Lista 2 Exercicios Calculo Vetorial e Geometria Analítica

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 1 
PRODUTO DE VETORES 
PRODUTO ESCALAR 
 
1) Sendo 
u
 = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular: 
 a) 
u
  v b) ( u – v ) c)( u + v )
2 d) (3
u
 – 2 v )
2 e) (2
u
 -3v )(u +2v )
 
 
2)Sendo 
a
 =(2,–1,1), 
b
 =(1,–2,–2) e 
c
 =(1,1,–1). Calcular um vetor 
v
 =(x,y,z), tal que 
v
  
a
 = 4, 
v
  
b
 = –9 e 
v
  
c
 = 5 
3)Sejam os vetores 
a
 =(1,–m,–3),
b
 =(m+3,4–m,1)e 
c
 =(m,–2,7). 
Determinar m para que 
a
 
b
 =(
a
 +
b
 )
c
 . 
 
4) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e 
C(a+1,–2,3). 
 
5) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores 
AC e BD
. 
 
. 
6) Os vetores 
u
 e v formam um ângulo de 60
0. Sabe-se que 
u
 =8 e  v =5, calcule: 
 a)
u
 +v  b) u – v  c)  2u +3 v  d) 4u – 5 v  
 
7) Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo de 1500, sabe-se que 
a
 =
3
 e que 
b
 =
2
, 
Calcule: 
 a) 
a
 +
b
  b) 
a
 –
b
  c) 3
a
 +2
b
  d) 5
a
 – 4
b
  
 
 
8) Determinar o valor de x para que os vetores 
1v
 = x i –2
j
 +3k e 
2v
 =2 i –
j
 +2k , sejam 
ortogonais 
9) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
a
 =(2,6,–1) e 
b
 =(0,–2,1). 
 
10) Dados 
a
 =(2,1,–3) e 
b
 =(1,–2,1), determinar o vetor 
v
 
a
 ,
v
 
b
 e 
v
 = 5. 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 2 
11) Dados dois vetores 
a
 =(3,–1,5) e 
b
 =(1,2,–3), achar um vetor 
x
 , sabendo-se que ele é 
perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: 
x
 
a
 =9, e 
x
 
b
 =–4. 
 
12) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: 
R 
 
13)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos 
de um triângulo retângulo isósceles. 
 
14)Um vetor 
v
 forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados 
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que 
v
 = 3. 
 
15)Um vetor unitário 
v
 forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os 
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de 
v
 . 
 
16) O vetor 
 2,1,1v 
 forma um ângulo de 600 com o vetor 
BA
 , onde A (0,3,4) e 
B(m, 1,2). Calcular o valor de m. 
 
17)Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo = 
6

, calcular o ângulo entre os vetores 
p
 =a +b 
e 
q
 = a – b , sabendo que a = 3 e b = 1. 
 
18) Dados 
u
 =(2,–3,–6) e v =3 i –4
j
 –4 k , determine: 
 a) a projeção algébrica de 
v
 sobre 
u
 ( norma do vetor projeção de v sobre u ); 
 b) 0 vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 . 
19)Decomponha o vetor 
v
 =(–1,2,–3) em dois vetores 
a
 e 
b
 , tais que 
a
 
w
 e 
b
 
w
 , com 
w
 =(2,1,–1). 
 
 
 
cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o
aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g
OGABEDf) OBOE)c
CGEGe) ODOA)b
OG e OBd) OCOA)a



 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 3 
20)São dados os vetores 
1v

 = (1,1,1), 
2v

=(–1,2,3) e 
3v

=(26,6,8). Decompor o vetor 
3v

 
em dois vetores 
x
 e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v

e a 
2v

. 
21)São dados 
1v

=(3,2,2) e 
2v

=(18,–22,–5), determine um vetor 
v
 , que seja ortogonal à 
1v

e a 
2v

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que 
v
 =28. 
 
22)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as 
coordenadas do vetor 
HM
 , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 
 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
23) Dados os vetores 
u
 =( –1,3,2),v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos 
vetores: 
 a) 
u
  v b) v  w c) v (u w ) 
 d) (
v
 
u
 ) w e)(u +v )(u +w ) f) ( u –w )w 
 
24)Determinar o vetor 
x
 , paralelo ao vetor ao vetor 
w
 =(2,–3,0) e tal que 
x
  
u
 =v , onde 
u
 =(1,–1,0) e v =(0,0,2). 
25) Determinar o vetor 
v
 , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b
=(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 
10)k7j2i(v 
. 
 
26)Determinar 
v
, tal que 
v
 seja ortogonal ao eixo dos y e que 
wvu 
,sendo 
)1,1,1(u 
e 
)1,1,2(w 
. 
 
27) Dados os vetores 
1v

=(0,1,1), 
2v

=(2,0,0) e 
3v

=(0,2,3).Determine um vetor 
v
 , tal 
que 
v
 // 
3v

 e 
v
 
1v

=
2v

. 
28)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
1v
 =(–1,–1,0) e
2v
 =(0,–1–1). 
 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 4 
29) Ache 
u
 tal que 
u
 =
33
e 
u
 é ortogonal a v =(2,3,1) e a w =(2,4,6). Dos u 
encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). 
30)São dados os vetores 
1v

 = (1,1,1), 
2v

=(–1,2,3) e 
3v

=(26,6,8). Decompor o vetor 
3v

 
em dois vetores 
x
 e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v

e a 
2v

. 
31) Dado o vetor 
1v

=(3,0,1).Determine o vetor 
v
 =(x,y,z), sabendo-se que 
v
 é ortogonal 
ao eixo OX, que 
v
  
1v

=
146
 , e que 
v
 
1v

=4. 
 
32) São dados 
1v

=(3,2,2) e 
2v

=(18,–22,–5), determine um vetor 
v
 , que seja ortogonal à 
1v

e a 
2v

,tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que 
v
 =28. 
 
33)Sendo 
1v

=(–2,1,–1) e 
2v

=(0,y,z), calcule y e z de modo que 
1v


2v

= 4
3
 e que 
o vetor 
v
 =
1v


2v

 faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. 
 
34) Resolva os sistemas abaixo: 
 a)






2)kj2i4(x
0)kj3i2(x

 






2)ki2(v
k8i8)kj2i(v
)b 
 





k3j2i3)0,3,2(v
2)2,1,3(v
)c 
 
 
35) Dados os vetores 
u
 =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: 
 a) A área do paralelogramo de determinado por 
u
 e v ; 
 b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
u
 . 
 
36)Dados os vetores 
u
 =(2,1,1) e v =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do 
paralelogramo determinado por 
u
 e v seja igual a 62 u.a.(unidades de área). 
 
37) A área de um triângulo ABC é igual a 
6
 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o 
vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C. 
 
38)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). 
Determine a altura relativa ao lado BC. 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 5 
39) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor 
BA
 sobre o vetor 
BC
, onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). 
 
40) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e 
N(0,–1,3). 
 
PRODUTO MISTO 
 
41)Qual é o valor de x para que os vetores 
a
 =(3,–x,–2), 
b
 =(3,2,x) e 
c
 =(1,–3,1) sejam 
coplanares. 
 
42)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) 
sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. 
 
43)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos 
vetores 
u
 = 2 i –
j
 +k e v = i –
j
 e w =x i +
j
 –3k , seja unitário. 
44)Sejam os vetores 
u
 =(1,1,0), v =(2,0,1) e v2u3w1  , v3uw 2  e k2jiw3   . 
Determinar o volume do paralelepípedo definido por 
1w
, 
2w
 e 
3w
. 
 
45)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular 
as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY. 
 
46)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de 
m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
AC,AB
 e 
AD
. 
 
47)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o 
dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1). 
 
48)Sendo 
u
 =(1,1,0), v =(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o 
volume do tetraedro ABCD, onde B=A+
u
 . C=A+ v e D=A+ w . 
 
49)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0). 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 6 
50)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , 
B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). 
 
51)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto 
pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule: 
 a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 
uv; 
 b)a área e o perímetro da face NMQ; 
 c)os ângulos internos da face MNQ; 
 d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ. 
 
 
52)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as 
coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos 
demais, determine: 
a) as coordenadas do vértice D; 
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é 
igual a 72 u.v. 
 
 
53)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, 
tal que 
DO
 ,
AO
 
BO
 e 
AO
 
CO
 sejam coplanares, 
DO
 
BO
 = –28 e que o volume do 
tetraedro OABD seja igual a 14. 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 7 
RESPOSTAS 
RESP 1: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 
RESP 2: 
v
 =(3,4,2) 
RESP 3: m=2 
RESP 4: –1 ou 
5
13
 
RESP 5: a) Paralelogramo b) 
22,4463102
21
21
arccos 0 
. 
RESP 6: a)
129
 b)7 c)
721
 d)
849
 
RESP 7: a)
235
 b)
235
 c) 
21835
 d)
260107
 
RESP 8: x = –4 
RESP 9: 







3
2
,
3
1
,
3
2
c 

 
RESP 10: 
 1 ,1 ,1 
3
35
v 
 
RESP 11: 
x
 =(2,–3,0) 
12) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: 
RESP 12: a) 0 b) 0 c) 0 d)
3a e 2a
 e) a2 f)
 333 a,a,a
 g)
4454
3
3
cos arc 0 
 
h)
1370
3
1
 cos arc 0 
 
RESP 13: =arc cos
5
4
 , 360 52'11,6'' 
RESP 14: 
 1,1,13v 
 . 
RESP 15: 









4
6
,
4
6
,
2
1
v
 ou 









4
6
,
4
6
,
2
1 
RESP 16: m=–34 ou m=2 
RESP 17: cos=
7
72 ,40
053'36,2'' 
RESP 18: a)6 b)
 6,3,2
7
6

 
RESP 19: 







2
1
,
2
1
,1a

 e 







2
5
,
2
3
, 2b
 
RESP 20: 
x
 =(1,–4,3) e 
y
 =(25,10,5) 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 8 
RESP 21: 
v
 =(–8,–12,24) 
RESP 22: 
HM
 =(2,2,1) 
RESP 23: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) 
e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) 
RESP 24: 
x
 =(4.–6,0) 
RESP 25: 
 1,5,7v 
 
RESP 26: 
v
=(1,0,1) 
RESP 27: 
v
 =(0,4,6) 
RESP 28: 
 1,1,1
3
1

 
RESP 29: 
 3,3,3u 
 
RESP 30: 
x
 =(1,–4,3) e 
y

=(25,10,5) 
RESP 31: 
)4 6, ,0(v 

 
RESP 32: 
v
 =(–8,–12,24) 
RESP 33: (0,2,2) 
RESP 34: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1) 
RESP 35: a)A=
.a.u6
 b)
.c.u2h 
 
RESP 36: =3 
RESP 37: (0,3,0) ou 






0,
5
1
,0
 
RESP 38: 
.c.u
7
353
h 
 
RESP 39: 
ua
9
2128
A 
 
RESP 40: d=
7
353 u.c. 
RESP 41: x=14 ou x=–2 
RESP 42: k=– 1 
RESP 43: x=–5 ou x= –3 
RESP 44: V=44 u.v. 
RESP 45: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) 
RESP 46: m=6 ou m=2 
RESP 47: (–1,0,0) ou 






0,0,
3
1
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 2 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2 9 
RESP 48: S=
ua
2
19
,V=
uv
6
5
 
RESP 49: 
.c.u
11
64
h 
 
RESP 50: 
58
1745
u.c. 
RESP51: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S=
33
u.a., 2p=
12363 
u.c. 
 c)=300, =900, =600 d)
33
1
u.c. 
RESP 52: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7) 
RESP 53: D(0,0,–28) ou D(12,24,8) 
 
 
 
 
	PRODUTO DE VETORES
	PRODUTO ESCALAR
	PRODUTO VETORIAL
	PRODUTO MISTO