Primeira prova resolvida

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica Professora: Simone Moraes
1a PROVA RESOLVIDA
1.a Questa˜o. Sejam P = (1,−2), Q = (−1,−1) e R = (3, 1) pontos no plano cartesiano.
(a) Determine os vetores deslocamento
−→
PQ,
−→
QR e
−→
RP .
(b) Esboce no plano cartesiano representantes dos vetores
−→
PQ,
−→
QR e
−→
RP .
(c) Os pontos P , Q e R sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo? Em caso afirmativo verifique se este triaˆngulo
e´ iso´sceles.
(d) Encontre no plano o ponto S tal que P, Q, R, S sejam ve´rtices consecutivos de um paralelo-
gramo.
Soluc¸a˜o:
(a)
−→
PQ =
(− 1− 1,−1− (−2)) = (−2, 1)−→
QR =
(
3− (−1), 1− (−1)) = (4, 2)−→
RP = (1− 3,−2− 1) = (−2,−3).
(b)
1
(c) Devemos verificar se dentre os vetores
−→
PQ,
−→
QR e
−→
RP ha´ dois com mesmos comprimentos.
Mas
‖ −→PQ ‖ = √(−2)2 + 12 = √5
‖ −→QR ‖ = √42 + 22 = √20
‖ −→RP ‖ = √(−2)2 + (−3)2 = √13.
Como na˜o ha´ dois lados com mesmos comprimentos, enta˜o o triaˆngulo 4PQR na˜o e´ iso´sceles.
(d) Devemos determinar S = (a, b) tal que
−→
PQ =
−→
SR e
−→
QR =
−→
PS ⇐⇒
{
(−2, 1) = (3− a, 1− b)
(4, 2) = (a− 1, b+ 2) ⇐⇒
{
a = 5
b = 0
.
Portanto, S = (5, 0).
2
2.a Questa˜o. Sejam ~u = (−1, 1), ~v = (3,−4) e ~w = (5,−2) vetores no plano.
(a) Represente no plano cartesiano os vetores ~u, ~v e ~w.
(b) Determine os vetores ~w1 = ~w − (~v + 2~u) e ~w2 = 2~w − 3~v + ~u.
(c) Os vetores ~w1 e ~w2 sa˜o ortogonais?
Soluc¸a˜o:
(a)
(b)
w1 = ~w − (~v + 2~u)
= (5,−2)−
(
(3,−4) + 2(−1, 1)
)
= (5,−2)− (1,−2) = (4, 0)
e
w2 = 2~w − 3~v + ~u
= 2(5,−2)− 3(3,−4) + (−1, 1)
= (10,−4)− (9,−12) + (−1, 1) = (0, 9).
Portanto, w1 = (4, 0) e w2 = (0, 9).
(c) Os vetores ~w1 e ~w2 sa˜o ortogonais, pois
〈~w1, ~w2〉 = 〈(4, 0), (0, 9)〉 = 4× 0 + 0× 9 = 0.
3
3.a Questa˜o. Sejam ~u e ~v vetores no plano tais que ‖ ~u ‖ = √2, ‖ ~v ‖ = 3 e θ = pi
4
, o aˆngulo entre
~u e ~v, calcule:
(a) ‖ ~u+ ~v ‖.
(b) 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉.
Soluc¸a˜o:
(a) Observemos que:
‖ ~u+ ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖ ~v ‖2 +2 ‖ ~u ‖ · ‖ ~v ‖ cos θ
= (
√
2)2 + 32 + 2×√2× 3 cos pi
4
= 2 + 9 + 6
√
2×
√
2
2
= 11 + 6 = 17.
Portanto, ‖ ~u+ ~v ‖= √17.
(b) 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉 =‖ ~u ‖2 −〈~u, ~v〉+ 〈~v, ~u〉− ‖ ~v ‖2=‖ ~u ‖2 − ‖ ~v ‖2= (√2)2 − 32 = 2− 9 = −7.
4.a Questa˜o. Sejam ~u e ~v vetores na˜o nulos no plano. Mostre que:
(a) Os vetores ~v1 = ‖ ~u ‖ ~v e ~v2 = ‖ ~v ‖ ~u teˆm o mesmo comprimento.
(b) Se ‖ ~u ‖=‖ ~v ‖, enta˜o os vetores ~u1 = ~u+ ~v e ~u2 = ~u− ~v sa˜o ortogonais.
Soluc¸a˜o:
(a) ‖ ~v1 ‖= ‖ ‖ ~u ‖ ~v‖ =‖ ~u ‖ · ‖ ~v ‖ e ‖ ~v2 ‖= ‖ ‖ ~v ‖ ~u‖ =‖ ~v ‖ · ‖ ~u ‖.
Portanto, os vetores ~v1 e ~v2 teˆm o mesmo comprimento.
(b) Observemos que:
〈~u1, ~u2〉 = 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉 3
a Questa˜o
= ‖ ~u ‖2 − ‖ ~v ‖2 ‖~u‖=‖~v‖= 0.
Portanto, os vetores ~u1 = ~u+ ~v e ~u2 = ~u− ~v sa˜o ortogonais.
4
5.a Questa˜o.
(a) Mostre que B = {(7,−3), (−5, 4)} e´ uma base do plano.
(b) Escreva ~w = (x, y), um vetor qualquer do plano, como combinac¸a˜o linear dos vetores de B
(c) Determine B′ uma base ortonormal do plano que contenha um vetor com mesma direc¸a˜o e
mesmo sentido que o vetor ~u = (−5, 4).
Soluc¸a˜o:
(a) Como os vetores ~u e ~v na˜o sa˜o nulos, enta˜o B e´ base do plano se, e somente se, ~u e ~v sa˜o vetores
L.I. e isto ocorre se, e somente se,
det
[
~u ~v
] 6= 0⇐⇒ ∣∣∣∣∣ 7 −5−3 4
∣∣∣∣∣ 6= 0, mas,
∣∣∣∣∣ 7 −5−3 4
∣∣∣∣∣ = 28− 15 = 13 6= 0.
Portanto, B e´ base do plano.
(b) Devemos determinar a e b nu´meros reais tais que
a~u+ b~v = ~w ⇐⇒ a(7,−3) + b(−5, 4) = (x, y)⇐⇒ (7a− 3b, −5a+ 4b) = (x, y)
⇐⇒
[
a
b
]
=
1
7× 4− (−3)× (−5) ·
[
4 5
3 7
]
·
[
x
y
]
⇐⇒
[
a
b
]
=

4x+ 5y
13
3x+ 7y
13
 .
Portanto,
~w =
4x+ 5y
13
~u+
3x+ 7y
13
~v.
(c) Como ‖ ~u ‖= √(−5)2 + 42 = √25 + 16 = √41, enta˜o ~u na˜o e´ unita´rio, basta tomar o seu
versor, ou seja,
~u
‖ ~u ‖ =
( −5√
41
,
4√
41
)
, que e´ unita´rio e tem mesma direc¸a˜o e mesmo sentido
que o vetor ~u
Tomando o outro vetor da base o vetor ~v =
( −4√
41
,
−5√
41
)
, este tambe´m e´ unita´rio e e´ ortogonal
a
~u
‖ ~u ‖ .
Portanto,
B =
{( −5√
41
,
4√
41
)
,
( −4√
41
,
−5√
41
)}
e´ uma base ortonormal do plano que conte´m um vetor com mesma direc¸a˜o e mesmo sentido
que o vetor ~u = (−5, 4).
5