cm)
xi
(ponto médio)
fi
(frequênciassimples)
xifi
1
150|154
152
4
608
2
154|158
156
9
1404
3
158|162
160
11
1760
4
162|166
164
8
1312
5
166|170
168
5
840
6
170|174
172
3
516
fi= 40
6440
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Para o cálculo da estatura média dos alunos da turma aplicamos a fórmula da média ponderada. 
Concluímos que a altura média dos estudantes da amostra é de 161 cm.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Principais Características da Média Aritmética
 O cálculo da média envolve todos os elementos do conjunto de dados.
 A média é influenciada por dados com valores muito pequenos ou muito grandes.
 Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma única média.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
MEDIANA - Dados não agrupados
Neste caso, a MEDIANA é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados de forma crescente.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
MEDIANA - Dados não agrupados
 Ordenar os dados de forma crescente.
 Caso o número de dados seja ímpar, a mediana será o termo de ordem central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e a esquerda, isto é, a mediana será o valor do termo de ordem (n + 1)/2. 
 Caso o número de dados seja par, a mediana será a média aritmética dos termos que ocupam as posições n/2 e (n/2) + 1.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 1 - Cálculo da Mediana
6,8 7,2 7,2 8, 4 8,7 9,2 
Como n = 6 (número par de dados) a mediana do conjunto será a média aritmética entre os termos de posição 3 e de posição 4:
 Md = 
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exercício 2- O cálculo da Mediana
Para a série de dados: 5 13 10 2 4 7 6
qual é o valor da mediana?
Em ordem crescente:
2 4 5 6 7 10 13
A mediana é dada por Md = (n + 1) / 2 = 4 (ou 4° dado)
Md = 6
Observe que três termos estão situados à esquerda de 6 e os outros três termos a direita de 6. 
A mediana dividiu a série de dados em partes iguais.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Dados agrupados SEM intervalos de classes
 1° Passo: Incluir na distribuição de frequências simples uma coluna com as frequências acumuladas.
2° Passo: Identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade do somatório das frequências simples e observar o valor da variável associado a esta frequência, que é a MEDIANA (Md).
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo: Cálculo da Mediana
1º Passo: Incluir uma coluna com as frequências acumuladas na distribuição de frequências.
xi
fi
Fi
50
8
8
60
5
13
80
4
17
90
3
20
fi= 20
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
2º Passo: calcular o valor de
 A frequência acumulada imediatamente superior ao número 10 encontrado é F2 = 13. 
 Logo, a MEDIANA Md = 60, que corresponde ao valor da variável associado a frequência acumulada 13.
xi
fi
Fi
50
8
8
60
5
13
80
4
17
90
3
20
fi= 20
20
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Atenção!
 Quando o valor de for igual a uma das frequências acumuladas Fi , o cálculo da mediana será a média aritmética entre os valores das variáveis xi e xi+1. 
Exemplo:
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
xi
fi
Fi
50
20
20
58
30
50
66
50
100
fi= 100
A mediana da distribuição será dada pela média aritmética entre os valores das variáveis x2 e x3. 
 
Md = 
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Dados agrupados COM intervalos de classes
Acrescentar à tabela uma coluna com as frequências acumuladas Fi.
Calcular 
 Encontrar a classe mediana que corresponde à classe associada à frequência acumulada imediatamente superior a .
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Onde:
 Limd  limite inferior da classe mediana
f md  frequência simples da classe mediana
Fmd-1  frequência acumulada da classe anterior à classe 	 mediana 
Amd  amplitude da classe mediana.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
i
Estaturas
(cm)
fi
(frequênciassimples)
Fi
(frequências acumuladas)
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
 
 
fi= 40
 
Exemplo 3: Cálculo da Mediana
25
= 20
Imediatamente acima
Classe Mediana
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Pela fórmula:
LImd = 158
Amd = 4
fmd = 11
Fmd -1 = 13
 
Md = 158 + . ( 20 – 13) = 160, 54
26
i
(cm)
fi
Fi
1
150|154
4
4
2
154|158
9
13
3
158|162
11
24
4
162|166
8
32
5
166|170
5
37
6
170|174
3
40
 
 
fi= 40
 
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Moda
É a medida de posição da Estatística que encontra o dado que aparece mais frequentemente na distribuição.
 
A moda é o valor que mais se repete no conjunto.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Moda para dados NÃO agrupados 
Exemplo 1: Cálculo da moda
A série de dados
8,4 9,2 7,2 6,8
8,7 7,2
tem moda igual a 7,2 que corresponde ao dado que mais se repete.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
xi
fi
50
8
60
5
80
4
90
3
fi= 20
MODA: Dados Agrupados SEM intervalos de classes.
A maior frequência é f1 = 8, logo a moda é o valor correspondente à variável x1, ou seja Mo = 50.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
MODA: Dados Agrupados COM intervalos de classes.
 
Identificamos a classe modal que corresponde à classe com maior frequência de dados. 
Então o cálculo da Moda será dado por: 
 Mo = 
 
onde: l = limite inferior da classe modal e 
L = limite superior da classe modal.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 3: O cálculo da Moda
i
Estaturas
(cm)
fi
(freq. simples)
1
150|154
4
2
154|158
9
3
158|162
11
4
162|166
8
5
166|170
5
6
170|174
3
fi= 40
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
A Moda pode não ser única: bimodal
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. 
 
Pode não existir: amodal
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, logo não possui moda.
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Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
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Mediana 
Exemplo:
a) O número de valores observados (n) é impar
X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)
1º) Colocar em ordem crescente: X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)
2º) A posição da Mediana por P = = = 4 
==> 4ª posição.
Md = 4
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
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Mediana 
b) O número de valores observados (n) é par
X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)
 1º) Ordem crescente: X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)
 2º) Determinar a posição da Mediana: Md = + 1 
 
P1 = = 4 4ª posição e P2 = + 1 = 5  5ª posição
Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª posição). 
Tira-se a média aritmética entre os dois números.
 
Md = = 6,5
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
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Taxas
(xi)
N°de Municípios (fi)
6 --- 16
29
16 --- 26
24
26 --- 36
16
36 --- 46
13
46 --- 56
4
56 --- 66
3
66 --- 76
2
76 --- 86
2
86 --- 96
1
Total ()
94
1º passo: 
Identifica-se a classe de maior frequência = 29  (1ª classe): 6 --- 16
 
2º passo: Aplica-se a fórmula: 
Mo = 
 
Mo = = 11 
Moda – para dados 
agrupados com classes
Taxa de juros
AULA 04 – Medidas de Posição
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HISTOGRAMA
É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de retângulos justapostos.
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA 
É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de um polígono.
Idade
Fi
2-4
3
4-6
5
6-8
10
8-10
6
10-12
2

26
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fi
limite das classes
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