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Universidade Federal da Bahia Departamento de Matema´tica A´lgebra Linear A Prof. Ciro Russo Primeira unidade – 06/02/2017 Atenc¸a˜o: e´ preciso justificar todas as respostas. 1. Seja V = P4(R), o espac¸o vetorial real dos polinoˆmios de grau ≤ 4 com coeficientes reais, e sejam U = 〈3+3x3+3x4, x+x2+x4, 1−x−x2+x3, 4−2x−2x2+4x3+2x4〉, e W = 〈x + x2 + x3 + x4〉 dois subespac¸os de V . (a) Determine a dimensa˜o e encontre uma base para cada subespac¸o dado. (b) Determine se a soma U + W e´ direta. 2. Determine para quais valores reais de k os vetores v1,v2 e v3 de R3 sa˜o linearmente dependentes. v1 = (7, k,−1), v2 = (0, k2 + 2k,−3), v3 = (0, 0,−1) 3. Determine quais dos seguintes sistemas de vetores sa˜o linearmente in- dependentes e quais, eventualmente, formam uma base do respectivo espac¸o. (a) {(9, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1)} ⊆ R3. (b) {x− x2, x3, x + x2 + x3} ⊆ P3(R). (c) {(0, 0), (1, 1)} ⊆ R2. 4. Encontre, usando o me´todo de Cramer, as coordenadas do vetor (3, 2, 1) na base B = {(1, 4, 1), (0, 3, 2), (2,−1, 1)} de R3. 1. (a) Seja A a matriz cujas linhas sa˜o as coordenadas dos geradores de U na base canoˆnica de V e seja B a matriz linha reduzida a` forma escada de A. As linhas de B sera˜o as coordenadas, na base canoˆnica de V , de uma base de U . Temos: 3 0 0 3 3 0 1 1 0 1 1 −1 −1 1 0 4 −2 −2 4 2 L1→L1/3−→ 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 −1 −1 1 0 4 −2 −2 4 2 L3→L3−L1−→ 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 −1 −1 0 −1 4 −2 −2 4 2 L4→L4−4L1−→ 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 −1 −1 0 −1 0 −2 −2 0 −2 L3→L3+L2−→ 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 −2 −2 0 −2 L4→L4+2L2−→ 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . Logo, dimU = 2 e uma base de U e´ {1 + x3 + x4, x + x2 + x4}. Como W e´ gerado por um vetor na˜o nulo, esse vetor forma uma base de W e dimW = 1. (b) Para determinar se U + W e´ uma soma direta, teremos que veri- ficar que o vetor nulo e´ o u´nico elemento de U ∩W e, portanto, precisamos solucionar a equac¸a˜o vetorial a(1 + x3 + x4) + b(x + x2 + x4) = c(x + x2 + x3 + x4), nas inco´gnitas a, b e c. Essa equac¸a˜o e´ equivalente a a+ (b− c)x+ (b− c)x2 + (a− c)x3 + (a + b− c)x4 = 0, que induz o sistema: a = 0 b− c = 0 b− c = 0 a− c = 0 a + b− c = 0 Esse sistema tem soluc¸a˜o u´nica (a = b = c = 0) e, portanto, o vetor nulo e´ o u´nico elemento de U ∩W . Segue que a soma dos dois subespac¸os e´ direta. 2. Treˆs vetores em R3 sa˜o l.d. se, e so´ se, a matriz A, cujas linhas sa˜o as coordenadas dos vetores em uma base fixada, tem determinante na˜o nulo. Neste caso, escolhendo a base canoˆnica para calcular as coordenadas dos vetores dados, temos: A = 7 k −10 k2 + 2k −3 0 0 −1 , e o determinante de A pode ser calculado lembrando que, em uma ma- triz triangular, o determinante e´ o produto dos elementos da diagonal principal. Enta˜o detA = −7k(k+ 2) e esse determinante e´ igual a zero sse k = 0 e k = 2 e, da´ı, v1,v2 e v3 sa˜o l.d. sse k = 0 ou k = −2. 3. (a) det 9 1 02 1 0 1 1 1 = 9−2 = 7, enta˜o o espac¸o-linha da matriz, que coincide com o espac¸o gerado pelos vetores dados, tem dimensa˜o 3. Segue que os vetores sa˜o l. i. e formam uma base de R3. (b) A equac¸a˜o vetorial a(x−x2)+bx3+c(x+x2+x3) = 0, nas inco´gnitas a, b e c, em forma canoˆnica vira (a+c)x+(−a+c)x2+(b+c)x3 = 0 e induz o sistema homogeˆneo a + c = 0 −a + c = 0 b + c = 0 . Esse sistema e´ determinado, isto e´, tem apenas a soluc¸a˜o nula. Portanto o conjunto de vetores dado e´ l. i., pore´m, ele na˜o e´ uma base, pois e´ formado por treˆs vetores, enquanto P3(R) tem dimensa˜o 4. (c) E´ l. d., pois conte´m o vetor nulo. 4. Para encontrar as coordenadas (x, y, z) de (3, 2, 1) na base dada, pre- cisamos solucionar o sistema na˜o homogeˆneo 1 0 24 3 −1 1 2 1 xy z = 32 1 . Aplicando a regra di Cramer, temos: x = det 3 0 22 3 −1 1 2 1 det 1 0 24 3 −1 1 2 1 y = det 1 3 24 2 −1 1 1 1 det 1 0 24 3 −1 1 2 1 z = det 1 0 34 3 2 1 2 1 det 1 0 24 3 −1 1 2 1 . Da´ı: x = 17 15 , y = −8 15 , z = 14 15 .
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