AULA 4 RES MAT TORCAO

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DISCIPLINA- RESISTENCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Elton J. B. Ribeiro
Capitulo III: TORÇÃO
3.1 Momento Torçor
3.2 Hipóteses Básicas
3.3 Formula de torção para Seções Circulares ou Tubulares
3.4 Dimensionamento de Barras Sujeitas a Torção
3.5 Ângulo de Torção
3.6 Tensões de Cisalhamento em Regime Ineslático
3.7 Barras de Seção não Circular Maciças
3.8 Barras de Paredes Esbeltas
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3.1 Definição de Torção/Momento Torçor
Torção de refere ao giro de uma retilínea quando carregada por momentos torcores 
ou torque, que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudunal da barra. Como 
mostrado na figura a seguir.
Torque ou Momento Torçor
aplicado em uma chave de
fenda.
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Exemplos de barras em torção: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de
direção e brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de torção
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Deformação de torção de uma barra circular
Considere uma barra de seção transversal circular que sofre a ação de um
momento torçor T, como mostrado na figura a seguir.
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Equação da Torção
A equação da torção relaciona o torque interno com a distribuição das tensões
de cisalhamento na seção transversal de uma barra circular.
Para materiais linear-elástico aplica-se a Lei de HOOKE.
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Temos:
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Exercício: Uma barra esta solicitada como mostrado na figura. Sabendo que a
barra tem um diâmetro de 100mm, determine a tensão de cisalhamento e um
ponto situado a 40mm do centro e a tensão cisalhante máxima.
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Para o caso de barra circular vazada, somente o momento polar de inercia irá
mudar:
𝑱 =
𝝅
𝟔𝟒
𝑫𝟒 − 𝒅𝟒
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Exercício: Resolva o problema anterior supondo que a barra AB seja um tubo
de diâmetro externo igual a 100mm e diâmetro interno de 80mm.
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3.4 ÂNGULO DE TORÇÃO E DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO
A figura a seguir esta submetida a uma torção PURA (T). 
Como a barra é simétrica, as seções transversais da barra não variam na
forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal, isto é, todas seções
transversais permanecem planas e circulares é todos os raios permanecem
retos.
Vamos assumir que o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e a
outra seja pequeno, consequentemente, o COMPRIMENTO e o RAIO
permanecem constante.
Figura 1
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Da figura 1 temos que o ângulo de torção φ (x) irá variar ao longo do 
comprimento entre 0 e φ. 
Como a seção transversal permanece constante ao longo do comprimento,
podemos afirmar que φ irá variar linearmente.
Considere a 
Figura 2 ao lado.
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Considerando que :
𝜸𝑴𝑨𝑿 =
𝒃𝒃`
𝒂𝒃
Onde 𝜸𝑴𝑨𝑿 e´medido em radianos.
Da figura 2 temos:
𝒃𝒃` = 𝒄 ∗ 𝒅∅ e 𝐚𝐛 = 𝒅𝒙
Temos a relação entre a deformação de cisalhamento máxima (𝜸𝑴𝑨𝑿 )com 
ângulo de torção (∅ ):
𝜸𝑴𝑨𝑿 =
𝒄 ∗ 𝒅∅
𝒅𝒙
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A relação
𝒅∅
𝒅𝒙
é a razão da variação do ângulo de torção (φ) em relação à
distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar
𝒅∅
𝒅𝒙
pelo ângulo θ
e nos referimos a ele como razão de torção ou ângulo de torção por unidade
de comprimento.
Portanto 𝜸𝑴𝑨𝑿 = 𝑪 θ
Ao longo da seção transversal, temos: 𝜸 =
𝝆
𝒄
𝜸𝑴𝑨𝑿
Portanto, temos: 𝜸 = 𝝆
𝒅∅
𝒅𝒙
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Lembrando que: 𝝉 = 𝑮 ∗ 𝜸
Temos: 𝝉 = 𝑮 ∗ 𝝆
𝒅∅
𝒅𝒙
Mas: 𝝉 =
𝑻 ∗ 𝝆
𝑱
Portanto:
𝒅∅
𝒅𝒙
=
𝑻
𝑱𝑮
∅ = න
𝟎
𝑳𝑻(𝒙) ∗ 𝒅𝒙
)𝑮𝑱(𝒙
Integrando, temos:
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Considerando o material homogêneo, de modo que G é constante, a seção
transversal uniforme, podemos escrever a formula anterior:
Caso a barra esteja solicitada por momento torçores diferentes, ou haja um
trecho com área ou modulo de elasticidade transversal diferente podemos
obter o ângulo de torção com a seguinte expressão
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CONVENÇÃO DE SINAIS
A direção e o sentido do momento torçor aplicado é definido a partir da
aplicação da regra da mão direita. O momento torçor e o ângulo de torção
serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de se afastar
do eixo.
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DIAGRAMA DE MOMENTO TORÇOR
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EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2