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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
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Taxa de juros
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Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
AULA 07 
CONCEITOS DE PROBABILIDADE
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Taxa de juros
A História da Probabilidade
Na antiguidade, acreditava-se que somente os deuses poderiam explicar a ocorrência de alguns eventos naturais. Na Grécia antiga, antever o futuro era um privilégio de Tirésias. Cego por vingança divina, Tirésias recebeu de Zeus o dom da profecia. 
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 	O homem das cavernas sentia temor ante os fenômenos naturais porque não podia explicá-los. Mitos e magias dominavam o seu pensamento. De forma lenta e gradual, ele passou a compreender a natureza e respeitá-la. Assimilou que diversos dos fenômenos incertos poderiam ser modelados e melhor entendidos. Assim, nasciam as primeiras aplicações práticas para as probabilidades.
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A partir do século XVI a incerteza passou a ser objeto de estudo dos matemáticos, resultando na Teoria das Probabilidades. 
Para eles, probabilidade é porcentagem: frequência com que ocorre um evento em relação às alternativas possíveis. Iniciava-se assim, os estudos matemáticos para compreender os jogos de azar e os riscos dos seguros, possibilitando o surgimento da Teoria da Probabilidade. 
 
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A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. 
Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. 
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Esses estudos foram iniciados no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
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Pascal 
Fermat
Tartaglia
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DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
 
 A Estatística estuda fenômenos cujos resultados variam de uma observação para outra.
Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios – adota-se um modelo matemático probabilístico. Nesse caso, o modelo utilizado será o 
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES.
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A probabilidade representa a relação entre o número de eventos favoráveis ao que se estuda em relação ao número de eventos possíveis.
 
Exemplo: 
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de dar o número 6?
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Podemos também representar:
Para quantificar o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis, empregamos diferentes métodos:
Método clássico
Método empírico
Método subjetivo 
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Método clássico: Quando o resultado é provável, seu emprego é comum nas situações que envolvem dados, moedas e baralhos. Nesses casos, se sabe previamente quais os resultados possíveis e desses, quantos são favoráveis. 
Exemplos:
a) Moeda: probabilidade de sair “cara” é 50% ou 1/2.
b) A probabilidade de extrair uma carta de copas de um baralho é 25% ou 1/4.
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Método empírico: A frequência de ocorrer o evento é determinada a partir de uma série de observações anteriores. 
Exemplo: em uma cidade de 10.000 habitantes 4.800 são do sexo feminino, estima-se que a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso seja do sexo feminino é igual a 4.800/10.000, ou 0,48, ou 48%. Neste caso, a probabilidade está associada à frequência relativa (fi%).
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Método empírico: 
Exemplo: Uma pesquisa na universidade entre 4000 alunos sobre torcedores de clubes, contatou-se os seguintes dados:
Fluminense: 1200 … 30%
Flamengo: 800 20%
Vasco: 1000 25%
Botafogo: 800 20%
Outros: 200 5%
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Método subjetivo 
A probabilidade é estimada com base na opinião pessoal. Por exemplo, um cientista político pode estimar que a probabilidade de vitória da oposição nas próximas eleições seja de 60%.
A probabilidade do Fluminense ser campeão é de 85%.
 
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Exemplo 1: (Método clássico)
 
Qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha de uma caixa com 12 bolas, sendo que lá existem três vermelhas?
 
Resp: 3/12 = 25%
 
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 Exemplo 2: (Método clássico)
 Quando dois dados são jogados simultaneamente, existem seis resultados possíveis em cada dado, ou seja, 36 resultados possíveis. 
Qual é a probabilidade de se obter a soma sete?
 Para que a soma seja sete os pares devem ser: 
{(6,1)}; {(5,2)}; {(4,3)}; {(3,4)}; {(2,5)}; {(1,6)}.
 Assim, a probabilidade é igual a 6/36 = 1/6
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 Exemplo 3: (Método empírico)
 
Qual a probabilidade de encontramos um aluno maior de idade em um colégio, sabendo que uma pesquisa com 1400 alunos apontou 800 maiores de idade. 
 
A probabilidade seria de 800/1400 = 57,14%.
 
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Experimento aleatório: É quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes. Exemplo: possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório, que apresenta as seguintes características:
 É possível conhecer previamente o conjunto dos resultados possíveis.
 Não é possível prever o resultado.
 Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições.
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Exemplos de experimentos
 
1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. 
 
2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas. 
 
 3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e seis pretas. 
4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. 
 
5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária de uma determinada máquina. 
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 A análise desses experimentos revela 
 
Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. 
b) Não se conhece um particular valor do experimento 
“a priori”, porém podemos descrever todos os possíveis resultados – são as possibilidades. 
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 c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade, uma estabilidade da fração f = s/n (frequência relativa), onde s é o número de sucessos e 
n é o número de repetições. 
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 ESPAÇO AMOSTRAL: 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, “S” ou Ω.
Para cada experimento aleatório E, o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é denominado espaço amostral (Ω). 
O número de elementos de um espaço amostral = n(Ω). 
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  Exemplo 1:
E = Jogar um dado e observar o número 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados. 
 
Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} 
 
K = Cara 
C = Coroa 
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  Exemplo 2:
Lançamos uma moeda honesta e observamos a 
face voltada para cima: 
Temos: Ω = {K, C}
Logo o número de elementos do Espaço Amostral 
n(Ω) = 2. 
 
Chamamos cada um dos resultados possíveis de 
Ponto Amostral. 
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 Exemplo 3:
Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro azuis. Duas bolas são extraídas, ao acaso,
sucessivamente e 
sem reposição. 
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Para determinar Ω, construímos um diagrama de árvore:
Ω = {(V, V), (V,A), (A,V), (A,A)}  n(Ω) = 4
 
Cada par é um ponto amostral de Ω. 
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  Evento
É um conjunto de resultados do experimento. 
É um subconjunto de Ω. 
 
Podemos formar novos eventos: 
 A ∪ B é o evento que A ou B ocorre ou ambos. 
 
A ∩ B é o evento que A e B ocorrem. 
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Exemplo 1: Sejam os experimentos: 
 
a) jogar três moedas e observar os resultados: 
 
 
Ω =
{(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)} 
 
Determine o evento que ocorre pelo menos duas caras. 
 
E = {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)} 
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b) Lançar um dado e observar o número de cima. 
 
E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. 
 
c) Lançar um dado e observar a ocorrência de número maior que 8. 
E = Ø é um evento impossível. 
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d) lançar um dado e observar a ocorrência de múltiplo de 2. 	
E = {2, 4, 6}; E ⊂ Ω.
 
e) lançar um dado e observar a ocorrência de número ímpar.
 
E = {1, 3, 5}; E ⊂ Ω.
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Probabilidade de um Evento 
 
 
 Podemos quantificar o grau de confiança de um evento. 
Exemplo:
O experimento consiste em extrair uma bola de uma caixa e observar a cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta? 
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Probabilidade de um Evento 
 
 
Para solucionar temos que determinar o espaço amostral:
 
 Elemento Probabilidade
 
(B) Branca 2/9
(V) Vermelha 3/9 
(P) Preta 4/9
Ω = {Branca, Vermelha, Preta}
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O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, 
E = {B,V}, consta de dois elementos. 
 
Se somarmos as probabilidades da bola branca, 2/9
e da vermelha, 3/9, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A:
P(E) = + = 
 
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Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma frequência relativa esperada. 
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. 
Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua probabilidade é uniforme. 
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Exercícios:
Um experimento é composto de duas etapas: primeiro, 
uma moeda é lançada e, em seguida, um dado é lançado. Construa o espaço amostral.
Ω = {(C,1), (C,2), (C,3), C,4), (C,5), (C,6), {(K,1), (K,2), (K,3), K,4), (K,5), (K,6)}
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Exercícios:
2. Será realizado um sorteio para saber que mês haverá uma feira de artesanato. Construa o espaço amostral.
Ω = {jan, fev, mar, abr, mai, jun, jul, ago, set, out, nov, dez}
3. Uma carta de um baralho de 52 cartas será sorteada. Determine: a) Ω b) n(Ω)
Ω = {Áscopas, Ásouros, Ásespadas, Áspaus, ... Reicopas, Reiouros, Reiespadas, Reipaus}
n(Ω) = 52
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4. Um diálogo está gravado em seis idiomas: português, francês, italiano, inglês, alemão e espanhol.
Podemos escolher um desses idiomas. 
Determine o espaço amostral.
Ω = {português, francês, italiano, inglês, alemão, espanhol}
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5. Uma urna contém três bolas vermelhas e uma azul. Retiramos, sucessivamente, duas bolas dessa urna. Construa o espaço amostral correspondente, se a extração é feita: 
com reposição 
Ω = {(V, V), (V, A), (A, A), (A, V)}
b) sem reposição 
Ω = {(V, A), (V, V), (A, V)}
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