Prova Algebra Linear - UFBA

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Universidade Federal da Bahia
Departamento de Matema´tica
A´lgebra Linear A
Prof. Ciro Russo
Primeira unidade – 06/02/2017
Atenc¸a˜o: e´ preciso justificar todas as respostas.
1. Seja V = P4(R), o espac¸o vetorial real dos polinoˆmios de grau ≤ 4 com
coeficientes reais, e sejam
U = 〈3+3x3+3x4, x+x2+x4, 1−x−x2+x3, 4−2x−2x2+4x3+2x4〉, e
W = 〈x + x2 + x3 + x4〉
dois subespac¸os de V .
(a) Determine a dimensa˜o e encontre uma base para cada subespac¸o
dado.
(b) Determine se a soma U + W e´ direta.
2. Determine para quais valores reais de k os vetores v1,v2 e v3 de R3 sa˜o
linearmente dependentes.
v1 = (7, k,−1), v2 = (0, k2 + 2k,−3), v3 = (0, 0,−1)
3. Determine quais dos seguintes sistemas de vetores sa˜o linearmente in-
dependentes e quais, eventualmente, formam uma base do respectivo
espac¸o.
(a) {(9, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1)} ⊆ R3.
(b) {x− x2, x3, x + x2 + x3} ⊆ P3(R).
(c) {(0, 0), (1, 1)} ⊆ R2.
4. Encontre, usando o me´todo de Cramer, as coordenadas do vetor (3, 2, 1)
na base
B = {(1, 4, 1), (0, 3, 2), (2,−1, 1)}
de R3.
1. (a) Seja A a matriz cujas linhas sa˜o as coordenadas dos geradores
de U na base canoˆnica de V e seja B a matriz linha reduzida a`
forma escada de A. As linhas de B sera˜o as coordenadas, na base
canoˆnica de V , de uma base de U . Temos:
3 0 0 3 3
0 1 1 0 1
1 −1 −1 1 0
4 −2 −2 4 2
 L1→L1/3−→

1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
1 −1 −1 1 0
4 −2 −2 4 2
 L3→L3−L1−→
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 −1 −1 0 −1
4 −2 −2 4 2
 L4→L4−4L1−→

1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 −1 −1 0 −1
0 −2 −2 0 −2
 L3→L3+L2−→
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 0 0 0
0 −2 −2 0 −2
 L4→L4+2L2−→

1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 .
Logo, dimU = 2 e uma base de U e´ {1 + x3 + x4, x + x2 + x4}.
Como W e´ gerado por um vetor na˜o nulo, esse vetor forma uma
base de W e dimW = 1.
(b) Para determinar se U + W e´ uma soma direta, teremos que veri-
ficar que o vetor nulo e´ o u´nico elemento de U ∩W e, portanto,
precisamos solucionar a equac¸a˜o vetorial
a(1 + x3 + x4) + b(x + x2 + x4) = c(x + x2 + x3 + x4),
nas inco´gnitas a, b e c. Essa equac¸a˜o e´ equivalente a a+ (b− c)x+
(b− c)x2 + (a− c)x3 + (a + b− c)x4 = 0, que induz o sistema:
a = 0
b− c = 0
b− c = 0
a− c = 0
a + b− c = 0
Esse sistema tem soluc¸a˜o u´nica (a = b = c = 0) e, portanto, o
vetor nulo e´ o u´nico elemento de U ∩W . Segue que a soma dos
dois subespac¸os e´ direta.
2. Treˆs vetores em R3 sa˜o l.d. se, e so´ se, a matriz A, cujas linhas sa˜o
as coordenadas dos vetores em uma base fixada, tem determinante
na˜o nulo. Neste caso, escolhendo a base canoˆnica para calcular as
coordenadas dos vetores dados, temos:
A =
 7 k −10 k2 + 2k −3
0 0 −1
 ,
e o determinante de A pode ser calculado lembrando que, em uma ma-
triz triangular, o determinante e´ o produto dos elementos da diagonal
principal. Enta˜o detA = −7k(k+ 2) e esse determinante e´ igual a zero
sse k = 0 e k = 2 e, da´ı, v1,v2 e v3 sa˜o l.d. sse k = 0 ou k = −2.
3. (a) det
 9 1 02 1 0
1 1 1
 = 9−2 = 7, enta˜o o espac¸o-linha da matriz, que
coincide com o espac¸o gerado pelos vetores dados, tem dimensa˜o
3. Segue que os vetores sa˜o l. i. e formam uma base de R3.
(b) A equac¸a˜o vetorial a(x−x2)+bx3+c(x+x2+x3) = 0, nas inco´gnitas
a, b e c, em forma canoˆnica vira (a+c)x+(−a+c)x2+(b+c)x3 = 0
e induz o sistema homogeˆneo
a + c = 0
−a + c = 0
b + c = 0
.
Esse sistema e´ determinado, isto e´, tem apenas a soluc¸a˜o nula.
Portanto o conjunto de vetores dado e´ l. i., pore´m, ele na˜o e´
uma base, pois e´ formado por treˆs vetores, enquanto P3(R) tem
dimensa˜o 4.
(c) E´ l. d., pois conte´m o vetor nulo.
4. Para encontrar as coordenadas (x, y, z) de (3, 2, 1) na base dada, pre-
cisamos solucionar o sistema na˜o homogeˆneo 1 0 24 3 −1
1 2 1
 xy
z
 =
 32
1
 .
Aplicando a regra di Cramer, temos:
x =
det
 3 0 22 3 −1
1 2 1

det
 1 0 24 3 −1
1 2 1
 y =
det
 1 3 24 2 −1
1 1 1

det
 1 0 24 3 −1
1 2 1
 z =
det
 1 0 34 3 2
1 2 1

det
 1 0 24 3 −1
1 2 1
 .
Da´ı: x = 17
15
, y = −8
15
, z = 14
15
.