prova resolvida de calculo I

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GABARITO - PROVA A
01 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Uma função f é de…nida pela regra f (x) =
r
2x� 1
x+ 1
:
a Determine o domínio máximo da função f:
SOLUÇÃO O domínio da função f é constituído dos números reais x, para os quais
2x� 1
x+ 1
� 0 e, natu-
ralmente, x 6= �1:
Observando o diagrama acima, deduzimos que D (f) = fx 2 R; x � 1=2 ou x < �1g e, usando a notação
de intervalos, temos D (f) = (�1;�1) [ [1=2;+1): �
02 LEITURA DO GRÁFICO Considere a função f : R! R de…nida pela regra
f (x) =
���������
�x2 + 1; se x � 0
2=x; se 0 < x � 1
2� x; se x > 1:
a Esboce o grá…co da função f , identi…cando sua imagem.
b Com base no grá…co, complete a tabela abaixo:
f (0) f (1) lim
x!0�
f (x) lim
x!1+
f (x) lim
x!+1 f (x) limx!�1 f (x) :
SOLUÇÃO
a
b
f (0) f (1) lim
x!0�
f (x) lim
x!1+
f (x) lim
x!+1 f (x) limx!�1 f (x)
1 2 1 1 �1 �1
�
03 CALCULANDO LIMITES Calcule os seguintes limites:
a lim
x!2
x3 � 8
x2 � 4 b limx!1�
1� 3x
x2 + x� 2 c limx!1
�
x�px3 + 1
�
:
SOLUÇÃO
a
lim
x!2
x3 � 8
x2 � 4 = limx!2
(x� 2) �x2 + 2x+ 4�
(x� 2) (x+ 2) = limx!2
x2 + 2x+ 4
x+ 2
= 3: �
b
lim
x!1�
1� 3x
x2 + x� 2 = limx!1
x<1
1� 3x
x2 + x� 2 = limx!1
x<1
1� 3x
(x� 1) (x+ 2) =
�2
0� � 3 = +1: �
c
lim
x!1
�
x�
p
x3 + 1
�
= lim
x!1
h
x�
p
x3 (1 + 1=x3)
i
= lim
x!1
�
x� x3=2
p
1 + 1=x3
�
= lim
x!1x
3=2
�
1p
x
�
p
1 + 1=x3
�
= �1: �
04 CONSTRUINDO UMA FUNÇÃO CONTÍNUA Considere a função f : R! R, de…nida por:
f (x) =
�������
p
x2 + 5x+ 7� 1
x+ 2
; se x 6= �2
L; se x = �2:
a Determine o valor de L; de modo que a função f seja contínua em x = �2:
2
SOLUÇÃO Para que f seja contínua no ponto x = �2 é necessário e su…ciente que
L = lim
x!�2
f (x) = lim
x!�2
p
x2 + 5x+ 7� 1
x+ 2
= lim
x!�2
"p
x2 + 5x+ 7� 1
x+ 2
�
p
x2 + 5x+ 7 + 1p
x2 + 5x+ 7 + 1
#
= lim
x!�2
�
x2 + 5x+ 7� 1
(x+ 2) (
p
x2 + 5x+ 7 + 1)
�
= lim
x!�2
�
(x+ 2) (x+ 3)
(x+ 2) (
p
x2 + 5x+ 7 + 1)
�
= lim
x!�2
�
x+ 3p
x2 + 5x+ 7 + 1
�
= 1=2: �
05 ENCONTRANDO A RETA TANGENTE Seja f (x) = x2 � 3x e sobre o grá…co de f considere o
ponto A de abscissa x = 1. Determine a equação da reta que passa no ponto A e tem declividade
m = lim
h!0
f (1 + h)� f (1)
h
:
SOLUÇÃO O ponto A do grá…co de f tem abscissa x = 1 e ordenada y = f (1) = �2. A declividade da
reta tangente é:
m = lim
h!0
f (1 + h)� f (1)
h
= lim
h!0
(1 + h)2 � 3 (1 + h)� (�2)
h
= lim
h!0
1 + 2h+ h2 � 3� 3h+ 2
h
= lim
h!0
2h+ h2 � 3h
h
= lim
h!0
h (h� 1)
h
= �1:
A reta que procuramos passa no ponto A (1;�2) ; tem declividade m = �1 e sua equação é, portanto:
y � (�2) = (�1) (x� 1) ou y = �x� 1: �
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