Matrizes e Determinantes

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 Definições;
 Tipos Especiais de Matrizes; 
 Operações com Matrizes;
 Processo para Inversão de Matrizes;
	Determinantes.
Álgebra Linear
 Matrizes
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Exemplo
		
Em uma editora, as vendas de livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de um ano, podem ser expressas pela tabela a seguir:
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3x3 e podemos representá-la por:
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2. “Álgebra Linear”
 STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo
Segunda edição, SP, Editora Makron Books, 1987.
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Exemplos
1. Escreva a matriz A = (aij)3x2 tal que 
 aij = 3i + 2j.
2. Escreva a matriz B = (bij)2x4 tal que 
 bij = i2+ 2j2 
3. Escreva a matriz C = (cij)2x3 tal que 
 cij = |i - j| 
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Tipos de Matrizes 
Matriz Coluna
É a matriz de 
ordem n por 1. 
Matriz Linha
É a matriz de ordem 1 por n. 
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Exemplos
Matriz Identidade
É a matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero. 
Matriz Nula
É a matriz que possui todos os elementos iguais a 0. 
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2. “Álgebra Linear”
 STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo
Segunda edição, SP, Editora Makron Books, 1987.
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Bibliografia
		
2. “Álgebra Linear”
 STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo
Segunda edição, SP, Editora Makron Books, 1987.
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2. “Álgebra Linear”
 STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo
Segunda edição, SP, Editora Makron Books, 1987.
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Introdução
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.
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Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
			Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
= a11 · a22 – a12 · a21
 
a11 · a22
- (a12 · a21)
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
Ex: 2)
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado 
Regra de Sarrus.
Ex: 2)
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 1)
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Determinante de uma Matriz Quadrada 
de Ordem maior que 3.
Nesse caso usa-se o teorema de Laplace, 
que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.
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Matriz reduzida e cofator
Considere a matriz A =
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira 
coluna da matriz original:
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por:
Cij = (-1)i + j . |A ij|, 
em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.
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Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados. 
Exemplo:
Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.
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Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 
1)
2)
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• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
4)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
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• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
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Outras propriedades:
• det(A)=det(At)
Ex: 
1)
2)
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1)
2)
Ex: 
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
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1)
Ex: 
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
2)
Outras propriedades:
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Ex: 
1)
2)
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
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• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
Ex: 
Outras propriedades:
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• det(A.B)=detA.detB
Ex: 
Outras propriedades:
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• det(A-1)=1/detA
Ex: 
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