trabalhodeflambagem 140716122010 phpapp01

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Sumário 
1. Flambagem ......................................................................................................................2 
1.1.Introdução..................................................................................................................2 
1.2.Definição. ...................................................................................................................2 
1.3. Cálculo da carga Crítica (Pcr) .......................................................................................2 
1.4. Comportamento da Coluna Ideal:................................................................................4 
1.5. Equação diferencial para flambagem de coluna: ..........................................................4 
1.6. Exemplo: ...................................................................................................................5 
1.7. Conclusão. .................................................................................................................6 
1.8. Referências Bibliográficas ...........................................................................................6 
 
 
 
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1. Flambagem 
1.1.Introdução 
Em todas as construções as peças componentes da estrutura devem ter geometria 
adequada e definida para resistirem às AÇÕES (forças existentes e peso próprio ou prováveis = 
ação do vento) impostas sobre elas. Desta maneira, as paredes de um reservatório de pressão 
têm resistência apropriada para suportar à pressão interna; um pilar de um edifício tem 
resistência para suportar as cargas das vigas; uma asa de avião deve suportar com segurança as 
cargas aerodinâmicas que aparecem durante o vôo ou a decolagem. Se o material não resistir às 
AÇÕES, atingirá um Estado Limite Último por Ruptura. Da mesma forma, um piso de edifício 
deve ser rígido para evitar uma flecha excessiva, o que em alguns casos pode provocar fissuras 
no teto, tornando-se inadequado em seu aspecto funcional (Estado Limite de Utilização). 
Finalmente, uma peça pode ser tão delgada que submetida a uma AÇÃO compressiva atingirá o 
colapso por perda de estabilidade (FLAMBAGEM), isto é, um Estado Limite Último. 
Sabemos que a seleção dos elementos estruturais se baseia em três características básicas: 
•Resistência; 
•Rigidez; 
•Estabilidade. 
1.2.Definição. 
 Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados 
de colunas e a de flexão lateral que sofrem é chamada de flambagem. Em geral a flambagem 
leva a uma falha repentina e dramática da estrutura. 
1.3. Cálculo da carga Crítica (Pcr) 
É a carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a flambagem. 
Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna. Para compreender melhor esse tipo 
de instabilidade, considere um mecanismo formado por duas barras sem peso, rígidas e 
acopladas por pinos nas duas extremidades. 
 
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Tipos de equilíbrio 
• P<
𝐾𝑙
4
: Equilíbrio estável; 
• P>
𝐾𝑙
4
: Equilíbrio instável; (1) 
• P=
𝐾𝑙
4
: Equilíbrio neutro (Carga Crítica) 
 
Os estados de equilíbrio apresentados na expressão (1) estão mostrados na Figura 02. 
 
Colunas com apoios simples (pinos) 
 
A coluna da Figura 03 é carregada por uma força vertical P que é aplicada através do 
centroide da seção transversal da extremidade. A coluna é perfeitamente reta e é feita de um 
material elástico linear que segue a lei de Hooke. Uma vez que se considera que a coluna não 
tem imperfeições, ela é chamada de coluna ideal. 
 
4 
 
1.4. Comportamento da Coluna Ideal: 
Se P < Pcr , a coluna está em equilíbrio estável na posição reta. 
Se P = Pcr , a coluna está em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição 
levemente flexionada. 
 Se P > Pcr , a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre 
a menor. 
1.5. Equação diferencial para flambagem de coluna: 
Para determinar os carregamentos críticos correspondentes às formas defletidas para 
uma coluna real apoiada por pinos, usamos as equações diferenciais da curva de deflexão de 
uma viga. Essas equações são aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flete como se 
fosse uma viga. Tem-se a seguinte equação: 
Elv = M (2) 
Onde, 
M = -Pv (3) 
Se a coluna flambar para a direita a curva da equação diferencial se torna: 
Elv = - Pv (4) 
A eq. (4) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
Solução da equação diferencial; 
K²= 
𝑃
𝐸𝑙
 (5) 
A solução geral da equação (4) é; 
V=C1 seno kx + C2 cosseno kx (6) 
As duas condições de contorno são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades 
da coluna. Como V = 0 em x = 0. E como V = 0 em x = L, então: 
C1 seno kL = 0 (7) 
A equação (7) é satisfeita se: 
 
√𝑘𝐿=nπ (8) 
Ou: 
P= 
𝑛²𝜋²𝐸𝑙
𝐿²
, n= 1,2,3... (9) 
5 
 
O menor valor de P é obtido quando n=1, e a carga crítica para a coluna, é portanto: 
Pcr= 
𝜋²𝐸𝑙
𝐿²
 (10) 
P → Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da flambagem, essa 
carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de proporcionalidade. 
E →módulo de elasticidade do material 
I →O menor momento de inércia da área da seção transversal. 
L→ Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas por pinos. 
P cr →Denomina-se também de carga de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard 
Euler, que solucionou o problema em 1757. 
Em projeto se utiliza a eq. (10) em função do raio de giração, onde o momento de inércia é: 
I=Ar² (11) 
Onde A e a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção transversal. Dessa 
forma tem-se: 
Pcr= 
𝜋²𝐸(𝐴𝑟2)
𝐿²
 
𝑃𝑐𝑟
𝐴
=
 𝜋²𝐸
(
𝐿
𝑟
)²
 (12) 
Dessa forma, a tensão critica e dada pela seguinte expressão: 
σcr= 
𝜋²𝐸
(
𝐿
𝑟
)²
 (13) 
Onde 
σcr - Tensão critica que é a tensão media na coluna imediatamente antes de a coluna flambar, 
essa tensão é uma tensão elástica e, portanto, σcr ≤σE . 
E - módulo de elasticidade do material 
L - comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos. 
R - o menor raio de giração da coluna, determinado por r=√(𝐼/𝐴) , onde I e o menor momento 
de inércia da área da seção transversal A da coluna. 
1.6. Exemplo: 
O elo de aço ferramenta L-2 usado em uma máquina de forja é acoplado aos garfos por 
pinos nas extremidades. Determinar a carga máxima P que ele pode suportar sem sofrer 
flambagem. Usar um fator de segurança para flambagem de F.S. = 1,75. Observar, na figura da 
esquerda, que as extremidades estão presas por pino para flambagem e, na da direita, que as 
extremidades estão engastadas. 
 
 
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Solução: 
 
A carga máxima que o elo pode sofrer sem flambagem é de P = 17,7 kip. 
1.7. Conclusão. 
Concluiu-se que para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, tem–se que 
calcular o seu índice de esbeltez e compará-lo ao índice de esbeltez crítico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.8. Referências Bibliográficas 
 
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BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Resistência dos materiais. 3. ed São Paulo: 
Makron Books, 1995. 652 p. 
PRAVIA, Zacarias Martin Chamberlain. Modelos Reduzidos para o Ensino de Estruturas. In:XXIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 1995, Recife, UFPE, 
1995. 
PRAVIA, Z.M.C., BORDIGNON, R. Modelos intuitivos para ensino de estabilidade de 
estruturas. In: XXVIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2000, 
Ouro Preto, UFOP, 2000. 
PRAVIA, Z.M.C., ORLANDO, D. Modelos qualitativos de treliças planas: construção e 
aplicação no ensino de análise e comportamento estrutural. In: XXIX CONGRESSO 
BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2001, Porto Alegre, PUC-RS, 2001. 
PRAVIA, Z.M.C., ORLANDO, D. Avaliação da influencia dos contraventos em estruturas de 
coberturas constituídas por sistemas de treliças planas. In XXX Jornadas Sul-Americanas de 
Engenharia Estrutural, 2002, Brasília, UNB, 2002. 
PRAVIA, Z.M.C. A construção permanente do Laboratório de Ensaios em Sistemas Estruturais 
(LESE) da Universidade de Passo Fundo. In: XXX CONGRESSO BRASILEIRO 
DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2003, Rio de Janeiro, IME, 2003. 
SANTOS, J.A. Sobre a concepção o projeto, a execução e a utilização de modelos físicos 
qualitativos na engenharia de estruturas. 1983. Dissertação (Mestrado em Estruturas) – 
Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo.