Apostila 2015 Formatada

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Sumário 
 
 
 
Capítulo 1 – Sistemas Lineares ................................................................................................................... 03 
 
 
Sessão Leitura ................................................................................................................................................ 03 
I. Equação linear ............................................................................................................................................. 03 
II. Sistema linear ............................................................................................................................................. 03 
III. Classificação de um sistema linear ........................................................................................................... 03 
IV. Métodos de resolução de sistemas lineares ............................................................................................. 04 
Fixação ........................................................................................................................................................... 06 
Questões de Raciocínio Lógico ....................................................................................................................... 07 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................................................... 08 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 10 
Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 13 
Exercício Comentado ..................................................................................................................................... 15 
 
 
Capítulo 2 – Polinômios ............................................................................................................................... 17 
 
 
Sessão Leitura ................................................................................................................................................. 17 
I. Expansão polinomial de um número ........................................................................................................... 17 
II. Identidade de polinômios ............................................................................................................................ 18 
III. Operações com polinômios ....................................................................................................................... 18 
IV. Divisão de um polinômio por um binômio do 1° grau ................................................................................ 19 
V. Equação Polinomial .................................................................................................................................... 20 
1)Teorema Fundamental da Álgebra .............................................................................................................. 21 
2)Teorema da Decomposição ......................................................................................................................... 21 
VI. Raízes: ...................................................................................................................................................... 21 
1) Número de Raízes de uma equação Polinomial ........................................................................................ 21 
2) Raízes Racionais ........................................................................................................................................ 21 
VII. Relações de Girard em equações do 2º e 3º ........................................................................................... 21 
Fixação ........................................................................................................................................................... 22 
Questões de Raciocínio Lógico ...................................................................................................................... 23 
Exercícios Comentados .................................................................................................................................. 24 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 25 
Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 27 
 
 
Capítulo 3 – Análise Combinatória ............................................................................................................. 28 
 
 
Sessão Leitura ................................................................................................................................................ 28 
I. Princípio fundamental da contagem ............................................................................................................ 28 
II. Fatorial ........................................................................................................................................................ 29 
III.Tipos de agrupamento ................................................................................................................................ 29 
1) Arranjos simples ......................................................................................................................................... 30 
2) Permutação simples ................................................................................................................................... 30 
3) Permutação com elementos repetidos ....................................................................................................... 31 
4) Combinação simples .................................................................................................................................. 31 
IV. Binômio de Newton ................................................................................................................................... 32 
Fixação ........................................................................................................................................................... 33 
Questões de Raciocínio Lógico ...................................................................................................................... 34 
Exercícios Comentados .................................................................................................................................. 35 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 37 
Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 39 
 
 
 
Capítulo 4 – Probabilidade .......................................................................................................................... 41 
 
 
Sessão Leitura ................................................................................................................................................ 41 
I. Conceito e definição de probabilidade ........................................................................................................ 41 
II. Adição de probabilidades ........................................................................................................................... 41 
III. Probabilidade condicional ..........................................................................................................................42 
IV. Multiplicação de probabilidades ................................................................................................................ 42 
Fixação ........................................................................................................................................................... 43 
Questões de Raciocínio Lógico ...................................................................................................................... 44 
Exercícios Comentados .................................................................................................................................. 45 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 47 
Pintou no ENEM ............................................................................................................................................. 50 
 
Referências ..................................................................................................................................................... 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Capítulo 1 – Sistemas Lineares 
 
Sessão Leitura 
 
I. Equação Linear 
 
Conceito: chamamos equação linear toda equação do 1º grau (os expoentes das incógnitas devem ser 
iguais a 1), com uma ou mais incógnitas. 
Definição: equação linear é toda equação que pode ser apresentada sob a forma: 
 
a1x1 + a2x2 + a3x3+ … + anxn = b 
Na qual: 
• X1, X2, X3,...,Xn, são as incógnitas; 
• a1, a2, a3,… an, são constantes reais chamadas coeficientes; 
• b é uma constante real chamada termo independente; 
 
Exemplos: 
a) 8x + 5y = 11 
• incógnitas: x e y 
• coeficientes: 8 e 5 
• termo independente: 11 
b) 5x + 3y - 0z + n – 2m = - 4 
• incógnitas: x, y, z, n e m 
• coeficientes: 5, 3, - 0, 1 e -2 
• termo independente: - 4
 
Solução de uma equação linear: é toda sequência de números ( α1, α2, α3, …, αn ) que faz ser 
verdadeira a equação a1α1 + a2α2 + a3α3+ … + anαn = b. As equações lineares podem não apresentar 
solução, sendo chamadas de impossíveis, podem apresentar apenas uma solução ou infinitas soluções. 
 
Exemplo: a solução para a equação linear 8x – y + 3z = -1 é o termo ordenado (0, 4, 1), pois a sentença 
8·0 - 4 + 3·1 = -1 é verdadeira. 
 
Observações: 
 
1) 3x² + y = 5, não é equação linear, pois é do 2º grau; 
 
2) 1/x + y = 3 , não é equação linear, pois o expoente de x é -1 (não é do primeiro grau); 
 
3) Quando b = 0, dizemos que a equação linear é homogênea. Exemplos: x + 2y + 3z = 0 e x + y = 0; 
 
II. Sistema Linear 
 
Conceito: é um conjunto de equações lineares simultâneas. 
Solução: é qualquer solução comum a todas as equações do sistema. 
Exemplo:
 
2x + y + 3z = 11 
 y + 5z = 9 
 x – y + z = -1 
 
 
2·2 + 4 + 3·1 = 11 
0·2 + 4 + 5·1 = 9 
 2 – 4 + 1 = -1
O termo (2, 4, 1) é a solução deste sistema, pois esta solução é comum a todas as equações do sistema. 
 
III. Classificação de um Sistema Linear 
 
1) Sistema possível e determinado (SPD): tem somente uma solução (a incógnita tem apenas um valor). 
2) Sistema possível e indeterminado (SPI): tem mais de uma solução (a incógnita tem mais de um valor). 
3) Sistema impossível (SI): não apresenta nenhuma solução (é impossível encontrar a solução).
 
x + y = 5 
 y = 2 
SPD, pois y = 2 e x = 3 
 
 12x + 3y = 33 
4x + y = 11 
 SPI, pois y = 11- 4x 
 
 x + y = 5 
 x + y = 8 
 SI, pois 5 não é igual a 8
 
 
4 
 
 
IV. Métodos de resolução de um sistema linear 
 
1) Escalonamento 
 
Para um sistema linear ser considerado escalonado, é preciso que: 
• Todas as equações apresentem as incógnitas na mesma ordem; 
• As equações devem ter ao menos um coeficiente não nulo, caso contrário a mesma deixa de existir; 
• Deve existir uma ordem crescente de incógnitas com coeficiente nulo em cada equação, ou seja, a 
1ª primeira equação deve ser completa (nenhuma incógnita com o coeficiente igual a 0), a 2ª segunda 
apresenta uma incógnita com coeficiente igual a 0, a 3ª apresenta duas incógnitas com coeficiente 0, etc; 
 
Exemplos: 
2x + 3y + 5z = 9 
0x + 4y + z = 5 
0x + 0y + 3z = 6 
 Escalonado 
 
4x + 3y +z = 1 
0x + 5y – z = 3 
0x + 3y +2z = 5 
 Não escalonado 
 
6x + y + 3z = 6 
0x + 4y – 3z = 1 
0x + 0y + 0z = 5 
 Não escalonado
a) Resolução de um sistema linear escalonado cujo número de equações é igual ao número de 
incógnitas, também conhecido como sistema linear do 1º tipo, usando o método da substituição: 
 
 
 
 
 
3x + 2y – z = 9 equação I 
0x + 5y – 2z = 1 equação II 
0x + 0y + 3z = 6 equação III 
 
 
 
 
• O primeiro passo é determinar o valor de z na equação III: 3z = 6 → z = 2; 
• Substituindo z por 2 na equação II, temos: 5y – 2.2 = 1 → 5y = 1 + 4 → y = 1; 
• Substituindo y por 1 e z por 2 na equação I, temos: 3x + 2.1 – 2 = 9 → 3x = 9 → x = 3; 
• Logo, o conjunto solução para este sistema é: S = {(3, 1, 2)}; 
Propriedade: todo sistema linear escalonado do primeiro tipo é possível e determinado (SPD). 
 
b) Resolução de um sistema linear escalonado cujo número de equações é menor do que o número de 
incógnitas, também conhecido como sistema linear do segundo tipo: 
 
 
 
 
x + 2y – 3z = 1 
 y + 5z = 3 
 
 
 
• No caso de sistemas lineares do segundo tipo, admitimos a existência de pelo menos uma variável 
arbitrária, ou livre, que será aquela que não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado 
(no exemplo acima, a variável arbitrária é z). A variável arbitrária poderá assumir qualquer valor real. 
• Para cada valor assumido pela variável arbitrária, obtém-se uma solução diferente para o sistema. 
• Grau de indeterminação de um sistema do 2º tipo é número de variáveis livres que ele apresenta. 
Propriedade: todo sistema escalonado do segundo tipo é possível e indeterminado (SPI). 
 
2) Sistemas Lineares Equivalentes 
 
São sistemas lineares que apresentam o mesmo conjunto solução (são sistemas redundantes). São 
criados sistemas equivalentes àqueles propostos pelo enunciado para possibilitar a resolução através dos 
métodos da multiplicação, da divisão e da adição. Exemplo: 
- Resolução o sistema 
x + 2y = 5 
3x + 7y = 16 
 
• Multiplica-se a equação (I) por – 3, em seguida, somamos a equação equivalente ( I') com a 
equação (II). Por último, faz se a substituição do valor encontrado para y na equação (I) ou ( I'), 
assim encontramos o valor de x para formar o conjunto solução, S = {(x,y)}. 
 
 x + 2y = 5 (I) ×( - 3) → 
3x + 7y = 16 (II) 
 
-3x – 6y = -15 ( I') 
 3x + 7y = 16 ( II) → (I') +(II)→ 
 
- 3x – 6y = -15 ( I') 
 y = 1 ( II”) 
 
Se y = 1, substituindo em (I), temos: x + 2 . (1) = 5 → x = 5 - 2 = x = 3. Solução: y = 1 e x = 3. 
 
5 
 
 
• Método da substituição 
Ideal para sistemas com duas incógnitas e duas equações (sistema 2x2). Consiste em escolher 
uma das equações, isolar uma de suas incógnitas e substituí-la na segunda equação, obtendo assim 
o resultado da outra incógnita. Com o resultado da incógnita, substitui o valor dela na outra equação, 
encontrando o valor da incógnita que faltava. 
 
Observe o exemplo: 
 
2x + 3y = 19 
x – y = - 3 
 
Nesse caso, vamos escolher a 2º equação e isolar a incógnita x. 
 
x – y = –3 
x = –3 + y 
 
Agora, substituímos o valor de x por –3 + y na 1º equação. 
 
2x + 3y = 19 
2*(–3 + y) + 3y = 19 
–6 + 2y + 3y = 19 
2y + 3y = 19 + 6 
5y = 25 
y = 5 
 
Para finalizar, calculamos o valor de x utilizando a seguinte equação: 
 
x = –3 + y 
x = –3 + 5 
x = 2 
 
Portanto, a solução do sistema é x = 2e y = 5, isto é, o par ordenado (2,5) 
 
 
• Método da adição 
O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma 
das incógnitas. 
 
Observe o exemplo: 
 
x + y = 10 
x – y = 12 
 
1º passo: somamos as equações, eliminando uma das incógnitas e determinando o valor da outra 
incógnita. 
 
 x + y = 10 (+) 
 x – y = 12 
 2x + 0 = 22 
 
x = 11 
 
Calculado o valor de x, basta escolher uma das equações e substituir o valor de x por 11. 
 
x + y = 10 
y = 10 – x 
y = 10 – 11 
y = –1 
 
A solução do sistema é o par ordenado (11, –1) 
 
 
6 
 
 
Fixação 
 
 Existem várias aplicações práticas que justificam a necessidade de conhecer os métodos para cálculo de 
sistemas lineares. Por exemplo, os proprietários de automóveis que usam a gasolina como combustível, 
precisam saber se a quantidade de álcool anidro misturada na gasolina está dentro do valor permitido (o 
álcool deve corresponder de 20% a 25% do combustível). Isso poderia ser feito da seguinte maneira: 
 
 Se 1 litro de álcool anidro custa R$ 1,20, 1 litro de gasolina custa R$ 2,00 e 1 litro da mistura custa 
R$ 1,80, quanto de álcool anidro contém em 1 litro dessa mistura? 
 
 x + y = 1 (I) 
1,20x + 2y = 1,80 (II) 
 
• Isolando o y na equação (I): y = 1 – x 
• Substituindo na equação (II), o valor encontrado para y na equação (I), teremos: 
 
1,20x + 2(1 - x) = 1,80 
1,20x + 2 – 2x = 1,80 
0,8x = 0,20 
x = 0,25 
 
• Assim, concluímos que a mistura está na proporção correta de álcool anidro e gasolina. 
 
 
7 
 
 
 
Questões de raciocínio lógico 
 
As questões de lógica matemática podem fazer parte da sua prova, por isso é importante 
treinar bastante e lembrar que elas existem, assim não perdemos tempo tentando descobrir “qual 
fórmula usar” e partimos logo para a resolução. 
 
# FICA A DICA 
 
1. (FCC – 2004) 
Esta sequência de palavras segue uma lógica: 
 
• Pá 
• Xale 
• Japeri 
 
Uma quarta palavra que daria continuidade a esta seqüência poderia ser: 
 
a) Casa 
b) Anseio 
c) Urubu 
d) Café 
e) Sua 
 
2. (FCC - IPEA 2004) 
Encontram-se sentados em torno de uma mesa quadrada quatro juristas. Miranda, o mais antigo entre eles, 
é alagoano. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Ferraz está sentada à direita de Miranda. 
Mendes, à direita do paulista. Por sua vez, Barbosa, que não é carioca, encontra-se à frente de Ferraz. 
Assim: 
 
a) Ferraz é carioca e Barbosa é baiano. 
b) Mendes é baiano e Barbosa é paulista. 
c) Mendes é carioca e Barbosa é paulista. 
d) Ferraz é baiano e Barbosa é paulista. 
e) Ferraz é paulista e Barbosa é baiano. 
 
3. (FCC - TRT - 2004) 
Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II: 
 
 
 
O menor número de palitos que deve ser movido para fazer tal transformação é: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
Gabarito: 1) b 2) e 3) c 
8 
 
 
Exercícios Comentados 
 
Agora que o conteúdo já foi discutido em sala, é hora de fazer exercícios para fixar a matéria. 
Nesta sessão veremos alguns exercícios resolvidos e comentados para relembrar o que fizemos em 
sala. Se “te der um branco” e você não conseguir fazer algum exercício sozinho, não pule para o 
seguinte! Volte aqui, dê uma olhada e tente outra vez. 
Lembre-se que um mesmo sistema linear pode ser resolvido de diversas maneiras, aqui será 
apresentada apenas uma delas. 
 
# FICA A DICA 
 
1) Resolva o sistema abaixo: 
x + y + z = 7 
2x + y – z = 9 
x – 2y +2z = 2 
• Multiplicamos a primeira equação por (- 2) e somamos à segunda: 
 
x + y + z = 7 (-2) = - 2x - 2y - 2z = -14 
 
 - 2x - 2y - 2z = -14 
(+) 2x + y – z = 9 
- y - 3z = -5 
 
• Agora multiplicamos a primeira equação por (-1) e somamos à terceira: 
 
x + y + z = 7 (- 1) = - x - y - z = - 7 
 
 - x - y - z = - 7 
(+) x - 2y +2z = 2 
 - 3y + z = -5 
 
• Agora montamos um sistema equivalente com as duas novas equações encontradas, multiplicamos a 
primeira por (-3) e somamos com a segunda: 
- y - 3z = -5 (I) 
- 3y + z = -5 (II) 
 
- y - 3z = -5 (-3) = -3y + 9z = 15 
 
 -3y + 9z = 15 
(+) -3y + z = -5 
 10 z = 10 
 z = 1 
 
• Sabendo o valor de z, substituindo este na equação (I), temos: 
- y – 3z = -5 
- y – 3.(1) = -5 
- y = -5 + 3 
- y = -2 
y = 2 
 
• Sabendo que z = 1 e y = 2, descobriremos o valor de x na primeira equação do sistema: 
x + y + z = 7 
x + 2 + 1 = 7 
x = 7 – 2 – 1 
 x = 4 
Solução do sistema: {4, 2, 1} 
9 
 
 
2) Quatro amigos estavam em um bar e decidiram propor uma brincadeira para descobrirem a idade do filho 
mais novo de cada um deles. Para simplificar, chamaremos as crianças de x, y, z e t. As dicas elaboradas 
por eles foram as seguintes: 
 
• Somando as idades das crianças obtemos o valor 11; 
• Subtraindo da idade de x as idades das demais crianças, obtemos o valor -9; 
• Subtraindo da idade de y as idades das demais crianças, obtemos o valor -7; 
• Subtraindo da idade de z as idades das demais crianças, obtemos o valor -5; 
 
Sabendo destas informações, responda qual é a idade da criança mais velha. 
 
Resolução: 
 
• O primeiro passo é montar um sistema a partir das dicas: 
 
 x + y + z + t = 11 
 x – y – z – t = - 9 
- x + y – z – t = - 7 
- x – y + z – t = - 5 
 
• Somando a primeira com a segunda equação, temos: 
 
 x + y + z + t = 11 (+) 
 x – y – z – t = - 9 
 2x = 2 
x = 1 
 
• Somando a primeira equação com a terceira: 
 
 x + y + z + t = 11 (+) 
 - x + y – z – t = - 7 
 2y = 4 
y = 2 
 
• Somando a terceira equação com a quarta: 
 
 - x + y - z - t = - 7 (+) 
 - x - y + z – t = - 5 
 -2x -2t = -12 
 
Como x = 1, temos: 
- 2.1 - 2t = -12 
-2t = -12 +2 
-2t = -10 
t = 5 
 
• Somando a segunda equação com a terceira: 
x – y – z – t = - 9 (+) 
- x + y – z – t = - 7 
-2z -2t = -16 
 
Como t = 5, temos: 
-2z -2.5 = -16 
-2z = -16 + 10 
-2z = -6 
z = 3 
 
• As idades das crianças x, y, z e t são, respectivamente 1, 2, 3 e 5 anos. 
 
Resposta: a criança mais velha é a y, que tem 5 anos. 
 
10 
 
 
Exercícios 
 
1. (Vunesp) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo 
cédulas de todos esses valores e o maior número possível de notas de 50 reais. Nessas condições, qual é o 
número mínimo de cédulas que ela poderá receber? 
 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
 
2. Qual das alternativas apresenta uma solução para o sistema:
 
 
 
 
 
 x + y + 2z = 9 
 x + 2y + z = 8 
2x + y + z = 7 
 
 
 
a) (8,1,0) b) (10, -1,0) c) (1,2,3) d) (9,0,0) e) (1,1,1)
 
3. Os 152 participantes de um congresso são professores de Matemática, Física ou Química. Sabendo que 
cada um deles leciona apenas uma dessas matérias e que o número de professores de Física é o dobro do 
número de professores de Química, qual é o menor número possível de professores de Matemática que 
participam desse congresso? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
 
4. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da quantidade de 
suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A 
quantidade de suco de fruta que contém neste um litro de creme é: 
 
a) 300ml b) 250ml c) 350ml d) 400ml e) 420ml
 
5. Um ourives cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro com 3g cada, de prata com 5g cada e de 
bronze com 7g cada. O preço unitário era de R$ 30,00, R$ 10,00 e R$ 05,00, respectivamente. Sabendo 
que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87g, qual foi o número de medalhas de ouro 
confeccionadas?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
 
6. (FAAP 2009) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 
impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 
000 impressões? 
 
(A) 20 (B) 15 (C) 12 (D) 10 (E) 5 
 
7. (PUC-CAMP 2006) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 
peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por 
dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de: 
 
(A) 1000 (B) 2000 (C) 4000 (D) 5000 (E) 8000 
 
8. (UNICAMP 2001 – Adaptada) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e 
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e 
o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos 
ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata 
deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Qual é a quantidade de amendoim nesta mistura? 
 
(A) 25g (B) 250g (C) 100g (D) 150g (E) 300g 
 
9. (FUVEST 2007 – Adaptada) Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. 
Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia 
perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quantos reais 
Amélia possui? 
 
(A) R$ 24,00 (B) R$ 2,40 (C) R$ 18,00 (D) R$ 36,00 (E) R$ 15,00 
11 
 
 
10. (UNESP 2003) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas 
de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1.950 dólares e a quantidade de 
cédulas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100, foi: 
(A)1.800 (B)1.500 (C) 1.400 (D)1.000 (E) 800 
 
11. (UFC 2003) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, 
ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I 
com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café 
do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente: 
(A) 5 e 3 reais (B) 6,40 e 4,30 reias (C) 5,50 e 4,00 reais (D) 5,30 e 4,50 reias (E) 6,00 e 4,00 reais 
 
12. (UFPR 2006) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. 
Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam 
conversando e fizeram as seguintes afirmações: 
 
• 1º motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em 
Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km. 
• 2º motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. 
Ao todo, percorri 522 km. 
• 3º motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o 
restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km. 
 
Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos 
quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por 
Cascavel e retornasse a Guarapuava? 
 
(A) 820 km (B) 832 km (C) 798 km (D) 812 km (E) 824 km 
 
13. (PUC - Pr 2010) Como está próximo o término do desconto do IPI para a linha branca dos 
eletrodomésticos, uma determinada loja de departamentos, para vender uma geladeira, uma máquina de 
lavar e uma secadora, propôs a seguinte oferta: a geladeira e a máquina de lavar custam juntas 
R$ 2.200,00; a máquina de lavar e a secadora, R$ 2.100,00; a geladeira e a secadora, R$ 2.500,00. 
Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados? 
 
(A) R$ 2.266,00 (B) R$ 6.800,00 (C) R$ 3.200,00 (D) R$ 3.400,00 (E) R$ 4.800,00 
 
14. (UFU 2011) Por causa de maus hábitos alimentares, um cardiologista nota que os seus pacientes com 
hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez mais cedo. Suponha que 
Pedro, Márcia e João sejam pacientes, com faixas etárias bem distintas e que utilizam um mesmo anti-
hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que João utiliza comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 
10 mg. Além disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três consomem 130 
comprimidos, totalizando 780 mg da droga. Isto posto, podemos afirmar que Márcia, mensalmente, ingere: 
 
(A) 50 comprimidos (B) 20 comprimidos (C) 60 comprimidos (D) 30 comprimidos (E) 40 comprimidos 
 
15. (UESP) Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a: 
3x + z = -5 
x + y + z = - 2 
2y – z = -3 
 
(A) -8 (B) -7 (C) -6 (D) -5 (E) -4 
 
16) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu: "Minha idade quando somada à de 
Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior 
omam 39 anos." Qual a idade de Júnior? 
 
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos 
12 
 
 
17) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se 
da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, 
retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que 
fazia prova nessa sala era: 
 
a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 
 
18) (FUVEST-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, 
encontraram uma velha balança com defeito, que só indicavam corretamente pesos superiores a 60 kg. 
Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
 
-Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; 
-Carlos e Andreia pesam juntos 123kg; 
-Andreia e Bidu pesam juntos 66 kg. 
 
Os pesos de Carlos, Andreia e do cachorro Bidu em quilos, respectivamente, são: 
 
a) 72, 51 e 15 b) 82, 49 e 7 c) 61, 53 2 12 d) 70, 60 e 10 e) 72, 51 e 13 
 
19) Por ocasião do natal, uma empresa gratificará seus funcionários com um certo numero de cédulas de 50 
reais. Se cada funcionário receber 8 cédulas sobrarão 45 delas, se cada um receber 11 cédulas, faltarão 27. 
O montante a ser distribuído qual será? 
 
a) R$ 10.850 b) R$ 11.850 c) R$ 11.050 d) R$ 9.050 e) R$ 15.050 
 
20) Para se deslocar de casa até seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em 
alguns dias, ele utiliza um carro e, em outros, uma moto. Considerando que o custo do quilômetro rodado é 
de 21 centavos para o carro e de 7 centavos para a moto, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve 
andar de carro e moto, respectivamente, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00. 
 
a) 150km e 125km b) 220km e 110km c) 250km e 350km d)225km e 325km 
 
21) Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro 
dos grandes. Quantos são os pequenos? 
 
22) Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o 
maiordeles somado com quíntuplo do menor dá 1. 
 
23) Encontre 2 números inteiros cuja soma vale 51 e a diferença é 27. O maior deles é? 
 
24) Num quintal há galinhas e coelhos, somando 100 animais e 320 patas. Quantos animais são coelhos? 
 
25) Um teste é composto de 40 questões. Cada questão certa vale +3 pontos e cada errada vale – 2 pontos. 
Respondendo a todas as questões, Mara obteve 75 pontos neste teste. Quantas questões ela acertou? 
 
26) Uma herança de R$134.000,00 deve ser repartida entre três herdeiros, de maneira que o 1º receba 
mais R$40.000,00 do que o 2º, e este, mais R$ 20.000,00 do que o 3º. Qual a quota de cada herdeiro? 
 
27) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu 
saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos? 
 
28) Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma 
delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações 
atenderá diariamente cada uma delas em média? 
 
Gabarito 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
B C B A B E C B A D E A D B B 
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 
C C A B D 5 11 e -2 39 60 31 134mil 18 75 ligações 
 
13 
 
 
Pintou no ENEM 
 
1. O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a um outro município. Para isso 
foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km 
construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 
por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentavam o 
mesmo padrão de qualidade, mas apenas uma delas poderá se contratada. 
 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria 
indiferente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas? 
 
a) 100n + 350 = 120n + 150 
b) 100n + 150 = 120n + 350 
c) 100 (n + 350) = 120 (n + 150) 
d) 100 (n + 350.000,00) = 120 (n + 150.000,00) 
e) 350 (n + 100.000,00) = 150 (n + 120.000,00) 
 
2. Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por 
exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez de 15 litros de 
água utilizados pelas bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Agência Brasileira de Normas 
Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida pela substituição de uma bacia sanitária não 
ecológica, que gasta cerca de 60 litros de água por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
 
a) 24 litros 
b) 36 litros 
c) 40 litros 
d) 42 litros 
e) 50 litros 
 
3. Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam 
créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da 
pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas 
dos parques. Suponha que o período de uso de um brinquedo em um certo shopping custa R$ 3,00 e que 
uma bicicleta custa 9.200 tíquetes. Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que 
joga, o valor, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é de: 
 
a) 153 
b) 460 
c) 1.218 
d) 1.380 
e) 3.066 
 
4) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são 
roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca x é o dobro do número de 
carros roubados da marca y, e as marcas x e y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O 
número esperado de carros roubados da marca y é: 
 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 60 
 
5) Uma empresa realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu 
535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370 brinquedos entre bonecas e carrinhos, e o total da doação 
entre bolas e carrinhos foi de 455 brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa 
produziu: 
 
a) 320 bolas 
b) 145 carrinhos 
c) 235 bonecas 
d) 780 brinquedos 
14 
 
 
e) 1350 brinquedos 
6) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a 
gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem 
competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de 
extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. 
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 
g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar 
mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo, 
a) 617 kg. 
b) 668 kg. 
c) 680 kg. 
d) 689 kg. 
e) 717 kg. 
7) (ENEM/2010) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, 
alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e 
nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com 
os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a 
quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: 
 
(A) 920kg. 
(B) 800kg. 
(C) 720kg. 
(D) 600kg. 
(E) 570kg 
8) (ENEM 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu 
filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 
horas.Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa 
corporal dele e de: 
 
(A) 12 kg. 
(B) 16 kg. 
(C) 24 kg. 
(D) 36 kg. 
(E) 75 kg. 
9) ( ENEM 2009) Escolha do presidente de uma associação de bairro foi feita por meio de uma eleição, na 
qual votaram 200 moradores. Após apuração de 180 dos 200 votos, o resultado da eleição era o seguinte: 
 
» Candidato I - 47 votos 
» Candidato II - 72 votos 
» Candidato III - 61 votos 
 
A partir dos dados apresentados, pode-se concluir que: 
 
(A) o vencedor da eleição certamente será o candidato II. 
(B) dependendo dos votos que ainda não foram apurados, o candidato I poderá ser o vencedor da eleição. 
(C) o vencedor da eleição poderá ser o candidato II ou o candidato III. 
(D) como existem votos ainda não apurados, qualquer um dos três candidatos poderá ganhar a eleição. 
(E) o vencedor da eleição certamente será o candidato I. 
10) (ENEM 2011) Todo ano os brasileiros precisam acertar as contas com o Leão, ou seja, com o Imposto 
de Renda (IR). Suponha que, se a faixa salarial anual de um contribuinte está entre R$ 15.085,45 e 
R$ 30.144,96, então ele deve pagar 15% de IR. Nessa situação, se uma pessoa teve uma renda anual de 
R$ 20.000,00, o valor devido a título de IR é de: 
 
(A) R$ 120,00. (B) R$ 300,00. (C) R$ 1.200,00. (D) R$ 3.000,00. (E) R$ 4.500,00. 
 
15 
 
 
Gabarito 1 
A 
2 
B 
3 
D 
4 
E 
5 
B 
6 
B 
7 
A 
8 
A 
9 
C 
10 
D 
 
Exercício Comentado 
 
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser 
utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. 
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma: 
x1 = D1 
 D 
 
x2 = D2 
 D 
 
x3 = D3 ... xn = Dn 
 D D 
 
# FICA A DICA 
 
Veja no exemploabaixo de como aplicar essa regra de Cramer: 
 
Exemplo: Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de 
Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número 
de equações. 
 
O primeiro passo é encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A. 
 
Agora calculamos o seu determinante que será representado por D. 
 
 
 
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 
D = 15. 
 
Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma 
segunda matriz que será representada por Ax. 
 
 
 
Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx. 
16 
 
 
 
 
 
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 
Dx = 15 
 
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay. 
 
 
Agora calcularmos o seu determinante Dy. 
 
 
 
Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16 
Dy = 30 
 
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a 
matriz Az. 
 
 
Agora calculamos o seu determinante representado por Dz. 
 
 
Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8 
Dz = 45 
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos 
colocar em prática a regra de Cramer. 
 
A incógnita x = Dx = 15 = 1 
 D 15 
 
A incógnita y = Dy = 30 = 2 
 D 15 
 
A incógnita z = Dz = 45 = 3 
 D 15 
17 
 
 
 
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}. Ou seja, x = 1, y = 2 e z = 3. 
Capítulo 2 – Polinômios 
 
Sessão Leitura 
 
É muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular 
expressões que permitam a resolução do problema por meio de uma equação das expressões obtidas. Veja 
por exemplo a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Trata-se de um cubo de lados S = x + 2. 
• Para calcularmos sua área total, temos: 6·S² = 6(x+2)² = 6(x² + 4x + 4) = 6x² +24x + 24. 
• Para calcularmos seu volume, temos: S³ = (x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8. 
• Todas essas expressões são chamadas polinomiais. 
 
Neste capítulo vamos estudar métodos desenvolvidos para calcular os polinômios com muitos termos, pois 
estes são mais difíceis de serem calculados por outros métodos matemáticos. 
 
I. Expansão Polinomial de um Número 
 
O número 4.532 pode ser representado por uma soma de milhares, centenas, dezenas e unidades, isto é: 
 
 
4.532 = 4·10³ + 5·10² + 3·10¹ + 2·10º 
 
 
 
De maneira análoga, qualquer número natural pode ser representado sub a forma: 
 
 
 
 
 
 
• Os coeficientes 
são números naturais menores do que 10. 
• Cada uma das parcelas de um polinômio, como generalizado acima, é conhecida como termo ou 
monômio do polinômio e ao é o termo independente da variável x. 
• Grau de um polinômio é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não nulos. 
• Raiz de um polinômio é todo número complexo α tal que P(α) = 0. 
 
 
Exemplo: 8x5 + 3x4 + 5x – 4x + 2 
 
• O polinômio é do 5º grau 
• Os coeficientes são 8, 3, 5, 4 e 7 
• A variável é x 
18 
 
 
• Os termos, ou monômios, são 8x5, 3x4, 5x², 4x e 2 
• O termo independente é 2 
 
 
II. Identidade de Polinômios 
 
Dizemos que dois polinômios são idênticos somente se seus valores numéricos são iguais para todo α, ou 
seja, P(x) = Q(x) se, e somente se, P(α) = Q(α). Polinômios de graus diferentes nunca são iguais. 
 
Exemplo: Determinar os valores de a e b para que os polinômios P(x)=(a² – 4) x³ + 2x + 6 e 
Q(x)= 5x³ + (a – b)x² + (a – b)x + 6, na variável x, sejam idênticos.
 
a² – 4 = 5 
a – 3 = 0 
a – b = 2 
a = ± 3 
a = 3 
a – b = 2 
 
a = 3 e b = 1 
 
 
 
III. Operações com Polinômios 
 
1) Adição: P(x) + Q(x), é obtida ao se adicionar os coeficientes do polinômio P(x) aos coeficientes do 
polinômio Q(x) que tem o mesmo expoente na variável. Caso exista algum termo sem um expoente 
correspondente ao do outro polinômio, considera- se o seu coeficiente como sendo zero. 
 
2) Subtração: P(x) – Q(x), é considerada como o oposto da soma, ou seja, P(x) + [ - Q(x)]. Assim, a 
resolução será através do mesmo procedimento feito em uma adição. 
 
3) Multiplicação: P(x) · Q(x), é dada pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os 
monômios de Q. 
 
4) Divisão: E(x) / D(x), significa encontrar dois polinômios R(x) e Q(x) que satisfaçam as condições: 
• E(x) = Q(x)·D(x) + R (x) 
• O grau de R(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de Q(x) ou então R(x) = 0 
• Obs.: A expressão E(x) = Q(x)·D(x) + R (x), quer dizer que o dividendo é igual ao divisor multiplicado 
pelo quociente depois somado ao resto. 
 
Exemplo: 
 
1) Dados os polinômios P(x) = 3x4 + 2x³ + x – 1 e Q(x) = 5x4 + 3x + 7, calcule: 
 
a) P(x) + Q(x) = 3x4 + 5x4 + 2x³ + 3x + x – 1 +7 = 8x4 + 2x³ + 4x + 6 
 
b) P(x) – Q(x) = 3x4 - 5x4 + 2x³ - 3x + x – 1 – 7 = - 2x4 + 2x³ – 2x – 8 
 
c) 3P(x) = 3 ( 3x4 + 2x³ + x – 1) = 9x4 + 6x³ + 3x – 3 
 
d) P(x)·Q(x) = (3x4 + 2x³ + x – 1)·(5x4 + 3x + 7) 
 
= 15x + 9x5 + 21x4 + 10x + 6x4 + 14x³ + 5x5 + 3x² + 7x – 5x4 – 3x – 7 
 
= 15x + 10x + 14x5 + 22x4 + 14x³ + 3x² + 4x – 7 
 
 
2) Dividindo-se E(x) = 2x5 – x4 + x2 por D(x) = 2x+3, qual será o quociente e resto? 
 
• 1º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto grau de D(x). 
• 2º Passo: Subtraímos do dividendo o produto de D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, 
assim teremos o primeiro resto parcial. 
• 3º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais 
alto grau de D(x). 
19 
 
 
• 4º Passo: Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no 
terceiro passo, obtendo o segundo resto parcial. 
• Segue sucessivamente com esse processo até obter o resto final R(x). 
Aplicando o Método 
 
Resposta: 
Q(x) = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x - 1 
R(x) = 0 
 
 
IV. Divisão de um Polinômio por um Binômio do 1º grau 
 
Todo polinômio pode ser decomposto em fatores do primeiro grau, portanto, a divisão de polinômios pode 
ser efetuada por meio de divisões sucessivas por fatores do primeiro grau. A partir desse pressuposto, 
outros métodos foram desenvolvidos para facilitar o cálculo da divisão entre polinômios. 
 
1) Teorema do resto: 
 
Se a é constante qualquer, o resto da divisão de um polinômio P(x) por x – a é igual a P(a), com R(x) = R; 
 
P(x) = (x – a)·Q(x) + R(x) 
P(a) = (a – a)·Q(x) + R 
P(a) = 0 ·Q(x) + R 
P(a) = R 
 
Exemplo: O resto da divisão de um polinômio 4x³ + x² – 3 pelo binômio x – 2 é igual a P(2), isto é: 
 
R = P(2) = 4·2³ + 2² – 3 = 33 
 
2) Teorema de D'Alembert: 
 
Se a é uma constante qualquer, um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, a for raiz de P(x). 
Se a é raiz de P(x), então P(a) = 0. 
Pelo teorema do resto, temos que P(a) = R, então a é raiz de P(x) se, e somente se, R = 0. 
 
Exemplo: Determinar o polinômio do segundo grau que , dividido por x – 1, x – 2 e x – 3, apresenta restos 
iguais a 4, 7 e 14, respectivamente: 
 
Sendo P(x) = ax² + bx + c, temos: 
 
P(1) = 4 → a + b + c = 4 
P(2) = 7 → a·2² + b·2 + c = 7 
P(3) = 14 → a·9 + b·3 + c = 14
 
 a + b + c = 4 
 4a + 2b + c = 7 
 9a + 3b + c = 14 
 
20 
 
 
a = 2, b = - 3 e c = 5 
 
P(x) = 2x² – 3x + 5
3) Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
Este algoritmo permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira rápida e simples. 
 
 
Exemplo: Dividindo p(x)= 3x³ - 5x² + x - 2 por h(x) = x - 2, temos: 
 
• Repetimos o primeiro coeficiente do dividendo, no caso 3. 
• Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos esse produto com o próximo termo do 
dividendo, que resulta em 1. 
• Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente, e assim por diante, sempre repetindo 
o processo, até chegar no último coeficiente. 
• A partir desse algoritmo temos q(x) = 3x² + x + 3 e r(x) = 4, então, 3x³ -5x² +x -2 = (x-2)(3x²+x+3) +4 
e 2 é uma raiz do polinômio. 
 
 
 
V. Equação Polinomial 
 
Chamamos de equação polinomial, ou algébrica, toda equação que pode ser descrita sob a forma: 
 
 
• O conjunto solução de uma equação polinomial é o conjunto das raízes da equação, S={k,w} 
 
Exemplo: 
 
1) A equação x³ – 2x² = 2 – x pode ser representada sob a forma x³ – 2x² + x – 2 = 0, portanto é uma 
equação polinomial do terceiro grau na variável x. Para determinarmos suas raízes complexas, podemos 
fatorar o primeiro membro, ou seja: 
 
x²(x – 2) + (x – 2) = 0 
(x – 2)(x² + 1) = 0, é o mesmo dizer que: 
(x – 2) = 0 ou (x² + 1) = 0, dado pela propriedade do produto nulo. 
Assim, temos que x = 2. 
 
2) Uma das raízes da equação polinomial x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 é o número 1. Obter as outras raízes: 
 
• Se 1 é uma raiz deste polinômio, então P(1) = 0 e P(x) é divisível por x – 1. 
• Assim, podemos escrever P(x) = (x – 1)·Q(x). 
• Por Briot-Ruffini, temos: 
 
• Logo, Q(x) = x² – 5x + 6, portanto P(x) = (x – 1)(x² – 5x +6) é equivalente a x³ – 2x² + x – 2 = 0. 
21 
 
 
• Pela propriedade do produto nulo, temos: 
• x – 1 = 0 ou (x² – 5x +6) = 0, então: x = 1 ou x = 3 ou x = 2. 
• Logo, além da raiz 1, temos as raízes 2 e 3. 
 
1) Teorema Fundamental da Álgebra: toda equação polinomial admite pelo menos uma raiz complexa. 
2) Teorema da Decomposição: todo polinômio de grau n pode ser fatorado sob a forma abaixo, sabendo 
que r1, r2, r3,...,rn são todas as raízes de P(x). 
 
P(x) = an( x - r1 )( x – r2 )( x – r3 )·...·(x – rn ) 
 
Exemplo: Uma das raízes de P(x) = 3x³ – 20x² + 23x + 10 é o número 5. Fatorar P(x) como produto de uma 
constante por polinômios do 1º grau. 
• Pelo Teorema de D'Alamber, temos que P(x) é divisível por x – 5, ou seja, P(x) = (x – 5)·Q(x). 
• Obtém-se o polinômio Q(x), dividindo-se P(x) por x – 5. 
• Por Briot-Ruffini, temos: 
 
 
 
• Q(x) = 3x² – 5x – 2, portanto, P(x) = (x – 5)( 3x² – 5x – 2). 
• As raízes de P(x) são dadas por: (x – 5)( 3x² – 5x – 2) = 0. 
• (x – 5) = 0 ou ( 3x² – 5x – 2) = 0. 
• Resolvendo as equações, encontramos as raízes 5, 2 e – 1/3. 
• Pelo Teorema da Decomposição, temos: P(x) = 3(x – 5)(x – 2)(x + 1/3). 
 
 
VI. Raízes: 
 
1) Número de raízes de uma equação polinomial: uma equação polinomial de grau n admite exatamente 
n raízes complexas, não necessariamente distintas entre si. 
 
2) Raízes racionais: para descobrir se uma equação polinomial de coeficientes inteiros admite, ou não, 
raízes racionais usamos o teorema: 
• Seja p ÷ q, com p e q inteiros e primos entre si e q ≠ 0; 
• Se p ÷ q é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros, então p é divisor de ao e q é 
divisor de an. 
• Consequência: se a equação polinomial de coeficientes inteiros, P(x) = 0 tiver o polinômio P(x) com 
an = 1 e admitir raízes racionais, então essas raízes são inteiras. 
 
Exemplo: se p÷ q for raiz da equação x² – 5x + 6 = 0, então p é divisor de 6 e q é divisor de 1, logo, p ÷ q 
pertence a {±1, ±2, ±3, ±6}. 
 
VII. Relações de Girard 
 
1) Relações de Girard para equações do 2º grau: 
 
• As raízes r1 e r 2 da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, são tais que: 
 
r1 + r 2 = - b / a 
r1 · r 2 = c / a 
 
2) Relações de Girard para equações do 3º grau: 
 
• As raízes r1, r2 e r3 da equação do 3º grau ax³ + bx² + cx + d = 0, são tais que: 
 
r1 + r2 + r3 = - b / a 
 r1 · r 2 + r2 · r3 + r1 · r3 = c / a 
22 
 
 
r1 · r 2· r3 = - d / a 
 
 
 
Fixação 
Para que servem os polinômios? 
 
Não sei se vocês repararam, mas em todos os capítulos das apostilas aqui do cursinho existe uma 
“sessão leitura” na qual colocamos textos de apoio, curiosidades, aplicações práticas, etc. Na parte de 
polinômios fiquei pensando no que de interessante posso colocar aqui e imediatamente me lembrei de uma 
pergunta freqüente na sala de aula: “ Para que servem os polinômios?”. Então decidi colocar aqui as 
respostas mais interessantes que encontrei. 
 
"Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar CDs, nem de música nem 
de computador. Os polinômios (e aritmética módulo n, corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra abstrata) são 
a base do código que faz com que os dados sejam escritos em CDs, os chamados códigos corretores 
de erro. Todo meio de comunicação tem o que chamamos de ruído, que faz com que os dados não sejam 
transmitidos corretamente (não é incompetência do transcritor de dados, é a própria natureza - um bom 
exemplo é a recepção de celular com ruído atmosférico). Assim, são necessários códigos que eliminem ou 
corrijam esses erros, que são esse códigos corretores de erros. É claro que, para compreender isso, é 
necessário algum estudo de álgebra abstrata e, dependendo do código, até de geometria projetiva finita!” 
“Você pode me perguntar: "por acaso eu sou obrigado a saber tudo isso?" Certamente não. É claro que 
não posso proibir a minha sobrinha de 9 anos de escutar CDs só porque ela não sabe o que são 
polinômios. Mas no momento em que o homem se priva de ter esse conhecimento, ele se priva de poder 
alcançar patamares ainda maiores em tecnologia. Ora essa, alguém tem que inventar novidades para a 
nossa evolução, não? Você pode perguntar a si mesmo: "por que eu faria isso?". Por que não perguntar 
"por que não eu?"?” 
http://supmat.blogspot.com.br/2012/02/texto-para-refletir-para-que-servem.html 
“Como os polinômios são usados? 
 
Desde que os polinômios são usados para descrever curvas de diversos tipos, as pessoas costumam 
utilizá-los para visualizar curvas. Por exemplo, construtores de montanhas-russas podem usar polinômios 
para descrever as curvas de seus trilhos, e também combinações de funções polinomiais às vezes são 
usadas em estudos de economia para fazer análises de custo. 
 
Polinômios também podem ser usados para modelar diferentes situações, como no mercado de ações, a 
fim de prever como os preços podem variar ao longo do tempo, ou como o aumento e queda dos preços de 
determinado bem irá afetar sua venda. Os polinômios, ainda, podem ser usados na física para descrever a 
trajetória de um projétil, e os polinômios integrais (soma de diversos polinômios) podem ser usados para 
expressar conceitos como energia, inércia e diferença voltaica, por exemplo. 
 
Para pessoas que trabalham em indústrias que lidam com fenômenos físicos ou modelando situações 
futuras, os polinômios são muito úteis, e incluem a todos, desde engenheiros a executivos. Para o resto de 
23 
 
 
nós, eles estão menos aparentes, mas provavelmente ainda o usamos para predizer como a mudança de 
um ponto em nossas vidas pode influenciar outro, mesmo sem percebermos.” 
 
http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 
 
Questões de Raciocínio Lógico 
 
1. (FCC - TRT - 2004) 
Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em correspondência com os números de 1 a 
6, de tal maneira que somados os pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as 
três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as 
características descritas é (são): 
 
 
 
a) I 
b) I e lI. 
c) I e III. 
d) II e III. 
e) I, II, III 
 
2. (FCC - TRT - 2004) 
Em um trecho da letra da música Sampa, Caetano Veloso se refere à cidade de SãoPaulo dizendo que ela 
é o avesso, do avesso, do avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom. e que o seu 
avesso represente algo ruim, do ponto de vista lógico, o trecho da música de Caetano Veloso afirma que 
São Paulo é uma cidade 
 
a) equivalente a seu avesso. 
b) similar a seu avesso. 
c) ruim e boa. 
d) ruim. 
e) boa. 
3. (FCC - TRT - 2004) A alternativa que apresenta uma figura semelhante à outra que pode ser encontrada 
no interior do desenho é: 
 
 
24 
 
 
 
 
 
Gabarito: 1) d 2) e 3) c 
Exercícios Comentados 
 
1. (FGV-SP) Dividindo-se P(x) = 2x5 – x4 + x2 por D(x) (2x+3), encontramos como quociente e resto, 
respectivamente: 
 
• 1º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau de P(x), 2x5 , pelo monômio de mais alto grau de 
D(x), 2x, e encontramos x4 
• 2º Passo: Multiplicamos o resultado obtido por D(x): x4 . (2x +3) = 2x5 + 3x4 
• 3º Passo: Subtraímos do dividendo o produto encontrado no 2º passo, assim teremos o primeiro 
resto parcial que é - 4x4 + x2 
• 4º Passo: Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio de mais 
alto grau de D(x). 
• Segue sucessivamente com esse processo até obter o resto final R(x). 
 
 2x5 – x4 + x2 | 2x+3 
 -2x5 – 3x4 x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 6 
-4x4 + x2 
4x4 + 6x3 
6x3 + x2 
-6x3 – 9x2 
-8x2 
8x2 – 12x 
-12x 
12x -18 
-18 
 
Mas como é que eu vou saber se já cheguei ao resto final R(x)? 
Lembre-se que o grau de R(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de Q(x). 
Ainda não entendeu? Calma, vamos relembrar. 
 
Discutimos em sala que em polinômios não há divisão de uma incógnita por outra de grau igual ou 
maior. Não podemos fazer, por exemplo, a divisão: x² ÷ x³. Em álgebra essa divisão é possível e 
encontraríamos ,.x² ÷ x³.= x-1, mas não se esqueça que em polinômios não trabalhamos com 
expoentes negativos. Voltando a pergunta, sabemos que já chegamos ao resto final quando: 
 
• Quando o expoente da incógnita do resto parcial é menor ou igual ao expoente da incógnita do 
divisor ( veja o exercício resolvido 2, não podemos dividir 4x por x², por isso R(x) = 4x -4) 
 
• Ou quando não há mais incógnitas no resto (como é o caso do exemplo acima, no qual R(x) = -18) 
 
# FICA A DICA 
 
2. (Puccamp-SP) O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – 2x2 + 4 pelo binômio Q(x) = x2 – 4 é: 
 
x3 – 2x2 + 4 | x2 - 4 
-x3 + 4x + 4 x - 2 
 -2x2+4x+4 
25 
 
 
 2x2 - 8 
 4x - 4 
 
R(x) = 4x -4 
Exercícios 
 
1) Determine o valor de k, de modo que o polinômio P(x) = (k² – 25)x³ – x² – 2x² – 2x + 3 tenha grau 2. 
 
2) Dado o polinômio P(x) = 4x² – 8x – 3k, determine o valor de k de forma que P(2) = 4. 
 
3) Calcule os valores de m e n para que os polinômios P(x) = (3 – m)x² – 6x + 4 e Q(x) = 8x² + ( 5n – 4)x + 4 
sejam idênticos. 
 
4) Determine p e q sabendo que os polinômios P(x) = px² – 12x + q e Q(x) = (2x – 3)² são idênticos. 
 
5) A equação 3x³ + 2x² - x – 3 = 0 admite raízes x1, x2, x3. Escreva as relações de Girard para essa 
equação. 
 
6) Os números -2 e 3 são duas raízes da equação 2x³ - x² + mx + n = 0, em que m e n pertencem aos 
reais. Determine a terceira raiz da equação e os valores de m e n. 
 
7) Determine as raízes da equação x³ - 3x – 2 = 0 sabendo que uma delas é dupla. 
 
8) As raízes da equação polinomial x³ - 15x² + 71x – 105 = 0 estão em PA. Calcule essas raízes. 
 
9) Resolva a equação algébrica x³ - 3x² - 6x + 8 = 0 sabendo que a soma de duas de suas raízes é 
igual a 5. 
 
10) Qual é o valor de k na equação algébrica x³ - 3x² - 6x + k = 0 para que as raízes da equação formem 
uma PA? 
 
11) (FAAP–SP) Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a 
p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14. 
 
12) Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo. 
 
13) (FEI – SP) Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo 
que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2 
 
14) Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? 
15) (FEI–SP) Determine A, B e C : 
 
 
16) (PUC-SP) Os valores de A e B são, respectivamente: 
x1
B
x
A
xx
x1
2 −
+≡
−
+
 
 
a) 2 e 1 b) 3 e 2 c) 1 e 2 d) 2 e 3 e) 1 e 3 
 
17) (UEL-PR) Sendo f, g e h polinômios de grau 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (f + g) . h será: 
 
a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30 
 
18) Efetue as seguintes adições de polinômios: 
 
26 
 
 
a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) 
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) 
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) 
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) 
19) Efetue as seguintes subtrações: 
 
a) (5x²-4x+7) - (3x²+7x-1) 
b) (6x²-6x+9) - (3x²+8x-2) 
c) (7x-4y+2) - (2x-2y+5) 
d) (4x-y-1) - (9x+y+3) 
e) (-2a²-3ª+6) - (-4a²-5ª+6) 
 
20) Calcule os produtos: 
 
a) (3x+2).(2x+1) 
b) (x-4y).(x-y) 
c) (5x-2).(2x-1) 
d) (3x²-4x-3).(x+1) 
e) (x²-x-1).(x-3) 
f) (x-1).(x-2).(x-3) 
g) (x+2).(x-1).(x+3) 
 
Gabarito: 
1 k = 5 ou k = - 5 
2 k = - 4/3 
3 m = - 5 e n = -2 / 5 
4 p = 4 e q = 9 
5 x1 + x2 + x3 = -2/3 
x1x2 + x1x3 + x2x3 = -1/3 
x1x2x3 = 1 
6 x3 = -1/2 
m = -13 
n = -6 
7 -1 e 2 
8 3, 5 e 7 
9 {1, -2, 4} 
10 8 
11 a = 1 
b = 3 
c = 2 
12 l = 3/2 
n = 2/5 
m = ½ 
13 a = 1, b = – 1 e c = 0 
14 k = 3 
15 A = 1/3, B = –1/3 e C = –2/3 
16 A = 1 e B = 2 
17 A 
18 a) 5x² -2x + 1 
b) 3x² + 8x - 10 
c) 7x -4y +2 
d) 7x²+ 1 
19 a) 2x² - 11x + 8 
b) 3x² - 14x + 11 
c) 5x - 2y – 3 
d) -5x – 2y – 4 
e) -2a² +2a) 
20 a) 6x² +7x + 2 
b) x² -5xy + 4y² 
c) 10x² -9x + 2 
d) 3x³ - 1x² - 7x -3 
27 
 
 
e) x³ - 4x² + 2x + 3 
f) x³ - 6x² - 3x - 9 
g) x³ + 4x² + 3x + 1 
 
Pintou no Enem 
 
1) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou 
em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte: 
 
• a soma desses números é 7; 
• o produto deles é 8; 
• a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14. 
 
Assim, os três números pensados por João são raízes da equação 
 
a) x³ - 7x² +14x – 8 = 0 
b) x³ - 7x² – 14x + 8 = 0 
c) x³ - 7x² – 14x – 8 = 0 
d) x³ - 7x² – 14x - 8 = 0 
e) Nenhuma das alternativas anteriores 
 
 
2) De cada vértice de um cubo de mármore de x cm de aresta, sendo x maior que 2, retirou-se um cubinho 
de 1cm de aresta, obtendo a figura abaixo. Qual das alternativas a seguir apresenta o volume 
remanescente do bloco, em cm³, após a retirada dos pequenos cubos? 
 
 
 
a) (2 + x)( 4 – 2x + x²) 
b) (2 – x)( 4 + 2x + x²) 
c) (x – 2)( 4 + 2x + x²) 
d) (x – 2)( 4 – 2x + x²) 
e) (x + 2)( 4 – 2x + x²) 
 
 
 
 
 
3) O perímetro e a área da figura abaixo são expressos, respectivamente por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Gabarito: 1) a 2) c 3) d 
 
 
 
Capítulo 3 – Análise Combinatória 
 
Sessão Leitura 
 
I. Princípio Fundamental da Contagem 
 
Contar não é uma tarefa tão fácil como parece. Contar unidades uma a uma não é um processo viável em 
muitas situações, como, por exemplo, determinar o número de pessoas presentes em grandes eventos, o 
número de grãos de areia de uma praia e o número de moléculas de determinada substância. Por isso, 
foram desenvolvidos métodos de cálculo para serem aplicados em situações semelhantes às 
exemplificadas anteriormente. O princípio fundamental da contagem é um desses métodos. 
 
Observe a seguinte situação: 
 
Júlia não gosta de repetir exatamente a mesma roupa para ir nas aulas de seu curso pré-vestibular, mas 
não seimporta em usar as mesmas peças em diferentes combinações. Sabendo que ela possui 2 sapatos, 
2 calças e 4 blusas, quantos dias Júlia poderá ir nas aulas sem repetir a mesma combinação de peças, se 
ela não comprar roupas novas neste período? 
 
• Primeiro, vamos listar todas as possibilidades através da chamada matriz de possibilidades: 
chamaremos os dois sapatos de S1 e S2, as duas calças de C1 e C2 e as quatro blusas de B1, B2, B3 e 
B4. Assim, temos: 
 
(S1, C1, B1); (S1, C1, B2); (S1, C1, B3); (S1, C1, B4) 
(S1, C2, B1); (S1, C2, B2); (S1, C2, B3); (S1, C2, B4) 
(S2, C1, B1); (S2, C1, B2); (S2, C1, B3); (S2, C1, B4) 
(S2, C2, B1); (S2, C2, B2); (S2, C2, B3); (S2, C2, B4) 
 
Total = 16 possibilidades = 16 dias com roupas diferentes 
 
• Como percebemos, usando a matriz de possibilidades, se o número de cada peça de vestuário 
fosse maior, demoraria e daria muito trabalho para descobrir o quantas diferentes possibilidades Júlia teria 
para se vestir. O princípio fundamental da contagem nos ajuda a chegar ao resultado com uma operação 
matemática simples e rápida, mesmo para eventos com grande quantidade de possibilidades. 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
 
Se os experimentos E1, E2, E3, …, Ek, apresentam n1, n2, n3, …, nk resultados distintos, então o 
experimento composto por E1, E2, E3, …, Ek, apresenta um total de resultados distintos, dado por: 
 
n1·n2·n3·...·nk 
 
• No exemplo da vestimenta de Júlia, teríamos: 2·2·4 = 16 possibilidades distintas. 
 
Exemplos: 
 
1) Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, e 9? 
 
5·5·5 = 125 
 
2) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8, 
e 9? 
5·4·3 = 60 
 
3) Qual é a quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 3.000 que podemos representar 
utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8, de modo que não figurem algarismos repetidos? 
 
29 
 
 
(4·5·4) + (2·5·4·3) = 80 + 120 = 200 números 
 
 
 
II. Fatorial 
 
Durante o estudo de análise combinatória, nos deparamos com multiplicações de números naturais 
consecutivos, como, por exemplo, 11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1. Esta é uma multiplicação possível de ser feita 
mesmo sem o auxilio de calculadoras, porém demanda bastante tempo. 
Para facilitar operações desse tipo, podemos lançar mão da notação n! (lê-se: “fatorial de n”) para indicar 
o produto dos números naturais consecutivos n, (n-1), (n-2),...,1. 
 
Exemplos: 
 
a) 5! = 5·4·3·2·1 = 120 
b) 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 
c) 10! = 10 . 9 . 8 . 7! = 10 . 9 . 8 = 720 
 7! 7! 
 
Propriedade fundamental dos fatoriais: n! = n·(n-1) 
Exemplo: 9! = 9·8·7·6! 
Observações: 1! = 1 e 0! = 1 
 
III. Tipos de Agrupamentos 
 
• Arranjos: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos fornecem um resultado 
diferente, ou seja, a ordem dos elementos tem importância. 
Por exemplo, com as letras da palavra LATA, podemos formar, também, a palavra TALA, para isso basta 
alterar a ordem dos elementos. 
 
• Combinações: são agrupamentos em que alterações na ordem dos elementos não mudam o 
resultado, ou seja, a ordem dos elementos não tem importância. 
 
Por exemplo, se um treinador de um time de futebol tem 22 jogadores e deseja dividi-los em dois times para 
um treino, ele pode fazer duas combinações, na qual cada time teria 11 jogares. Se trataria de uma 
combinação porque a ordem da escolha dos jogadores não faz diferença dentro de seu time. 
 
• Além da divisão dos agrupamentos em arranjos e combinações, podemos ainda classificá-los como 
simples ou compostos. Os agrupamentos simples são aqueles que não possuem nenhum elemento repetido 
e os compostos apresentam pelo menos um elemento repetido. 
 
 
 Diferenciando arranjo e combinação 
 
Quando nos deparamos com um problema de análise combinatória, é muito comum ficarmos na dúvida 
se é um caso de arranjo ou combinação. 
Para identificar em qual das duas situações o problema se enquadra, devemos construir um dos 
agrupamentos sugeridos pelo problema e, em seguida, mudamos a ordem de seus elementos. Se 
obtivermos um agrupamento diferente do original, será um arranjo, mas se obtivermos um agrupamento 
igual ao original, será uma combinação. 
 
Arranjo: a ordem dos elementos faz diferença (mudando a ordem formamos resultados diferentes). 
 
Exemplo: sorteio de um carro e de um celular, o 1º sorteado ganha o carro e o 2º, o celular. Neste caso, 
mudar a ordem do sorteio altera o resultado. Se antes João ganhava o carro e André o celular, agora André 
ganha o carro e João, o celular (mudando a ordem formamos resultados diferentes). 
 
Combinação: a ordem não faz diferença (mudando a ordem formamos resultados iguais). 
 
Exemplo: misturando mamão e laranja para fazer um suco, podemos colocar primeiro o mamão e depois a 
laranja ou primeiro a laranja e depois o mamão, no final teremos o mesmo suco nos dois casos (mudando 
30 
 
 
a ordem formamos resultados iguais). 
 
# FICA A DICA 
1) Arranjo Simples: 
 
Usamos a notação “An,p”, lê-se arranjo simples de n elementos tomados p a p, quando temos um arranjo 
de n possibilidades para cada elemento p do arranjo, sendo que p ≤ n. 
 
 
1º elemento 2º elemento 3º elemento ... pº elemento 
 n n-1 n-2 n– (p – 1) 
 
An,p = n·(n – 1)·(n – 2)·(n – 3)·...·(n – p + 1) 
 
Exemplo: 
 
Quantas sequências de três letras distintas podem ser formadas usando as letras a, b, c, d, e, f, g e h? 
 
• Temos 8 possibilidades, a, b, c, d, e, f, g e h, então n = 8. 
• Para sequência de três letras, temos 3 elementos no arranjo, então p = 3. 
• Cálculo: A8,3 = 8·7·6 = 336 
 
 
2) Permutação Simples: 
 
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a 
permutação à noção de misturar. Permutação simples de um conjunto de n elementos (Pn) é qualquer 
sequência de elementos distintos formada por todos os elementos disponíveis. 
Seu cálculo é dado por: 
 
Pn = n! 
 
 
 Não decore a fórmula. Veja como é simples: 
 
Sejam n elementos distintos e Pn o número de permutações possíveis desses n elementos. 
Vamos contar o número de sequências formadas por n elementos: 
 
• Para escolher o primeiro elemento da sequência temos n possibilidades. 
• Para escolher o segundo, temos n – 1 possibilidades. 
• Definidos os dois primeiros elementos, podemos escolher o terceiro de n – 2 maneiras. 
• Assim segue sucessivamente até completar todos os elementos da sequência. 
• Escolhidos os n – 1 primeiros elementos, aquele que ocupará a última posição fica determinado, 
pelo PFC, por: 
 
Pn = n.(n – 1).(n – 2). (...). 1 , ou seja, Pn = n! 
 
# FICA A DICA 
 
 
Exemplo: 
 
Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ANEL? 
 
 
 
 
• Há quatro possibilidades para a primeira posição, três para a segunda, duas para a terceira e uma 
para a quarta posição. 
31 
 
 
• Pelo princípio fundamental da contagem, temos 4·3·2·1 = 4! = 24 
• Podemos formar 24 anagramas com a palavra ANEL 
 
 
3) Permutação com elementos repetidos: 
 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra INFINITO? 
 
Se as oito letras que compõem essa palavra fossem distintas entre si, bastaria fazer 8! que teríamos a 
resposta. Porém, ao permutar letras iguais, a palavra não se altera; por isso, concluímos que o número de 
anagramas é menor que 8!. Para fazer o cálculo correto do número de anagramas, devemos desconsiderar 
as palavras repetidas que se formarão devido à presença de letras repetidas. Paratanto, usamos a 
expressão: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: I N F I N I T O 
 
• Temos oito letras no total; 
• A letra i aparece três vezes e a letra N aparece duas vezes; 
• A repetição das letras i e N não produzirão novos anagramas, então devemos excluí-las; 
• Para excluir os anagramas repetidos, devemos dividir n! pelo produto do fatorial do número de 
repetições das letras que aparecem mais de uma vez, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
4) Combinação Simples: 
 
Nos problemas de contagem, o conceito de combinação está associado à noção de escolher subconjuntos. 
Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, vamos formar todos os subconjuntos de A com três elementos: 
 
{a,b,c} {a,b,d} {a,c,b} {b,c,d} 
 
Observe, baseado na definição de conjuntos, que: 
 
• {a,b,c} ≠ {a,b,d}, os conjuntos se diferenciam pela natureza dos elementos; 
• {a,c,b} = {a,b,c}, já que apenas a ordem dos elementos mudou e isso não altera o conjunto; 
• Obs.: se fossem arranjos, teríamos quatro agrupamentos diferentes, pois a mudança na ordem dos 
elementos formaria arranjos diferentes. 
• Isto posto, percebemos que para determinar o número de combinações possíveis, devemos eliminar 
os agrupamentos que não são considerados conjuntos, já que seus elementos diferem apenas pela ordem. 
 
Se não for feita a exclusão desses agrupamentos, eles serão contados duas ou mais vezes, gerando um 
número falso de combinações possíveis para aquele conjunto. 
 
Cada combinação de n elementos tomados p a p correspondem a p! arranjos, que são obtidos permutando 
os elementos da combinação, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
O número de combinações possíveis para um conjunto de n elementos tomados p a p é dado por: 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua 
disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição e sabendo que um time de basquete tem 5 
jogadores? 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Binômio de Newton 
 
Para desenvolver certos problemas de matemática, necessitamos de potências do tipo ( x + y)³, que para 
serem resolvidas sem o auxílio da análise combinatória seriam calculadas da seguinte maneira: 
 
 
(x+y)³ = (x+y)(x+y)(x+y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ 
 
 
• Usando conceitos de análise combinatória, podemos deduzir uma expressão binomial, 
relativamente mais simples, para desenvolver essas potências. 
• A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)ᶰ e ela é 
encontrada fazendo o produto (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) … (x + y), n vezes. 
• O termo genérico do produto é obtido tomando em p dos fatores (p = 1, 2, 3,..., n) a segunda 
parcela e tomando nos restantes n – p fatores a primeira parcela. Com isso, pode ser feito: 
 
 
 
 Cn,p = 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a potência 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
Fixação 
Palíndromos 
 
Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos, que são palavras, frases ou qualquer 
outra sequência de unidades que tenha a propriedade de poder ser lida tanto da direita para a esquerda 
como da esquerda para a direita. Num palíndromo, normalmente são desconsiderados os sinais 
ortográficos, assim como o espaços entre palavras. As frases formando um palíndromo também são 
chamadas de anacíclicas, do grego anakúklein, significando que volta em sentido inverso, que refaz 
inversamente o ciclo. 
A princípio uma lista de palíndromos pode parecer cultura inútil, mas a verdade é que os palíndromos 
são expressões muito utilizadas na literatura e na publicidade porque são mais fáceis de memorizar, mesmo 
que o leitor/consumidor não perceba que é um palíndromo É impressionante a quantidade de palíndromos 
que podem ser formados usando somente o nosso idioma, existe até um programa de computador para 
ajudar a criá-los. Veja alguns exemplos: 
 
• Ame o poema 
• Anotaram a data da maratona 
• O romano acata amores a damas amadas e Roma ataca o namoro 
• Socorram-me subi num ônibus em Marrocos 
 
Placas de Veículos 
 
Outro assunto recorrente nas aulas e nas provas de análise combinatória são as placas de carros. A placa 
do carro nasce e morre com ele, ela é a sua identidade. Quando o motorista muda ou o carro é vendido 
para alguém de outro estado, a combinação de letras continua com o veículo, o que muda é a tarjeta com o 
nome do estado. Sabendo de onde o carro vem, será mais fácil verificar sua procedência e descobrir 
possíveis impedimentos que o automóvel possa ter. Outra curiosidade e, relação às placas é o fato delas 
não serem todas iguais. Veja abaixo algumas diferenças: 
 
 
 
- ALUGUEL: táxis, ônibus e caminhões recebem placas vermelhas, com alfanuméricos em branco. 
- EXPERIÊNCIA: carros que estão em oficinas e que precisam ser testados na rua levam a placa verde. 
- PARTICULAR: carros de passeio recém placas com fundo cinza e os caracteres alfanuméricos pretos. 
 
 
34 
 
 
 
- PLACAS ESPECIAIS: usadas pelos consulados, nas cores azul e branca com as letras CC. 
- BRONZE: carros oficiais de prefeitos, presidentes de câmaras, presidente da assembléia, ... o fundo é 
preto e os caracteres alfanuméricos dourados. A placa contém o brasão da república. 
- OFICIAL: carros de propriedade do estado, união ou município, o fundo é branco e alfanuméricos pretos. 
 
 
 
- APRENDIZAGEM; carros de auto-escola, o fundo é branco e letras e números vermelhos. 
- COLEÇÃO: carros com mais de 30 anos de fabricação e um percentual de originalidade, o fundo é preto e 
as letras utilizam a cor cinza. 
- FABRICANTE: carros das montadoras que ainda estão em fase de testes, rodam com a placa azul. 
 
http://professorresplandes.blogspot.com.br/2009/02/curiosidade-sobre-placas-de-carros.html 
 
Questões de Raciocínio Lógico 
1. (FCC - TRT - 2004) 
Para responder a próxima questão considere os dados abaixo. Em certo teatro hà uma fila com seis 
poltronas que estão uma ao lado da outra e são numeradas de 1 a 6, da esquerda para a direita. Cinco 
pessoas - AIan, Brito, Camila, Décio e Efraim - devem ocupar cinco dessas poltronas, de modo que: 
 
- Camila não ocupe as poltronas assinaladas com números impares; 
- Efraim seja a terceira pessoa sentada, contando-se da esquerda para a direita; 
- Alan acomode-se na poltrona imediatamente à esquerda de Brito. 
 
Para que essas condições sejam satisfeitas, a poltrona que NUNCA poderá ficar desocupada é a de número 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
2.( FCC – TRT – 2004) Observe a figura abaixo. 
 
- Responda qual das alternativas contém uma figura igual a ela: 
 
3. (FCC - TRT - 2004) 
Um funcionário executa urna tarefa a cada 4 dias de trabalho. A primeira vez que fez essa tarefa foi em uma 
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quinta-feira, a segunda vez foi em uma quarta-feira, a terceira em uma terça-feira, a quarta em um sábado, 
e assim por diante. Sabendo-se que não houve feriados no período indicado e que o funcionário folga 
sempre no(s} mesmo(s) dia(s) da semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s) ocorre(m) apenas: 
a) segunda-feira. 
b) sexta-feira. 
c) domingo. 
d) domingo e sexta-feira. 
e) domingo e segunda-feira 
 
 
Gabarito: 1) a 2) d 3) e 
 
 
Exercícios Comentados 
 
1) Uma prova é composta de 8 questões de V ou F, de quantas maneiras distintas ela pode ser respondida? 
 
• Como cada questão pode ser respondida de duas maneiras distintas, temos, pelo princípio 
fundamental da contagem: 
2.2.2.2.2.2.2.2 = 256 
 
2) A seleção brasileira de futebol irá disputar um torneiro internacional com outras cinco seleções, no 
sistema "todos jogam contra todos uma única vez". Quais as possíveis sequências de resultados - vitória 
(V), empate (E) e derrota (D) - da equipe brasileira nesse