calculo I

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 1: Derivadas (parte 1)
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PLANO DE ENSINO
1
DERIVADAS: CONCEITUAÇÃO
2
DERIVADAS:
REGRAS BÁSICAS
3
DERIVADAS:
ORDEM SUPERIOR
4
DERIVADAS:
REGRA DA CADEIA
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PRÓXIMOS 
PASSOS
Unidade I: Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 1: Derivadas (parte 1)
Plano de Ensino (Conteúdo Programático)
Unidade I - DERIVADAS  
1.1 Conceituação de Derivadas
1.2 Regras Básicas de Derivação
1.3 Derivadas de ordem superior
1.4 A Regra da Cadeia
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas
1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas
1.8 Derivação Implícita
1.9 Equação de reta tangente e normal 
Unidade I: Derivadas
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático) 
Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
2.1 Taxas Relacionadas 
2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 
2.3 Modelagem e Otimização
Unidade III - INTEGRAÇÃO 
3.1 Integral Indefinida 
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 
3.3 Integrais Definidas 
3.3 Teorema Fundamental do Cálculo 
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal 
Unidade I: Derivadas
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático) 
Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento 
4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 
4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas 
Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
5.1 Procedimentos Algébricos
5.2 Integração por Partes 
5.3 Integração de Funções Racionais  por Frações Parciais
5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias
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Bibliografia Básica 
BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R.  THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo: Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v. 
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
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Bibliografia Complementar 
AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998.
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995. 
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v. 
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v. 
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Conceituação
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Conceituação
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Taxa de variação
Conceituação
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Conceituação
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determinar taxas de variações instantâneas;
obter máximos e mínimos de funções;
detalhar o comportamento de funções.
Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse.
Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções.
PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS.
Aplicações da derivada
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Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil; 
O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa;
Algumas regras básicas facilitarão o processo.
Regras básicas da derivação
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Regras básicas da derivação
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Regras básicas da derivação
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Regras básicas da derivação
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Regras básicas da derivação
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Regras básicas da derivação
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Regras básicas da derivação
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Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo;
Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo;
Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t;
A derivada de uma função indica sua taxa de variação;
A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade. 
Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instante t, é a derivada v’(t) de sua velocidade. 
Derivadas de Ordem Superior
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Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração:
A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t).
Derivadas de Ordem Superior
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derivada de segunda ordem: 
, 
 ou 
derivada de terceira ordem: 
, 
 ou 
derivada de quarta ordem: y(4), f (4) 
 ou 
derivada de quarta ordem: y(4), f (4) 
 ou 
Derivadas de Ordem Superior
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Uma partícula desloca-se segundo a função horária 
 
s em metros e t em segundos, com 0  t  3. 
Derivadas de Ordem Superior
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Derivadas de Ordem Superior
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Derivadas de Ordem Superior
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Posição, 
Velocidade, 
aceleração
Derivadas de Ordem Superior
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Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x.
 
y é a função composta
 
 
Lê-se: “função f da g de x”
Regra da Cadeia
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DEFINIÇÃO:	Se 
 e 
são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é dada por:
Regra da Cadeia
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Regra da Cadeia
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Assuntos da próxima aula:
Derivadas: Funções Trigonométricas
Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas
Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas
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