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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
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Taxa de juros
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Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
AULA 09 
Probabilidade Condicional
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Taxa de juros
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Objetivos da AULA 09 
- Probabilidade de dois eventos.
- Teorema do Produto
- Probabilidade Condicional.
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Taxa de juros
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Relembrando o que é Evento
a) Lançar um dado e observar o número de cima. 
 
E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. 
b) Lançar um dado e observar a ocorrência de pares. 
 
E = {2, 4, 6} é um evento de números pares. 
c) Lançar um dado e observar a ocorrência de número maior que 8. 
E = Ø é um evento impossível. 
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PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência do evento A  B. 
Consideremos dois casos: 
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1°) Teorema da soma: 
eventos mutuamente exclusivos
 
A  B = Ø 
n(A  B) = n(A) + n(B)
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Da definição de probabilidade: 
a probabilidade da união de (A) com (B) é a 
soma da probabilidade de (A) com a probabilidade de (B).
 P( A  B ) = p(A) + p(B)
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2°) Eventos com ocorrências simultâneas: 
Aplica-se nas operações multiplicativas de probabilidades, que são aquelas que envolvem a expressão “e” e são representadas por “”.
A  B ≠ Ø
p( A  B ) = p(A) + p(B) - A  B 
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Exemplo 1 
 Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
 
Consideremos os eventos:
A “o número é múltiplo de 2” e B “o número é múltiplo de 3”. 
Queremos encontrar p(A  B) 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 
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Lembrando que:
Podemos calcular a probabilidade da interseção: 
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A  B = {6, 12, 18, 24}  é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. 
Temos: p(A  B) = 
Como p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
Temos p(A  B) =
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Exemplo 2: Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? 
 
A = {5, 10, 15, 20, 25} 
 
Logo: p(A) = 
 
B = {7, 14, 21} 
 
Logo: p(B) = 
 
Como A  B = Ø temos: 
p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B) =
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Exemplo 3: A probabilidade de um policial aplicar quatro ou mais multas em um dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro multas? 
 
Consideremos os eventos: 
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56 
Temos: 
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1°) A  B é o evento “aplica exatamente quatro multas”. 
Queremos determinar p(A  B). 
 
2°) p(A  B) = (o guarda aplica menos de quatro multas ou quatro multas ou mais). 
 
Assim, p(A  B) = p(Ω) = 1 (pois A  B é o evento certo). 
Então: 
 
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
 
1 = 0,63 + 0,56 - p(A  B)
 
p(A  B) = 1 – 1,19 = 0,19 = 19%
 ≤ 4 4 ≥4
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Exemplo 4: Observe a roleta. 
 a) Qual a probabilidade de cada 
evento elementar? 
 
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 
P(3) = 2/8 
 
b) Qual a probabilidade do número ser par? P({2,4,6}) = 3/8 
c) Qual a probabilidade de dar o número 3? P(3) = 2/8 = 1/4 
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
 
Supor o lançamento de um dado. 
Seja o evento A = {sair o nº 4}
 
p (A) = 1/6
  
Seja o evento B = {sair um número par} = {2, 4, 6}
Vamos estudar a probabilidade condicional. 
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Estamos interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. 
 
A probabilidade condicionada é representada por: 
p(A/B)  lê-se: probabilidade de A dado B
Observe que uma vez dada a informação da ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço amostral.
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Sabemos que B = {2, 4, 6}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para
 Ω´ = {2, 4, 6}  neste espaço amostral é que se avalia a probabilidade do evento.
 Dados dois eventos A e B, a p(A/B) é a probabilidade condicionada do evento A quando B tiver ocorrido:
 
 p(A/B) = 
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Podemos concluir:
  p(A/B) = = = 
 
Assim, para avaliar a probabilidade de A, dado B, basta contar o número de casos favoráveis ao evento (A  B) e dividir pelo número de casos favoráveis ao evento B.
 
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Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:
 A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} 
B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 , é do dado 2.
 
Pede-se avaliar p(A); p(B); p(A/B) e p(B/A)
 Solução:
 
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p(A) = 
 
p(B) =
Lembrando  A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} e B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Apenas (6,4) é favorável ao evento A  B e que 15 pares são favoráveis a B.
  
 
 
p(A/B) = 
 
p(B/A) =
 
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TEOREMA DO PRODUTO
 
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da possibilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro”.
 Logo: p(A  B) = p(B) . p(A/B)
 
 Logo: p(A  B) = p(A) . p(B/A)
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TEOREMA DO PRODUTO
 
Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
 
A = {a primeira peça é boa}  p(A) = 
B = {a segunda peça é boa}  p(B/A) =
 
p(A  B) = p(A) . p(B/A) = 
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Exercícios: 
1) Calcule A  B. São dados:
 p(A) = p(B) = P(A  B) =
Solução:
Pela fórmula p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
 
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2) Dado p(A) = p(B) = p (A  B) = 
Calcule p(A/B). 
 Solução:
 
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3) Dado p(A) = p(B) = p (A  B) = 
Calcule p [(A  B)/B].
 Solução:
Obs: A probabilidade de A  B dado B é igual a 1, pois é um evento certo.
 
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4) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de observarmos um múltipo de 3 ou um quadrado perfeito?
Solução:
p(Múltiplos de 3) = 2/6 = 1/3 (números 3 e 6)
p(Quadrado perfeito) = 2/6 = 1/3 (números 1 e 4)
Logo: p = 1/3 + 1/3 = 2/3 
 
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5) Dois dados, azul e vermelho, são lançados.
Qual a probabilidade de sair 2 no azul 
e 
6 no vermelho?
Considerando os eventos:
A: Tirar 2 no dado azul: p(A) = 1/6
B: Tirar 6 no dado vermelho: p(B) = 1/6
p(A  B) = 1/6 . 1/6 = 1/36
 
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6) Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 7 
ou um Ás?
Assim, p(A  B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13
Note que p(A  B) = 0, pois uma carta não pode ser 7 e Ás ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
A: sair 7  P(A) = 4/52
B: sair um Ás  P(B) = 4/52
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