CARREGAMENTO AXIAL

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DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Capitulo II: CARREGAMENTO AXIAL
2.1 Carregamento Axial e Esforço Normal
2.2 Principio de Saint-Venant
2.3 Principio da Superposição de Efeitos
2.4 Deformações Axiais
2.5 Tensões e Deformações Térmicas
2,6 Deformação Axial Ineslática
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Capitulo II: CARREGAMENTO AXIAL/ ESFORÇO NORMAL
2.1) INTRODUÇÃO
A carregamento axial poderá ser de TRAÇÃO (+) OU COMPRESSÃO (-).
O carregamento axial de tração irá ocorrer em tirantes, barras de
estruturas treliçadas e barras de aço de elementos estruturais em
concreto armado. Este irá gerar alongamento do elemento estrutural.
O carregamento axial de compressão irá ocorrer em pilares com carga
centrada, barras de estruturas treliçadas e em barras de aço comprimida
de elementos estruturais em concreto armado. Este irá gerar
encurtamento.
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2.2) TENSÃO AXIAL
A Figura abaixo mostra um element estrutural submetido a tração e sua seção
transversal (m-n)que mostra a tensão axial gerada pelo carregamento axial P.
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2.3) PRINCIPIO DE SAINT VENANT
A tensão axial mostrada no slide anterior é um valor médio, e será verdade se
considerarmos o Principio de Saint Venant, cujo enunciado pode ser resumido por:
Os efeitos localizados causados por qualquer carga que age sobre um corpo serão
dissipados ou atenuados em regiões suficientemente afastdas do ponto de aplicação
da carga. Além do mais, a distribuição de tensão resultante nessas regiões será a
mesma que a causada por qualquer outra carga estaticamente equivalente aplicada ao
corpo dentro da mesma área localizada. A Figura a seguir ilustra o que esta
explicado.
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Principio de Saint Venant (continuação)
Na região e que há concentração de tensões, isto é, proximo ao ponto de aplicação
não é valido o Principio de Saint Venant e a tensão axial será expressa por:
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2.4) DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO ESTRTURAL SUBMETIDO A 
CARREGAMENTO AXIAL
Onde:
E : Modulo de Elasticidade Longitudinal do Material. (Vamos recordar o 
diagrama tensão x deformação.
ε : Deformação específica do elemento estrutural.
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Onde:
ΔL : Variação do comprimento (Deformação) devido ao carregamento aplicado.
Lf, Li : Comprimento final e inicial do elemento estrutural.
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Exemplo 1: Uma barra de aço redonda (vergalhão) com diâmetro de 25mm (1”) esta
tracionado por uma forçc de 10tf (98.1kN). Determine:
a) Tensão média
b) Deformação especifica (ε)
c) Deformação (ΔL)
Dados: Eaço = 2.1 x 106 kgf/cm2 (2.06 x 105 MPa)
Li = 10 metros
Exemplo 2: Duas barras de aço cilíndricas foram soldadas no ponto B e estão 
solicitadas pelas forças, conforme mostrado na figura a seguir. Pede-se:
a) Tensão na seção média da barra AB.
b) Tensão na seção média da barra BC.
c) Deformação específica da barra AB.
d) Deformação específica da barra BC.
e) Alongamento da barra AB.
f) Alongamento da barra BC.
g) Alongamento total do conjunto (barras AB e BC).
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Exemplo 3: Duas barras de aço 
prismaticas foram soldadas no ponto 
B e estão solicitadas pelas forças, 
conforme mostrado na figura ao 
lado. Pede-se:
a) Tensão na seção média da barra 
AB.
b) Tensão na seção média da barra 
BC.
c) Deformação específica da barra 
AB.
d) Deformação específica da barra 
BC.
e) Alongamento da barra AB.
f) Alongamento da barra BC.
g) Alongamento total do conjunto 
(barras AB e BC).
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Exemplo 4: Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na Figura 
a seguir. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20mm, e BD é feito de alumínio e tem 
diâmetro de 40mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical 
de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa
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Exemplo 5:
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Exemplo 5:
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2.5) PRINCIPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS
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2.5) PRINCIPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS (CONTINUAÇÃO)
No exemplo a flecha (F3) poderá
ser obtida somando as flechas F1
e F2, Portanto, é válido o
Principio da Superposição
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2.5) PRINCIPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS (CONTINUAÇÃO)
Neste caso NÃO É VÁLIDO
o Principio da Superposição.
A Força de Compressão (C)
introduzirá uma NÃO
LINEARIDADE
GEOMÉTRICA e a Flecha F3
será diferente da soma de F2
com F1.
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2.6) ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO
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2.6) ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO 
(CONTINUAÇÃO).
Entretanto se a barra estiver presa me duas
extremidades, como mostrado na FIGURA A SEGUIR.
Não será possível determinar as reações nos apoios
usando somente a EQUAÇÃO DE EQUILIBRIO DA
ESTÁTICA, precisaremos de EQUAÇÕES DE
DCOMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES ou
EQUAÇÕES CINEMÁTICAS, como mostrado a seguir,
Usando a EQUAÇÃO DE EQUILIBRIO, temos:
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2.6) ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO 
(CONTINUAÇÃO).
Lembrando que os dois apoios são fixos, temos que o
deformação total da barra será NULA. Então,
podemos escrever a seguinte EQUAÇÃO DE
COMPATIBILIDADE:
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2.6) ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO 
(CONTINUAÇÃO).
DA EQUAÇÃO II, TEMOS:
SUBSTITUINDO VA NA EQUAÇÃO I, TEMOS:
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2.6) ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO 
(CONTINUAÇÃO).
VOLTANDO EM VA, TEMOS:
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2.7) Tensões e Deformações Térmicas
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2.7) Tensões e Deformações Térmicas
Onde: 
α : Coeficiente de dilatação térmica linear (1/oC)
ΔT : Variação de temperatura (TF – TI) (
oC)
L : Comprimento inicial (m)
A partir da equação da dilatação linear podemos obter as tensões 
térmicas pela formulação a seguir:
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2.8) Concentração de Tensões
No inicio deste capitulo falamos da Principio de Saint Venant, que de forma simplificada
diz que nos pontos suficientemente afastamentosdos pontos de aplicação da carga, a
tensão será o valor médio.
Quando um elemento estrutural tem uma mudança de seção transversal (FURO ou
ESTRANGULAMENTO), há uma perturbação do campo de TENSÕES, que com as
ferramentas atuais (Programas que usam o MEF – Método dos Elementos Finitos) é
possível sua determinação com razoável precisão. Contudo, antes do avançcods
computadores os engenheiros determinavam este efeito através dos FATORES DE
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES (K), QUE ERAM OBTIDOS EXEPRIMENTALMENTE
ATRAVÉS DO USO DE STRAIN GAUGE.
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2.8) Concentração de Tensões (continuação)
Os FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES (K) DE MODO APROXIMADO SÃO
OBTIDOS ATRAVÉS DE GRAFICOS, como mostrado a seguir:
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2.8) Concentração de Tensões (continuação)
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2.8) Concentração de Tensões (continuação)
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2.8) Concentração de Tensões (continuação)
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2,9) Deformação Axial Ineslática
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2,9) Deformação Axial Ineslática (continuação)
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2,9) Deformação Axial Ineslática (continuação)
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2,9) Deformação Axial Ineslática (continuação)
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2,9) Deformação Axial Ineslática (continuação)
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2,9) Deformação Axial Ineslática (continuação)
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2,9) Deformação Axial Ineslática (continuação)
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Exemplo 4.15 ( Pagina 1.15 do livro)