TCC COMPARATIVO EBERICK, TQS E CYPECAD

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
 
JULIANO ANDRÉ VERGUTZ 
RICARDO CUSTÓDIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DE RESULTADOS OBTIDOS EM SOFTWARES DE 
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
2010 
 
 
 
 
JULIANO ANDRÉ VERGUTZ 
RICARDO CUSTÓDIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMPARATIVA DE RESULTADOS OBTIDOS DE SOFTWARES DE 
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
Trabalho de conclusão de curso apresentado 
à disciplina Trabalho Final de Curso como 
requisito parcial à conclusão de Graduação no 
Curso de Engenharia Civil, Setor de 
Tecnologia, Exatas, Universidade Federal do 
Paraná. Orientador: Prof. Cláudio L. Curotto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao meu pai Elton e minha mãe 
Rossmari, pela minha educação e 
apoio. 
Ao meu pai, Osni, pelo apoio e 
motivação durante esta fase da minha 
vida. 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
A Deus, pela vida, oportunidades, conhecimento e 
proteção. 
Ao professor Claudio Luiz Curotto, pela atenção e 
orientação, dada ao longo deste trabalho. 
Aos professores Antonio Stramandinoli e Jorge 
Luiz Ceccon, pelas dúvidas tiradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
Na elaboração de projetos estruturais de concreto armado, os três 
programas de cálculo estruturais mais utilizados atualmente são o EBERICK, 
CYPECAD e CAD TQS, o primeiro é muito difundido na região sul do país, o 
segundo é utilizado em outros países, pois pode fazer considerações de 
normas europeias, o terceiro tem seu uso difundido em todo Brasil. Observar a 
forma de como é lançado uma estrutura hipotética nestes programas, e quais 
tipos de análises e critérios adotados entre eles, bem como as diferenças 
resultantes nos esforços finais é o que se contempla neste trabalho. Os 
programas entre si apresentam diferenças de análises, no lançamento da 
estrutura, e na inserção das cargas e distribuição dos esforços, desta forma 
foram elaboradas planilhas eletrônicas para uso como referência nos 
resultados globais da estrutura, tais como carga na fundação e nos pilares. 
Palavras Chaves: Estrutura, análise estrutural, programa, pilar, viga, laje, 
cargas e esforços. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
In the development of structural designs reinforced concrete, the three 
structural analysis softwares most used today are the EBERICK, CYPECAD 
and TQS. The first one is well known in the southbound of the country, the 
second one is used in many countries, as long as it can deal with European 
codes and the last one is widespread used throughout all the country. Observe 
how a hypothetical structure is modeled using these programs, and what sort of 
tests and criteria they adopt, and the resulting differences in final stresses is 
what can be found in this work. The softwares differ in the kind of analysis, at 
the modeling of the structure, at the loading step and distribution stresses. So 
were created spreadsheets to use as a reference to compare the structure’s 
global results, such as the total load on the foundation and the columns. 
 
Key words: structure, structural analysis, software, column, beam, slab, loads 
and stresses. 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 10
1.1. Justificativa ...................................................................................................................... 11
1.2. Objetivos Gerais .............................................................................................................. 11
1.4. Estrutura do Trabalho ..................................................................................................... 12
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................................... 13
2.1. Histórico do Concreto Armado e do Cálculo Estrutural .................................................. 13
2.2. Lajes ................................................................................................................................. 20
2.3. Vigas ................................................................................................................................ 21
2.4. Pilares .............................................................................................................................. 21
2.5. Propriedades dos Materiais ............................................................................................ 23
2.5.1. Propriedades do Concreto .......................................................................................... 23
2.5.1.1. Massa Específica ...................................................................................................... 24
2.5.1.2. Coeficiente de dilatação térmica ............................................................................ 24
2.5.1.3. Resistência à compressão ....................................................................................... 24
2.5.1.4. Resistência à tração ................................................................................................. 25
2.5.1.5. Módulo de elasticidade ........................................................................................... 25
2.5.1.6. Efeito de Rusch ........................................................................................................ 26
2.5.1.7. Coeficiente do Poisson e módulo de elasticidade transversal ................................ 27
2.5.1.8. Diagrama tensão- deformação ................................................................................ 27
2.5.2. Aço ............................................................................................................................... 29
2.5.2.1. Categorias de aço .................................................................................................... 29
2.5.2.2. Massa específica ...................................................................................................... 29
2.5.2.3. Coeficiente de dilatação térmica ............................................................................ 29
2.5.2.4. Módulo de elasticidade ........................................................................................... 29
2.5.2.5. Resistência à tração ................................................................................................. 29
2.5.2.6. Diagrama tensão- deformação ................................................................................ 30
2.6. Análises estruturais ......................................................................................................... 31
2.6.1. Análise linear ............................................................................................................... 31
2.6.2. Análise linear com redistribuição ................................................................................ 33
2.6.3. Análise plástica ............................................................................................................ 34
2.6.4. Análise não linear ........................................................................................................ 35
2.6.5. Análise através de modelos físicos ..............................................................................37
 
 
 
 
2.7. Modelos estruturais ........................................................................................................ 38
2.7.1. Modelo de vigas contínuas .......................................................................................... 38
2.7.2. Pórticos planos ............................................................................................................ 39
2.7.3. Pórticos espaciais ........................................................................................................ 42
2.7.4. Modelo de grelhas ....................................................................................................... 43
2.8. Esforços e combinações .................................................................................................. 46
3. FERRRAMENTAS COMPUTACIONAIS ................................................................................... 51
3.1. CYPECAD .......................................................................................................................... 51
3.1.1. Características técnicas de análise .............................................................................. 51
3.2. EBERICK ........................................................................................................................... 53
3.2.1. Características técnicas da análise .............................................................................. 54
3.3. TQS .................................................................................................................................. 56
3.3.1. Características de técnicas de análise ......................................................................... 57
4. METODOLOGIA .................................................................................................................... 58
4.1. Projeto arquitetônico ...................................................................................................... 58
4.2. Pré-dimensionamento dos elementos estruturais ......................................................... 58
4.2.1. Pré-dimensionamento de pilares ................................................................................ 58
4.2.2. Pré-dimensionamento de vigas ................................................................................... 64
4.2.3. Pré-dimensionamento de lajes ................................................................................... 65
4.3. Estimativa das cargas permanentes e acidentais ............................................................ 71
4.3.1. Cargas atuantes nas lajes ............................................................................................ 71
4.3.2. Cargas devido à parede ............................................................................................... 73
4.3.3. Redução das cargas acidentais .................................................................................... 75
4.3.4. Cálculo das reações da escada .................................................................................... 76
4.4. Cálculo dos esforços através da planilha eletrônica ....................................................... 79
4.5. Modelagem computacional da estrutura analisada ....................................................... 81
4.5.1. Eberick ......................................................................................................................... 81
4.5.2. CYPECAD ...................................................................................................................... 85
4.5.3. TQS .............................................................................................................................. 92
5. RESULTADOS ....................................................................................................................... 96
5.1. Consideração da estrutura com laje ............................................................................... 96
5.1.1. Cálculo com pilares pré-dimensionados ..................................................................... 97
5.2. Consideração da estrutura sem laje .............................................................................. 110
5.3. Estudo da laje L1 ........................................................................................................... 115
 
 
 
 
5.4. Estudo do pilar P1 ......................................................................................................... 129
5.5. Estudo da viga V1 .......................................................................................................... 136
5.5.1. Estrutura com laje ..................................................................................................... 136
5.5.3. Comparativo entre estrutura com laje e estrutura sem laje .................................... 149
5.6. Dados gerais da estrutura ............................................................................................. 151
6. CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 155
7. REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 156
ANEXOS ..................................................................................................................................... 159
ANEXO A .................................................................................................................................... 160
ANEXO B .................................................................................................................................... 169
ANEXO C .................................................................................................................................... 180
ANEXO D .................................................................................................................................... 189
 
 
 
10 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Há tempos a construção de edifícios de múltiplos andares concebidos 
em concreto armado tem sido solução largamente empregada no Brasil como 
resposta ao desenvolvimento das cidades. Sendo assim os projetos estruturais 
necessitaram de massiva evolução técnica, para ganho de tempo, economia e 
precisão para que as estruturas em concreto armado pudessem ser realizadas. 
Nos anos anteriores a década de 70, projetos desta natureza era realizada 
integralmente a mão, desde os cálculos até os detalhamentos dos elementos 
estruturais, o que demandava muito tempo para a sua conclusão. 
Entre os anos 60 e 70 começavam a surgir às primeiras máquinas 
eletrônicas programáveis. Em meio a esta insurgência tecnológica existiam 
quatro ou cinco modelos e marcas de máquinas programáveis, dentre elas o 
modelo Sharp 14, que era programável em linguagem Basic e associada ao 
uso de cartões magnéticos. Os cálculos de vigas contínuas, por exemplo, eram 
realizados em duas etapas (dois cartões magnéticos) e posteriormente se 
faziam os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes à mão. Os 
cálculos das cargas verticais em edifícios, levando em conta o efeito do vento, 
também eram feitos em duas etapas (dois cartões magnéticos): sendo que 
primeiramente calculava-se o momento devido ao vento em cada pavimento e 
depois, este efeito era somado com a carga vertical de cada pilar em cada 
pavimento. 
Atualmente pode-se afirmar que os projetos estruturais são realizados 
por meio de pacotes computacionais disponíveis comercialmente, o que 
conduziu a mudanças significativas na concepção estrutural das estruturas. 
Nesses pacotes os métodos de análise programadosconduzem a solução da 
estrutura a um nível de precisão satisfatório, simulando o comportamento físico 
da estrutura mais próximo do que ocorre na realidade, se comparados com 
modelos simplificados. Deve-se destacar que, com o advento dos programas 
de cálculo estrutural, houve muito ganho em produtividade e dinamismo na 
execução do projeto, oferecendo ainda a facilidade de se testar diversos 
arranjos estruturais distintos até encontrar o mais apropriado e econômico, 
trabalho que seria de grande dificuldade no cálculo manual de uma estrutura de 
edifício. 
 
 
11 
 
O fato dos programas de cálculo contribuir significativamente para a 
resolução dos mais variados tipos de problemas encontrados durante a 
elaboração de um projeto estrutural, não significa que o engenheiro possa se 
preocupar menos com as questões a serem consideradas na elaboração do 
projeto, desta forma é de fundamental importância que o profissional tenha um 
bom conhecimento prático e teórico, os quais estão muitas vezes associados 
com a experiência e boa formação acadêmica. A entrada de dados e 
interpretação das saídas de dados são etapas fundamentais na definição do 
projeto estrutural. 
 
1.1. Justificativa 
 
Para os profissionais da engenharia que atuam na área de projeto de 
estruturas de concreto armado, é fundamental que eles saibam como as 
estruturas são idealizadas nos programas e as considerações que eles fazem. 
De modo geral, é importante que o engenheiro “calculista” saiba de onde 
surgem os resultados que os programas fornecem, sendo que para isso é 
importante que se tenha o conhecimento teórico necessário, para a solução de 
possíveis problemas que possam acontecer durante a etapa de elaboração do 
projeto estrutural. 
 
1.2. Objetivos Gerais 
 
O objetivo do presente trabalho é estudar a forma de elaboração dos 
principais pacotes computacionais utilizados atualmente no Brasil para a 
elaboração do projeto estrutural. Propomos modelar uma superestrutura de um 
edifício nos programas TQS, CYPECAD e EBERICK, de modo a entender as 
necessidades que se exigem durante a elaboração de um projeto estrutural, 
avaliando as suas adequabilidades e dificuldades no lançamento da estrutura. 
Também buscaremos compreender como são realizadas as análises 
estruturais nestes programas, de modo que se saiba qual é o tratamento 
 
 
12 
 
matemático que é efetuado para o processamento dos esforços na estrutura, 
bem como as considerações e critérios dos três programas. 
 
1.3. Objetivos Específicos 
 
Nos programas de cálculo estrutural que serão estudados neste trabalho 
(TQS, CYPECAD e Eberick) será lançada uma estrutura de 4 pavimentos, de 
maneira que se obtenha em cada programa alguns resultados que eles são 
capazes de nos fornecer, e posteriormente analisar as possíveis diferenças 
entre as saídas de dados, e assim então definir prós e contras de cada 
programa, bem como cuidados durante as entradas de dados e interpretação 
dos resultados. 
 
1.4. Estrutura do Trabalho 
 
O estudo que se segue está divido em 6 capítulos, que compõem a 
estrutura do trabalho. No capítulo 2, serão demonstradas nossas pesquisas 
relacionadas aos assuntos de teorias das estruturas, que são utilizadas nos 
programas de cálculo estrutural, nessa parte do trabalho também serão 
abordados aspectos históricos da evolução da análise estrutural, e teorias 
atuais consolidadas, as quais possibilitam o cálculo de estruturas de edifícios. 
No capitulo 3 são descritas as características dos programas utilizados para a 
comparações entre resultados físicos obtidos em um edifício, cujas 
características podem ser visualizadas no anexo B. O capítulo 4 contempla a 
aplicação das questões abordadas no capitulo 2, porém aplicadas a estrutura 
do edifício proposta neste trabalho, que pode ser visualizada nos anexos. Por 
fim, no capitulo 6 estão explicitadas as conclusões tiradas deste estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1. Histórico do Concreto Armado e do Cálculo Estrutural 
 
No que se refere às teorias relacionadas ao tratamento matemático para 
obtenção dos esforços, temos que ela vem se desenvolvendo desde o século 
XVI, de modo que hoje os engenheiros de estruturas podem idealizar seus 
modelos de cálculo considerando inúmeras variáveis presentes em uma 
estrutura de concreto armado. 
Quanto à evolução do concreto armado, pode-se afirmar que sua história 
não começou no século passado, mas sim em conjunto com a evolução 
humana ao longo da história, obviamente para se chegar ao concreto armado 
tal qual como o conhecemos hoje, o homem precisou trilhar um longo caminho, 
que ainda não está concluído e isto também se aplica as fundamentações 
teóricas que estão por trás dos projetos de estruturas de concreto armado. 
 Quanto à evolução das teorias aplicadas na engenharia de estruturas, 
temos que em 1586, Simon Stevinus, Holanda, publica os fundamentos da 
estática gráfica em seu livro Mathematicorum Hipomnemata de Statica. 
 Em 1678 o inglês Robert Hooke, estabelece os fundamentos da 
elasticidade através de seus experimentos com molas. Em 1757, o matemático 
suíço Euler publica um trabalho estabelecendo uma fórmula para determinação 
da máxima carga que podia ser aplicada a uma coluna antes de ocorrência do 
fenômeno de flambagem. 
No ano de 1770, em Paris, a associação do material aço com pedra 
natural, aparece pela primeira vez na estrutura da Igreja de Santa Genoveva, 
(hoje Pantheon, em Paris, 1770). Segundo o arquiteto idealizador do projeto, 
Jacques Germain Soufflot, a intenção era de reunir nesta obra a leveza do 
gótico, um estilo consagrado na época, com a pureza da arquitetura grega. 
Existindo poucas colunas na fachada, era necessário executar grandes vigas 
capazes de efetuar a transferência das elevadas cargas da superestrutura para 
as fundações. Com o senso admirável de Rondelet foram executadas em pedra 
lavrada, verdadeiras vigas modernas de concreto armado, com barras 
longitudinais retas na zona de tração e barras transversais de cisalhamento. As 
barras longitudinais eram enfiadas em furos executados artesanalmente nas 
 
 
14 
 
pedras e os espaços vazios eram preenchidos com uma argamassa a base de
cal.
FIGURA 1 – ASSOÇIAÇÃO DE ELEMENTOS DE ROCHA COM BARRAS DE 
AÇO (TEMPLO FRANCES DO SÉCULO XVIII) 
FONTE: KAEFER (1998)
Em 1775, Charles Augustin Coulomb, um físico e engenheiro militar 
francês, estabelece os fundamentos da teoria de vigas afirmando que “a linha 
neutra de uma seção retangular homogênea se situa na metade da sua altura, 
a resultante das forças de tração atuantes de um lado do eixo neutro é igual à 
resultante de compressão do outro lado e a resistência dos esforços internos 
da viga deve equilibrar o momento introduzido pelas cargas externas”. 
Em 1850, Clapeyron, um engenheiro francês começa a utilizar um novo 
método para resolver o problema de vigas contínuas, o "Teorema dos Três 
Momentos". 
Entre 1850 e 1855, o francês Joseph Louis Lambot, realiza a primeira 
publicação sobre “Cimento Armado” (denominação do concreto armado até 
mais ou menos 1920). Presume-se que em 1850 Lambot efetuou as primeiras 
experiências práticas do efeito da introdução de ferragens em uma massa de 
concreto. Em 1954, Lambot já executava construções de "cimento armado" 
com diversas finalidades. Imerso em estudos sobre o concreto armado e 
 
 
15 
 
motivado por problemas com a manutenção de canoas de madeira utilizadas 
para lazer em um pequeno lago existente em sua propriedade em Miraval, no 
sul da França, Lambot tem a ideia de construir um barco de concreto. Nadamais lógico, pois o concreto é durável, requer pouca manutenção e resistente 
bem em meios aquáticos. Lambot empregou para a construção de sua canoa 
uma malha fina de barras finas de ferro (ou arame), entrelaçadas, entremeadas 
com barras mais grossas, usando essa malha fina ao mesmo tempo como 
gabarito para se ter o formato adequado do barco , para segurar a argamassa, 
dispensando a confecção de moldes e para evitar problemas com fissuras. Já 
em 1855 Lambot expõe o seu barco de concreto armado na Exposição Mundial 
de Paris e solicita a patente de seu projeto. No documento representativo do 
seu pedido de patente existe além da placa que corresponde à armação do 
barco. O barco exposto media aproximadamente 4 m de comprimento por 
1,30m de largura com paredes de aproximadamente 4 cm de espessura. 
Apesar de ser considerado por muitos como o pai do concreto armado, os 
experimentos de Lambot não tiveram muita repercussão. 
No mesmo período dos desenvolvimentos de Lambot 1854, William B. 
Wilkinson, um fabricante de gesso de paris e cimento romano, obtém a patente 
de um sistema de lajes nervuradas que demonstra o domínio dos princípios 
básicos de funcionamento do concreto armado ao dispor barras (ou cabos) de 
aço nas regiões tracionadas das vigas ou vigotas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
FIGURA 2 – DESENHO DO MODERNO SISTEMA DE WILIKINSON 
EXECUTADO ONZE ANOS APÓS A OBTENÇÃO DE SUA PATENTE 
FONTE: KAEFER (1998) 
 
Wilkinson percebeu que a rígidez da laje pode ser aumentada através da 
inserção de vazios (através de moldes) regularmente espaçados e separados 
por nervuras, onde cabos de aço eram colocados na sua porção inferior no 
meio do vão e subiam para a parte superior da viga nas proximidades dos 
apoios. A laje possuía um vão de aproximadamente 4 m em cada direção e 
uma malha de barras de aço era colocada na parte inferior da camada de 
concreto de 4 cm de espessura que cobria as nervuras. Em uma viga maior, 
observam-se as mesmas disposições utilizadas nas nervuras da laje. 
Devido à similaridade entre o método utilizado por Monier para construir 
seus vasos de concreto armado e por Lambot para a armação de sua canoa de 
concreto, levam a crer que o primeiro sofreu influência do segundo. Entretanto, 
existem divergências quanto a este fato. O mais certo é que Monier, um 
jardineiro, que fabricava vasos e tubos de concreto desde 1849 considerando 
seus vasos muito frágeis começa a mergulhar na massa de concreto uma 
malha de aço. Em 1867, Monier havia avançado tanto em seu método ao ponto 
de patenteá-lo e exibi-lo na Exposição de Paris daquele mesmo ano. A primeira 
extensão de sua patente parece ter sido para a construção de reservatórios de 
 
 
17 
 
água. Entre 1868 e 1873 executou primeiro um reservatório de 25 m³ e mais 
tarde outros dois com 180 m³ e 200 m³ (suportado por colunas), pode-se 
afirmar que Monier é considerado um dos grandes disseminadores da técnica 
de se construir com concreto armado. 
Em 1877, o inglês Thaddeus Hyatt, publica o “An Account of Some 
Experiments with Portland Cement Concrete Combined with Iron as a Building 
Material”. Na década de 1870, grande parte do conhecimento dos fundamentos 
estruturais do concreto armado parecia recair nos estudos de Hyatt, um 
fabricante de grades para calçada, que por causa de problemas políticos acaba 
sendo enviado para a França, onde toma contato com as primeiras 
experiências com o concreto armado. Entusiasmado, lança-se posteriormente a 
experimentar o concreto como nova maneira de construir painéis para calçadas 
em Londres. Seu artigo de 1877, ele reúne suas conclusões sobre seus 
ensaios. Os testes de Hyatt são considerados um sumário do "essencial" em 
que o uso do concreto armado é baseado hoje em dia. 
Entre as conclusões que Hyatt tirou de seus ensaios é importante mencionar as 
seguintes: 
1) O aço (ou ferro) não resiste bem ao fogo. 
2) O concreto deve ser considerado como um material de construção 
resistente ao fogo. 
3) Envolvendo-se totalmente o aço com uma camada suficientemente 
espessa de concreto obtém-se um material resistente ao fogo. 
4) A aderência entre aço e concreto é suficientemente forte para fazer 
com que a armadura posicionada na parte inferior da viga trabalhe em 
conjunto com o concreto comprimido da parte superior da viga 
5) O funcionamento conjunto do concreto com o ferro chato ou redondo 
é perfeito e constitui uma solução mais econômica do que com o uso de 
perfis como armadura. 
6) O coeficiente de dilatação térmica dos dois materiais é 
suficientemente igual, garantindo a resistência da combinação aço-
concreto quando submetida ao fogo ou ao congelamento. 
7) A relação entre os módulos de elasticidade deve ser adotada igual a 
20. 
 
 
18 
 
8) Concreto com ferro do lado tracionado presta-se não somente para 
estruturas de edificações como também para a construção de abrigos. 
Podese considerar que HYATT foi efetivamente o grande precursor do 
concreto armado e possivelmente o primeiro a compreender profundamente a 
necessidade de uma boa aderência entre os dois materiais e do 
posicionamento correto (nas áreas tracionadas) das barras de ferro para que 
este material pudesse colaborar eficientemente na resistência do conjunto 
concreto-aço. Apesar de toda sua genialidade a falta de patrocinadores para 
seus testes e restrições impostas por outras patentes impediram que Hyatt se 
beneficiasse de suas descobertas. 
 
 
FIGURA 3 – VIGAS DO ENSAIO REALIZADO POR HYATT, COM INDICAÇÃO 
DAS ARMADURAS DAS TRINCAS 
FONTE: KAEFER (1998) 
 
Em 1897, dá-se início do ensino formal do dimensionamento de 
estruturas de concreto armado, por Charles Rabut. Sendo que até o final do 
século XIX os avanços da teoria e da prática da construção de estruturas de 
concreto armado permaneciam muito restritos, pois haviam poucas publicações 
que disponibilizassem informações técnicas de um modo que pudesse ser 
empregado prontamente por engenheiros. Isto começa a mudar com a rápida 
proliferação de revistas tratando de temas relacionados com cimento e 
concreto entre 1890 e 1900 e na virada do século, a publicação de livros sobre 
a engenharia de concreto torna-se mais frequente, ao mesmo tempo em que os 
países começam a regulamentar o uso do concreto armado. Muitos continham 
 
 
19 
 
apenas a repetição de rotinas de publicações anteriores, mas muitos se tornam 
livros clássicos, traduzidos para diversas línguas como os trabalhos de Paul 
Christophe, Emil Mörsch, Buel e Hill. 
Em 1906, é publicada a normalização para o uso do concreto na França, 
uma norma com características liberais, expressando o desejo de encorajar as 
experiências e o avanço da tecnologia dos engenheiros franceses. Tensões 
máximas admissíveis para aço, ferro e diferentes tipos de concreto são 
estabelecidas em valores conservadores para a época, o que acabou gerando 
várias críticas na época. 
Em 1917, são publicadas as normas norte americanas para a utilização 
do concreto armado, que foram desenvolvidas nos Estados Unidos por uma 
junta, que incluía representantes do American Society for Testing and Materials 
e organizações dos engenheiros civis, engenheiros ferroviários e fabricantes de 
cimento. Tendo achado que os resultados e interpretações dos testes 
realizados até o momento eram inconclusivos, a junta americana decidiu 
instituir um programa de pesquisa, distribuindo recursos a 11 Universidades. 
Em 1903 começam sete anos de testes de laboratório seguidos de cinco anos 
de testes em edifícios reais. Apesar de todo este trabalho quando as normas 
são publicadas em 1917 acabam sofrendo duras críticas. 
Enfim,por meio deste breve histórico acerca da evolução das aplicações 
do concreto armado, e de suas teorias, nota-se que o concreto evoluiu muito 
desde os tempos de Roma. Atualmente a engenharia usa o concreto armado 
em campos muito diversos, em muitos casos sob ambientes extremamente 
agressivos. Para se adaptar aos novos e desafiadores usos, o homem criou 
uma infinidade de tipos de concretos, utilizando uma enorme gama de 
cimentos, agregados, adições, aditivos e formas de aplicação (armado, 
protendido, projetado,etc). Encontramos concreto em fundações de plataformas 
petrolíferas instaladas nos oceanos ou enterrado a centenas de metros abaixo 
da terra em fundações, túneis e minas a 452 m acima do solo em arranha-
céus. 
O grande desafio da tecnologia de concreto atualmente parece ser 
aumentar a durabilidade das estruturas, bem como recuperar estruturas 
danificadas e também em entender o complexo mecanismo químico e 
mecânicos. Para isto, uma nova geração de concretos está sendo 
 
 
20 
 
desenvolvida, métodos tradicionais de execução e cálculo de concreto estão 
sendo revistos, teorias não lineares e da mecânica do fraturamento estão 
também sendo desenvolvidas. 
 
2.2. Lajes 
 
Em termos gerais, em um sistema estrutural reticulado, a laje é o 
elemento estrutural que apresenta comportamento de placa, com as ações 
incidindo perpendicularmente ao seu plano, e também com função de chapa, 
com ações atuando longitudinalmente ao seu plano, onde geralmente essas 
ações são provenientes do vento. Da teoria das estruturas, e mesmo de 
consideração geométricas, considera-se a laje como sendo um elemento de 
superfície, em que uma dimensão, normalmente a espessura, é relativamente 
pequena em face às demais, podendo receber as denominações de placa e 
chapa, conforme descrito anteriormente, e casca, cuja forma é não plana. As 
lajes de concreto armado podem ser concebidas de diferentes formas, podendo 
ser maciças, nervuradas, pré-moldadas, treliçadas, e do tipo lisa e cogumelo 
(apoiadas diretamente sobre pilares e pilares com capitéis, respectivamente). 
No que tange as lajes maciças, temos que o dimensionamento das 
armaduras longitudinais deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes 
de cálculo que superem ou igualem a envoltória dos esforços solicitantes 
determinados por meio da análise estrutural. A análise simples dos esforços 
resistentes de cálculo podem levar em conta algumas hipóteses básicas, 
encontradas na NBR 6118/2003, referenciadas no anexo A. 
 Os programas computacionais de desenvolvimento de projeto de 
estruturas de concreto armado podem modelar as lajes por meio de processos 
simplificados (Marcus, Czerny), grelhas lineares ou não lineares e elementos 
finitos, sendo que nestes dois últimos é possível realizar o cálculo 
considerando-se as aberturas de fissuras no concreto. 
Ainda segundo SUSSEKIND (1984), as estruturas de concreto devem ser 
concebidas de modo a poderem resistir às ações horizontais e verticais que 
possam estar atuantes ao longo de sua existência e que, além disto, 
independente do número de pavimentos e das dimensões em planta, seus 
sistemas de contraventamento devem ser estudados e adequadamente 
 
 
21 
 
calculados. SUSSEKIND propôs um modelo para análise de estruturas de 
edifícios, onde as lajes são consideradas com rígidez infinita no plano 
horizontal e a repartição das ações horizontais entre os sistemas de 
contraventamento é feita em função da rígidez de cada um deles. Porém, 
nenhuma comparação de resultados entre modelos distintos que representem 
um mesmo sistema estrutural foi ainda realizada. 
 
2.3. Vigas 
 
De modo geral as vigas em uma estrutura reticulada de concreto armado 
são responsáveis por receber as ações das lajes e distribuí-las aos pilares. São 
elementos estruturais que podem ser considerados como barras, e que podem 
estar submetidas a esforços de flexão, compressão, tração, cisalhamento e 
torção, sendo que o dimensionamento das armaduras da viga deve levar em 
conta todos esses esforços. No item 18.3 da NBR 6118/03, estão contidas 
diversas considerações a serem levadas em conta para o cálculo das 
armaduras longitudinais (compressão e tração), transversais (esforços 
cortantes), armaduras para combater a torção, além de armaduras de pele 
(combate a fissuração), suspensão, dentre outras. 
 
2.4. Pilares 
 
 Por definição da NBR 6118, em seu tópico 14.4.1.2, os pilares são 
elementos lineares de eixo reto e usualmente dispostos na vertical, em que as 
forças normais de compressão são ponderáveis. 
 De maneira geral, os pilares têm uma importância fundamental para a 
estrutura. Eles servem de apoio para as vigas, transmitem as cargas para as 
fundações e também participam do sistema estrutural de contraventamento. É 
preciso tomar bastante cuidado no seu projeto, no detalhamento das suas 
armaduras e também durante a sua execução, pois estes elementos podem 
romper-se por esmagamento do concreto de forma brusca e sem aviso prévio, 
pois qualquer falha na execução ou mesmo um simples erro de cálculo poderá 
provocar a queda de uma edificação. 
 
 
22 
 
 A escolha do modelo de cálculo para o pilar vai depender do tipo de 
edificação e dos carregamentos, bem como das suas dimensões. Nas estruturas 
esbeltas e naquelas em que a ação do vento é considerável, o pilar pode ser 
considerado como um elemento de um pórtico tridimensional ou bidimensional. 
Nos edifícios usuais em que a ação do vento as vezes é desprezível, pode-se 
usar um modelo de elemento contínuo vertical apoiado nas vigas do pavimento 
ou de um elemento isolado. 
 
 
FIGURA 4 – MODELO DE PÓRTICO ESPACIAL, PÓRTICO PLANO E 
ELEMENTO CONTÍNUO PARA ESTUDO DE ESFORÇOS EM PILARES. 
FONTE: KIMURA (2007) 
 
 Os pilares podem ser classificados de acordo com sua função estrutural, 
conforme a seguir: 
• pilares de contraventamento - são elementos rígidos que garantem que os 
nós da estrutura do edifício fiquem praticamente indeslocáveis. Podem ser 
considerados de contraventamento, os pilares rígidos (e as paredes estruturais) 
em torno dos elevadores e escadas. 
• pilares contraventados - são pilares pouco rígidos, mas com suas 
extremidades praticamente indeslocáveis devido ao efeito dos pilares de 
contraventamento. Estes pilares contraventados podem ser calculados 
isoladamente no trecho entre dois pisos. 
 
 
23 
 
A classificação também pode ser feita em função de seu posicionamento na 
planta arquitetônica do edifício, conforme a seguir 
• Pilares internos - localizados no interior do pavimento. 
• Pilares de extremidade - localizados nos contornos do pavimento. 
• Pilares de canto - localizados no canto do pavimento. 
Em termos mecânicos, os pilares de uma estrutura podem ainda ser 
classificados de acordo com o seu índice de esbeltez, podendo ser: 
• Pilares curtos (λ ≤ 40). 
• Pilares médios (40 < λ ≤ 80). 
• Pilares esbeltos (80 < λ ≤ 140). 
• Pilares muito esbeltos (140 < λ ≤ 200). 
As dimensões dos pilares devem respeitar os valores mínimos dados pela 
NBR 6118/03, referenciada no anexo A. 
Quanto às cargas que os pilares de cada pavimento recebem, temos que 
elas podem ser calculadas através das reações das vigas (métodos 
simplificados), e da grelha ou do pórtico, dependendo do modelo estrutural 
adotado. Deverá ser considerada nos cálculos dos pilares uma excentricidade 
que pode levar em conta a incerteza da localização da força normal e um 
possível desvio do eixo da peça durante a sua construção, em relação à 
posição prevista no projeto. 
 
2.5. Propriedades dos Materiais 
 
As propriedades dos materiais utilizadosem estruturas de concreto 
armado são questões importantes que devem ser conhecidas, tais como 
módulo de elasticidade, resistência características, coeficientes de dilatação 
térmica, dentre outros. Nos tópicos seguintes serão descritas algumas das 
mais importantes propriedades dos materiais contemplados pela NBR 6118/03. 
 
2.5.1. Propriedades do Concreto 
 
 Material plástico, composto por uma mistura de cimento, areia, pedra e 
água, que quando misturado pode ser moldado, e que posteriormente passa 
 
 
24 
 
por um processo de cura, e adquire resistência para absorver os esforços 
solicitantes. 
 
2.5.1.1. Massa Específica 
 
 Segundo a NBR 6118/2003, item 8.2.2, há concretos de massa 
específica normal, que são aqueles que, depois de secos em estufa, tem 
massa específica (ρc) compreendida entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3. 
 Se a massa específica real não for conhecida, para efeito de cálculo, 
pode-se adotar para o concreto simples o valor 2400 kg/m3 e para concreto 
armado 2500 kg/m3. 
 Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se 
considerar para o valor da massa específica do concreto armado aquela do 
concreto simples acrescida de 100 kg/m3 a 150 kg/m3. 
 
2.5.1.2. Coeficiente de dilatação térmica 
 
 A NBR 6118/03, item 8.2.3 afirma que para o efeito de análise estrutural, 
o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5/ 
oC. 
 
2.5.1.3. Resistência à compressão 
 
 Segundo a NBR 6118/2003, item 8.2.4, as prescrições desta norma 
referem-se a resistências à compressão obtida em ensaios de cilindros 
moldados segundo a ABNT NBR 5738, realizados de acordo com a ABNT 
5739. 
 Quando não for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 
28 d. A estimativa da resistência à compressão média fcmj, corresponde a uma 
resistência fckj especificada, deve ser feita conforme indicado na ABNT NBR 
12655. 
 A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida 
através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses 
 
 
25 
 
resultados experimentais podem-se adotar, em caráter orientativo, os valores 
indicados em 12.3.3. 
 
2.5.1.4. Resistência à tração 
 
 Conforme a NBR 6118/2003, item 8.2.5, a resistência à tração indireta 
fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios 
realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, 
respectivamente. 
 A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 
0,7 fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o 
seu valor médio ou característico por meio das equações seguintes: 
 
fct,sp=0,3 fck2/3 
 
 fctk,inf=0,7 fct,m (1) 
 
fctk,sup=1,3 fct,m 
 
onde: fct,m e fck são expressos em megapascal. 
 
Sendo fckj ≥ MPa, estas expressões podem também ser usados para idades 
diferentes de 28 dias. 
 
2.5.1.5. Módulo de elasticidade 
 
 Segundo a NBR 6118/2003, item 8.2.8, o módulo de elasticidade deve 
ser obtido segundo ensaio descrito na ABNT 8522, sendo considerado nesta 
norma o módulo de deformação tangente inicial corresponde a 30% fc, ou outra 
tensão especificada em projeto. Quando não forem feitos ensaios e não 
existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, 
pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão. 
 
Eci=5600 fck1/2 (2) 
 
 
26 
 
 
Onde: Eci e fck são dados em megapascal. 
 
O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 d pode também ser avaliado 
através dessa expressão, substituindo-se fck por fckj. 
 
Quando for o caso, é esse módulo de elasticidade a ser especificado em 
projeto e controlado em obra. 
 
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas 
de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e 
verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: 
 
Eci= 0,85 Eci (3) 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção 
transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração é à 
compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs). 
 
Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das 
perdas de protensão, pode ser utilixado em projeto o módulo de deformação 
tangencial (Eci). 
 
2.5.1.6. Efeito de Rusch 
 
Uma das características do concreto é a perda da sua resistência para 
cargas de longa duração. Isso significa que com as mesmas cargas aplicadas 
com a mesma duração de carregamento, é maior a resistência do concreto 
carregado progressivamente que o concreto carregado rapidamente e mantido 
sob carga constante. 
Segundo LINDQUIST (2010), a relação entre a resistência obtida em um 
ensaio lento e a resistência obtida num ensaio rápido, sendo ambos com a 
mesma idade, é consistentemente independente da qualidade do concreto e da 
idade do início de carregamento. Esta relação pode ser admitida com a 
 
 
27 
 
tendência de ficar entre os limites 0,75 e 0,80, sendo considerado igual ao 
primeiro limite. Portanto, para consideração do efeito Rusch, o concreto deve 
ser considerado com um fator de redução de 0,75. Este valor é modificado e 
incluído coeficiente α. 
 
2.5.1.7. Coeficiente do Poisson e módulo de elasticidade transversal 
 
 Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, e tensões de tração 
menores que fct, o coeficiente de Poisson νpode ser tomado como igual a 0,2 
e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a 0,4 Ecs. (ABNT NBR 
6118/2003, item 8.2.9). 
 Segundo MARINO (2006), a equação clássica da Resistência dos 
Materiais para determinação do módulo de elasticidade transversal G não é 
seguida a risca pela norma brasileira 6118/2003. Para se obter Gc igual a 0,4 
Ecs, seria necessária a imposição de um coeficiente de Poisson igual a 0,25, ou 
seja: 
 
 (4) 
 
 
 
2.5.1.8. Diagrama tensão- deformação 
 
• Compressão: 
Para tensões de compressão menores de 0,5 fc, pode-se admitir uma 
relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de 
elasticidade o valor secante dado pela expressão constante em 8.2.8. (ABNT 
NBR 6118/2003, item 8.2.10.1) 
Para análise no estado limite último, podem ser empregados o diagrama 
tensão-deformação conforme a figura : 
 
 
28 
 
FIGURA 5 – DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
FONTE: NBR 6118 (2003) 
• Tração
Para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-
deformação bilinear de tração, indicado na figura: (ABNT NBR 6118, item 
8.2.10.2).
FIGURA 6 – DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO (TRAÇÃO)
FONTE: NBR 6110 (2003)
 
 
29 
 
2.5.2. Aço 
 
O aço é uma liga metálica formada essencialmente por ferro e carbono, 
que adicionado ao concreto, constitui o concreto armado. 
 
2.5.2.1. Categorias de aço 
 
Segundo a NBR 6118/2003, item 8.3.1, nos projetos de estruturas de 
concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela ABNT NBR 7480 com 
o valor característico da resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-
50 e CA-60. Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os 
estabelecidos na ABNT NBR 7480. 
 
2.5.2.2. Massa específica 
 
Pode-se adotar para massa específica do aço de armadura passiva o 
valor de 7850 kg/m³. (ABNT NBR 6118, item 8.3.3) 
 
2.5.2.3. Coeficiente de dilatação térmica 
 
O valor 10-5/°C pode ser consideradopara o coeficiente de dilatação 
térmica do aço, para intervalos de temperatura entre – 20°C e 150°C. (ABNT 
NBR 6118, item 8.3.4) 
 
2.5.2.4. Módulo de elasticidade 
 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de 
elasticidade do aço pode ser admitido igual a 210 GPa. (ABNT NBR 6118, item 
8.3.5) 
 
2.5.2.5. Resistência à tração 
 
A resistência de cálculo das barras à tração é definida como a tensão no 
patamar de escoamento fyk, dividida pelo coeficiente de minoração ϫs portanto: 
 
 
 
30 
 
 (5) 
2.5.2.6. Diagrama tensão- deformação
 
Segundo a NBR 6118/2003, item 8.3.6, o diagrama tensão-deformação 
do aço, os valores característicos da resistência ao escoamento fyk, da 
resistência à tração fstk e da deformação na ruptura εuk devem ser obtidos de 
ensaios de tração realizados segundo a ABNT NBR ISO 6892. O valor de fyk
para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente 
à deformação permanente de 0,2%.
Para cálculo nos Estados Limite de Serviço pode-ser utilizar o diagrama 
simplificado mostrando na figura, para os aços com ou sem patamar de 
escoamento.
 FIGURA 7 – DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO PARA AÇOS DE 
ARMADURA PASSIVA 
FONTE: NBR 6118 (2003)
 
 
31 
 
2.6. Análises estruturais
 
Segundo CARVALHO (1994), a definição de uma estrutura em concreto 
armado consiste inicialmente em uma atividade iterativa, ou seja, uma vez 
arbitradas às posições dos elementos estruturais (pilares, vigas e lajes) e suas 
dimensões, pode-se calcular os esforços e deslocamentos. Analisando estes 
dados podem-se introduzir elementos, cancelar, mudar dimensões, pré-
dimensionar a armadura e retomar o processo de cálculo. Enfim, sem dúvida 
nenhuma, o modelo de cálculo empregado é de suma importância na definição
da estrutura de pavimento e acaba sendo usado pelo projetista na sua própria 
formação de experiência no lançamento da estrutura. 
2.6.1. Análise linear
 
A análise linear é o primeiro tipo de análise que é apresentado ao 
engenheiro na graduação. Nesse tipo de análise considera-se que os materiais 
que constituem a estrutura assumem comportamento elástico-linear.
A elasticidade é definida como a propriedade que o um elemento tem de se 
deformar ao receber ações externas e assim que cessadas as ações, o 
elemento voltar a sua configuração inicial. Ter um comportamento elástico-
linear significa que o material tem propriedades elásticas e que sua deformação 
é proporcional à intensidade das ações externas. 
 
FIGURA 8 – COMPORTAMENTO LINEAR PARA OBTENÇÃO DE 
ESFORÇOS DA ESTRUTURA
FONTE: KIMURA (2007)
 
 
32 
 
Conforme mencionado no inicio deste trabalho, em 1676 o físico inglês 
Robert Hooke foi o primeiro a estabelecer a relação entre tensão e deformação, 
estabelecendo o que hoje conhecemos como “Lei de Hooke” onde:
σ = E x ε (6)
sendo:
σ = tensão;
ε = deformação;
E = módulo de elasticidade.
O módulo de elasticidade é avaliado por meio do diagrama tensão x 
deformação do concreto (σ x ε). Devido a não linearidade do diagrama σ x ε 
(não linearidade física), o valor do módulo de elasticidade pode ser calculado
com infinitos valores. Porém, tem destaque o módulo de elasticidade tangente, 
dado pela tangente do ângulo (α’) formado por uma reta tangente à curva do 
diagrama σ x ε. Outro módulo também importante é o módulo de elasticidade 
secante, dado pela tangente do ângulo (α’’) formado pela reta secante que 
passa por um ponto A do diagrama. Conforme a figura 9.
 
FIGURA 9 – DETERMINAÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE DO 
CONCRETO NA COMPRESSÃO 
FONTE: FONTES (2005)
 
 
33 
 
A Lei de Hooke é válida para deformações abaixo do limite elástico do 
material. O comportamento elástico dos materiais segue o regime elástico na 
lei de Hooke até um determinado valor de força, após este valor, a relação de 
proporcionalidade deixa de ser definida, sendo necessário recorrer a outro tipo 
de análise. Os resultados desta análise podem ser empregados na verificação 
dos Estados Limites de Serviço (ELS). 
 
2.6.2. Análise linear com redistribuição 
 
O concreto de um edifício na vida real sob determinadas condições e em 
certas regiões da estrutura, pode fissurar e o aço atingir o seu patamar 
escoamento, quando isto ocorre à rígidez dos elementos se alteram, fazendo 
com que os esforços migrem das regiões menos rígidas para as mais rígidas, 
desta forma temos que o esforço migra de uma região para outra, ou seja, se 
redistribui, entretanto devemos saber que este esforço nunca desaparece, pois 
isto é reflexo das características do concreto armado, que é um material 
heterogêneo e com comportamento não linear, ao contrário do proposto por 
Hooke. A análise linear com redistribuição consiste em corrigir os valores de 
rígidez a flexão e a torção dos elementos presentes nos modelos. 
 Uma vez realizada a análise linear de uma estrutura, é possível proceder 
a uma redistribuição dos esforços calculados, decorrente da variação de rígidez 
dos elementos estruturais. A fissuração, e a consequente entrada no Estádio II, 
de determinadas seções transversais, provoca um remanejamento dos 
esforços solicitantes, para regiões de maior rígidez. É o caso de vigas 
contínuas, por exemplo. Ao aumentar-se progressivamente o carregamento de 
uma viga contínua, fissuras aparecerão primeiramente nos apoios, onde os 
momentos fletores são maiores. A região do apoio entra no Estádio II quando o 
concreto tracionado deixa de contribuir na resistência, por ação das fissuras. 
Ainda sob o carregamento crescente, nota-se um aumento mais rápido dos 
momentos fletores nos vãos, que ainda estão no Estádio I (seção não 
fissurada), do que nos apoios. Esse processo continua até a entrada também 
da região do vão no Estádio II (FONTES, 2005). 
 Conforme o item 14.5.3 da NBR 6118/2003, na análise linear com 
redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma análise linear, são 
 
 
34 
 
redistribuídos na estrutura, para combinações de carregamento do ELU – 
Estado Limite Último. Todos os esforços internos devem ser recalculados de 
modo a garantir o equilíbrio de cada um dos elementos estruturais e da 
estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição devem ser considerados 
em todos os aspectos do projeto estrutural, inclusive as condições de 
ancoragem e corte de armaduras e os esforços a ancorar. 
 
2.6.3. Análise plástica 
 
Conforme o item 14.5.4 da NBR 6118/2003, a análise estrutural é 
denominada plástica quando as não linearidades puderem ser consideradas, 
admitindo-se materiais de comportamento rígido plástico ou elasto plástico 
perfeito. 
A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando: 
a) Se considerem os efeitos de segunda ordem global; 
b) Não houver suficiente ductilidade para que as configurações 
adotadas sejam atingidas. 
Segundo a lei de Hooke o material plástico é aquele que aplicado uma 
carga o material perde sua capacidade de retornar a sua forma original, onde 
ultrapassou a tensão limite ou de escoamento, as deformações tendem a ser 
tornar permanentes. 
Em uma análise plástica, admite-se que o concreto armado trabalha na 
iminência de ruptura, ou seja, que ele apresenta um comportamento 
correspondente a uma fase posterior à da análise não linear de seu diagrama 
de tensão-deformação, caracterizada por escoamento de armaduras e pelo 
progresso de linhas de plastificação ao longo da sua estrutura. Admite-se, pois, 
neste tipo de análise, um comportamento rígido-plásticoperfeito ou elasto- 
plástico perfeito para concreto armado, permitindo uma determinação 
adequada do valor da carga máxima que ele pode ser submetido numa 
solicitação, carga esta conhecida como carga de ruína ou carga última. 
(DUARTE, 1998). 
 
 
 
 
35 
 
2.6.4. Análise não linear 
 
 Conforme exposto no tópico 14.5.5 da NBR 6118/03, em uma análise 
não linear é considerado o comportamento não linear dos materiais. É 
importante que toda a geometria da estrutura, e suas armaduras, sejam 
conhecidas para que a análise não linear seja efetuada, visto que as respostas 
obtidas destas análises dependem de como a estrutura foi armada. A NBR 
6118/03 traz a observação de que as condições de equilíbrio, de 
compatibilidade e de dutilidade devem ser satisfeitas, sendo que as análises 
não lineares podem ser utilizadas para determinação de Estado Limite Último e 
Estado Limite de Serviço. 
 Conforme KIMURA (2007), os sistemas computacionais dispõem de 
inúmeros tipos de análises não lineares, tornando fundamental que o 
engenheiro estrutural tenha noções, ainda que superficiais, da influencia dos 
seus efeitos nos resultados obtidos no processo. De forma simplificada, pode 
se dizer que uma análise não linear é um cálculo no qual a resposta da 
estrutura, sejam em deslocamentos, esforços ou tensões, possui um 
comportamento não linear isto é, desproporcional à medida que um 
carregamento é aplicado. Essa definição é mais clara por meio das figuras 10a 
e 10b, onde é possível visualizar melhor o comportamento não linear de uma 
estrutura, o gráfico da ação x deformação (P x d) possui em seu trecho inicial 
uma reta, que indica que P e d são proporcionais (inicio do incremento da 
análise). Esta proporção indica que quando se opta pela análise linear, o 
módulo de elasticidade é constante e definido, figura 10a. Na Figura 10b 
apresenta-se a curva ação x deformação (P x d) onde se considera o 
comportamento não linear da estrutura. Percebe-se que ao aumentar a ação P, 
aumenta-se também a deformação d, mas sem existir uma proporção. Neste 
caso, não se tem um módulo de elasticidade definido. 
 
 
36 
 
FIGURA 10A – COMPORTAMENTO LINEAR DE UM PÓRTICO PLANO 
FONTE: KIMURA (2007)
FIGURA 10B – COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE UM PÓRTICO PLANO 
FONTE: KIMURA (2007) 
Alguns fatores que tornam as análises não lineares muito importantes no 
projeto de estruturas de edifícios de concreto armado são: a consideração do
comportamento essencialmente não linear do concreto armado, a consideração 
de não linearidades físicas e geométricas da estrutura.
O tempo de processamento de uma análise não linear torna-se maior do 
que o de uma análise linear. Conforme KIMURA, nos tempos passados isso 
onerava demasiadamente a elaboração de um projeto, no entanto, hoje, devido 
ao grande avanço do desempenho dos computadores, este problema deixou 
de existir.
 
 
37 
 
Existem dois fatores principais que são responsáveis pelo surgimento de 
comportamento não linear de uma estrutura à medida que o carregamento é 
aplicado: 
• Alteração das propriedades dos materiais que compõe a 
estrutura, designada “não linearidade física”. 
• Alteração da geometria da estrutura, designada “não linearidade 
geométrica”. 
Citando KIMURA (2007), a não linearidade física está relacionada ao 
comportamento do material empregado na estrutura. O comportamento do 
concreto fica bastante evidente por meio da observação do diagrama tensão x 
deformação realizados em ensaios laboratoriais com corpos de prova de 
concreto. É fácil perceber que a relação entre tensão e deformação não é 
linear, o que significa que, à medida que o carregamento é adicionado e as 
tensões aumentam, a resposta do concreto se modifica de forma 
desproporcional. Outra variável importante em uma análise não linear é a 
fissuração do concreto a esforços de tração, esse efeito é o que possui grande 
responsabilidade pelo comportamento não linear das estruturas. 
A não linearidade geométrica gera uma resposta não linear por parte da 
estrutura, sendo assim esse efeito é gerado devido às alterações 
(deformações) da geometria dos elementos estruturais à medida que um 
carregamento é aplicado ao edifício, à consideração do equilíbrio da estrutura 
levando-se em conta sua geometria deformada, é denominada como análise de 
segunda ordem, cujos efeitos são a base para a não linearidade geométrica. 
Conforme KIMURA, na pratica atual a consideração da não linearidade 
física de forma aproximada é utilizada na avaliação da estabilidade global de 
edifícios de concreto. 
 
2.6.5. Análise através de modelos físicos 
 
Consiste em modelos físicos de concreto em escala reduzida ou real, de 
modo a verificar a comportamento da estrutura, este tipo de análise é 
apropriado quando os modelos de cálculos são insuficientes para modelar a 
estrutural real. O material do modelo (estrutura reduzida) não precisa ser 
necessariamente o mesmo do protótipo (estrutura real), mas que tenham o 
 
 
38 
 
mesmo comportamento e dimensões em escala. Conforme a norma NBR 
6118/2003, para a análise da estrutura dos modelos devem ser obtidos 
resultados para todos os estados limites últimos e de serviços. 
 
2.7. Modelos estruturais 
 
Os modelos estruturais são aqueles que visam simular as características 
condicionantes da estrutura, tais como condições de contorno, esforços, 
ligações entre os elementos estruturais e discretização dos elementos 
estruturais. 
 
2.7.1. Modelo de vigas contínuas 
 
 Conforme CARVALHO (1994), em seus estudos acerca de teorias das 
estruturas, a determinação dos esforços, deslocamentos e armadura de um 
pavimento de edifício, que possua vigas, pode ser realizada classicamente 
através da análise individual dos elementos que se supõe constituí-lo. Desta 
forma, quando o sistema é constituído de lajes e vigas, analisam-se 
isoladamente as placas (lajes) apoiadas nos seus contornos em vigas. Estas 
por sua vez são consideradas indeslocáveis na direção vertical, devido ao fato 
de possuírem rígidez bem superior às das placas. Supõe-se que as vigas 
estejam apoiadas em pilares considerados indeformáveis na direção vertical. 
Assim, as principais hipóteses simplificadoras empregadas neste procedimento 
são: 
1. As placas são constituídas de material elástico, isótropos, lineares 
e tem pequenos deslocamentos; 
2. A rotação nos contornos da placa ou é livre (apoio simples), ou é 
totalmente impedida (engaste); 
3. A ação das placas nas vigas de contorno se faz somente através 
de forças verticais, não havendo transmissão de momentos de torção 
nas vigas; 
4. Considera-se também, usualmente, que as ações da placa nas 
vigas são uniformemente distribuídas e que não há transmissão de 
 
 
39 
 
reação direta para o pilar, ou seja, as cargas para chegarem aos pilares 
devem passar pelas vigas; 
5. Para o cálculo das placas, consideram-se as vigas no seu 
contorno, indeslocáveis na direção vertical; 
6. Considera-se que os pilares são elementos mais rígidos à 
deformação vertical do que as vigas, funcionando assim como apoios 
indeslocáveis na direção vertical; 
7. Considera-se que os pilares são elementos mais rígidos à 
deformação vertical do que as vigas, funcionando dessa forma como 
apoios indeslocáveis na direção vertical; 
Na primeira hipótese, ao se considerar o material linear, e que a 
estrutura só tem deslocamentos pequenos, estão sendo consideradas a 
linearidades físicas e geométricas da estrutura. 
 Citando CARVALHO, o uso de técnicas conservadoras baseadas na 
subdivisão dos sistemas estruturais, com bastantes simplificações, pode 
conduzir, para algunstipos de estruturas e solicitações, a valores 
superestimados de esforços, o que evita uma maior economia de material. A 
situação mais grave é quando, pelo uso das mesmas técnicas, chega-se a 
resultados inferiores aos que ocorrem quando a estrutura está em serviço. 
Nestes casos, embora possa não haver risco de colapso, pode ocorrer uma 
redução no coeficiente de segurança. 
 
2.7.2. Pórticos planos 
 
São estruturas idealizadas por barras não alinhadas e coplanares, é a 
associação entre vigas e pilares, com carregamentos atuantes no mesmo 
plano. Os pórticos enrijecidos, são utilizados nos edifícios para melhorar sua 
estabilidade, pois apresentam barras diagonais que prendem um nó do pórtico 
ao outro, tornando-se assim indeslocáveis. Para modelar a estrutura através de 
pórticos planos, os pilares e vigas devem estar alinhados para formar os vários 
pórticos componentes da estrutura, entretanto esta associação de pórticos fica 
restrita a edifícios simétricos, quanto à geometria e carregamento. 
 
 
 
40 
 
FIGURA 11 – MODELO DE PÓRTICO PLANO
FONTE: KIMURA (2007)
FIGURA 12 - ASSOCIAÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS EM DUAS DIREÇÕES
FONTE: GUERRA (2009)
 
FIGURA 13 – PÓRTICO PLANO ENRIJECIDO 
FONTE: CARVALHO (1994) 
 
 
41 
 
No pórtico plano, cada nó de uma barra possui três graus de liberdade: 
duas translações (direção x e y) e uma torção (em torno do eixo z). Como 
podemos ver na Figura 14. Com os graus de liberdade podemos obter os 
esforços solicitantes (força normal, força cortante e momento fletor). No pórtico 
plano como as cargas atuam no mesmo plano não podemos calcular os 
momentos torsores. Os nós, pontos de interseção dos elementos, pode,
possuir ligações rígidas, semirrígidas ou flexíveis.
FIGURA 14 – GRAUS DE LIBERDADE DE UM NÓ DE PÓRTICO PLANO 
FONTE: KIMURA (2007)
No cálculo do pórtico plano as lajes não são consideradas, para isto elas 
devem ser calculadas por outro método (Teoria da Elasticidade, analogia de 
grelha, elementos finitos, Czerny, Marcus, etc.). As lajes são usualmente 
consideradas como diafragmas rígidos, que são elementos capazes de 
compatibilizar a resposta horizontal em todos os pontos pertencentes a um piso 
de forma equivalente. Para que as lajes sejam consideradas no pórtico plano, 
podemos calcular as reações de apoio de lajes, conforme o item 14.7.6.1 da 
NBR 6118/2003, onde se permite calcular as reações de apoio de lajes 
retangulares sob carregamento uniformemente distribuído considerando-se, 
para cada apoio, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
⎯ 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
⎯60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado;
⎯ 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
 
 
42 
 
Como podemos ver na figura 15, as cargas da laje são distribuída nas 
vigas por áreas de influência (ou telhados), conforme o item 14.7.6.1 da NBR 
6118/2003.
FIGURA 15 – DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS PARA O PÓRTICO PLANO 
FONTE: TQS INFORMÁTICA (2010)
2.7.3. Pórticos espaciais
 
Os Pórticos Espaciais são idealizações de estruturas de barras 
distribuídas no espaço, geralmente formando quadros fechados, que podem 
receber carregamentos em qualquer direção, o que possibilita a avaliação 
global da estrutura, formada por vigas, pilares e lajes.
FIGURA 16 – MODELO DE PÓRTICO ESPACIAL
FONTE: KIMURA (2007)
 
 
43 
 
No pórtico espacial, cada nó de uma barra possui seis graus de 
liberdade: três translações (nas direções x, y e z) e três rotações (em torno dos 
eixos x, y e z). Como podemos ver na Figura 17, com os graus de liberdade 
podemos obter os esforços solicitantes (força normal, força cortante, momentos 
fletor e momento torsor). Diferente do pórtico plano onde as cargas atuam no 
mesmo plano, no pórtico espacial como as cargas atuam em qualquer direção, 
sendo que podemos calcular até os momentos torsores.
FIGURA 17 - GRAUS DE LIBERDADE DE UM NÓ DE PÓRTICO ESPACIAL 
FONTE: KIMURA (2007) 
Como no pórtico plano, as lajes usualmente não estão presentes no 
modelo de pórtico espacial, pois são tratadas como elemento de grande rígidez
no plano horizontal, visto que as lajes são elementos capazes de compatibilizar 
a resposta da estrutura em todos os pontos pertencentes a um piso de forma 
equivalente. Por outro lado vem sendo muito utilizado o modelo de pórtico 
plano para a análise de pavimentos inteiros (vigas + lajes), pois se torna 
possível avaliar a distribuição dos esforços horizontais oriundos das ações 
como retração e protensão.
 
2.7.4. Modelo de grelhas
 
Conforme a NBR 6118/03, tópico 14.6.7.2, os pavimentos dos edifícios 
podem ser modelados como grelhas, para estudo das cargas verticais, 
considerando-se a rigidez à flexão dos pilares de maneira análoga à que foi 
prescrita para as vigas contínuas. De maneira aproximada, nas grelhas (e 
 
 
44 
 
também nos pórticos espaciais), pode-se reduzir a rígidez à torção das vigas 
por fissuração utilizando-se 15% da rígidez elástica. 
 Segundo CARVALHO (1994), o modelo de grelha é um procedimento 
simples que pode ser usado para o cálculo de esforços e deslocamentos de 
pavimentos de edifícios, desde que não sejam consideradas as 
desproporcionalidades presentes na estrutura (não linearidades). 
 Citando CARVALHO (1994), o procedimento consiste em substituir a 
placa (laje) por uma malha equivalente de vigas (grelha equivalente). O 
conceito pode ser estendido para o caso de placas que se apoiam diretamente 
em pilares. No caso de estruturas reticuladas há também a possibilidade do 
uso de grelhas, conforme ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 18 – (A) PLANTA DE UM PAVIMENTO HIPOTÉTICO COM VIGAS E 
LAJES. (B) DISCRETIZAÇÃO DO PAVIMENTO POR MEIO DE GRELHA 
ONDE OS PILARES FUNCIONAM COMO APOIO SIMPLES 
FONTE: CARVALHO (1994) 
 
A composição da grelha se dá por meio de estruturas planas reticuladas 
que recebem ações perpendiculares ao seu plano. Em cada cruzamento entre 
os elementos reticulados (barras) é definido um nó que possui três graus de 
liberdade: translação vertical e duas rotações no plano. 
 
 
45 
 
FIGURA 19 – GRAUS DE LIBERDADE EXISTENTES NO NÓ 
FONTE: KIMURA (2007)
Existe a possibilidade do cálculo das grelhas sem a consideração das 
lajes, denominada de grelha somente de vigas, onde a análise é feita por 
processos aproximados. 
Conforme KIMURA (2007), cada barra do modelo possui uma seção 
(áreas, inércias) e um material (módulos de elasticidade longitudinal e 
transversal), que são definidos de acordo com a geometria (seção transversal) 
e o material (concreto) da viga, respectivamente. Por meio desse modelo não é 
possível analisar os efeitos causados por ações horizontais no edifício (ex: 
vento, empuxo). Na prática atual, o modelo de grelha somente vigas ainda é 
utilizado na análise das vigas de um pavimento, mas teve seu uso praticamente 
substituído pela análise de grelha de vigas e lajes.
Citando KIMURA (2007), a análise por meio de grelhas com vigas e lajes 
trata-se de um modelo direcionado para a análise de pavimentos. É composto 
por elementos lineares dispostos no plano horizontal do piso que simulam as 
vigas e as lajes, formando uma malha de barras submetida também a cargas 
verticais. Neste modelo cada painel de laje é subdividido em diversos 
alinhamentos de barras, usualmente posicionadas na direção principal e 
secundária da mesma. Essa discretização faz com que cada barra represente 
um trecho do pavimento. Usualmente adotam-se barras de laje com 
comprimento máximo igual a 50 cm. Em regiões comgrande concentração de 
esforços, e que necessitam de uma análise mais detalhada, pode-se refinar a 
subdivisão gerando uma malha mais densa nesses locais.
 
 
46 
 
FIGURA 20 – DISCRETIZAÇÃO DO PÓRTICO POR MEIO DE GRELHAS 
FONTE: KIMURA (2007)
Citando KIMURA (2007), a interação entre todas as lajes e vigas do 
pavimento pode ser considerada de forma bastante precisa, a transferência de 
cargas das lajes para as vigas é feita em função da rígidez de cada barra. Na 
pratica atual, o modelo de grelha de vigas e lajes é muito utilizado na análise 
de pavimentos de concreto armado. Ele abrange praticamente todos os tipos 
de lajes usados nas edificações.
2.8. Esforços e combinações
Os carregamentos inseridos em uma análise estrutural podem ser 
realizados conforme os parâmetros estabelecidos na NBR 6120/80 – Cargas 
para o cálculo de estruturas de edificações. Para a consideração dos
carregamentos em uma estrutura de edifícios, temos que eles são definidos em 
permanentes e acidentais. Conforme a NBR 6120/80, o carregamento 
permanente é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos 
os elementos construtivos fixos e instalações permanentes. O carregamento 
acidental é aquele que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função 
do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.). Os valores de 
carregamentos estão referenciados no item A.4, que são basicamente uma 
cópia da NBR 6120.
Segundo MARINO (2006), para materiais de acabamento ou coberturas, 
podem ser adotados os seguintes valores:
 
 
47 
 
Materiais Peso KN/m² 
Cerâmica 
Tacos 
Cobertura de telhas francesas (com vigamento) 
Cobertura de telhas coloniais (com vigamento) 
Cobertura de fibrocimento (com vigamento) 
Cobertura de alumínio (com vigamento) 
0,70 
0,65 
0,90 
1,20 
0,30 
0,16 
 
QUADRO 1 – VALORES ADICIONAIS DE CARREGAMENTOS 
PERMANENTES 
FONTE: MARINO (2006) 
 
 Em edifícios residenciais as cargas acidentais mínimas a serem 
adotadas variam entre 1,5 KN/m² e 2 KN/m². Entretanto estes valores mínimos 
não devem ser atribuídos a esmo, devendo o engenheiro de estruturas defini-
los com cuidado, tanto os carregamentos acidentais quanto os permanentes. 
 Para a definição do peso das paredes, é necessário que seja conhecido 
o tipo de tijolo (maciço ou furado) e da espessura do reboco. Este peso é 
normalmente apresentado por metro quadrado de parede (parede de 1 m de 
largura por 1m de altura). Para materiais componentes de parede podem ser 
utilizados os seguintes valores: 
 
 
FIGURA 21 – CONSIDERAÇÃO DE CARGAS DE PAREDE 
FONTE: MARINO (2006) 
 
 
48 
 
 
Material Peso (KN/m³) 
Tijolo furado 
Tijolo maciço 
Reboco 
12 
16 
20 
 
QUADRO 2 – PESOS ESPECÍFICOS DE TIJOLOS 
FONTE: MARINO (2006) 
 
O quadro seguinte apresenta alguns valores de peso de parede, sendo que 
para composição desta tabela foi considerado a espessura do reboco igual a 
2,5 cm por face 
 
Parede sem reboco 
Tijolo (cm) Tijolo furado (KN/m²) Tijolo maciço (KN/m²) 
10 1,20 1,60 
12 1,44 1,92 
15 1,80 2,40 
20 2,40 3,20 
Parede com reboco 
15 2,20 2,60 
17 2,44 2,92 
20 2,80 3,40 
25 3,40 4,20 
 
QUADRO 3 – CARGAS DE PAREDE EM FUNÇÃO DA ESPESSURA 
FONTE: MARINO (2006) 
 
 De maneira genérica, o peso de uma parede rebocada nas duas faces, 
pode ser definido pela seguinte expressão. 
 
 rebocotijtijolotijoloparede eeP γγ 2+= (7) 
 
 
 
49 
 
 Os carregamentos atuantes numa estrutura são compostos por várias 
ações que podem atuar simultaneamente, sendo necessário que sejam 
combinadas para situações mais desfavoráveis da atuação no edifício. 
Conforme KIMURA (2007), um edifício dificilmente estará sujeito a 
aplicação de apenas uma ação isolada, mas sim submetido a várias ações ao 
mesmo tempo, sendo então que um projeto de estruturas deve ser projetado 
contemplando várias combinações de ações ponderadas. Apesar dos 
softwares estarem preparados para analisar e visualizar os resultados de ações 
de forma isolada, o que vale de fato são as combinações, pois todos os 
elementos que compõe a estrutura devem ser dimensionados e verificados 
para ações atuando de forma conjunta. 
 A norma NBR 8681/03 – Ações e segurança nas estruturas – e a NBR 
6118/03, apresentam quatro tipos de combinações para análise em ELU sendo 
elas: normal, especial, excepcional e de construção. Em termos gerais as 
combinações normais são aquelas utilizadas usualmente nos projetos de 
estruturas, nas suas mais variadas formas e para consideração de ELU e ELS, 
sendo que a composição dos esforços de calculo para este tipo de combinação 
se dá pela seguinte expressão: 
 
qkq
n
j
qjkjKqqgkggkg FFFFFFd εεεεε ψγψγγγ 0
2
01 )( ++++= ∑
= (8)
 
 
 
Onde cada parcela de carga é dividida em direta (PP, empuxo, cargas 
de uso, vento) e indireta (retração, imperfeições, temperatura) e nas parcelas 
de carga variável há a divisão entre principal e secundária. 
Os carregamentos especiais decorrem de ações variáveis de natureza 
ou intensidade especial. Sua consideração é importante para a consideração 
de ELU. Os carregamentos excepcionais derivam de ações que podem causar 
efeitos catastróficos na estrutura, sendo que é importante sua consideração no 
ELU. Por fim os carregamentos de construção são aqueles atuantes durante a 
fase de construção da estrutura, sendo necessária a composição de 
combinações nas suas mais variadas formas de ocorrência. 
 
 
 
 
50 
 
Para análise no ELS as combinações contempladas na norma NBR 
6118/03 são definidas como: quase permanente, frequente e rara, sendo as 
duas primeiras mais usuais em edifícios de concreto armado, nas combinações 
quase permanente são verificadas as deformações excessivas (ELS-DEF) e a 
segunda é empregada na verificação dos estados limites de formação de 
fissuras (ELS-F), abertura de fissuras (ELS-W) e vibrações excessivas (ELS-
VIB). As expressões que caracterizam as combinações quase permanentes e 
frequentes estão apresentadas a seguir. 
 
 
∑∑
==
+=
n
j
qjkj
n
j
gjk FFserFd
1
2
1
, ψ
 (9)
 
 
∑∑
==
+=
n
j
qjkjkq
n
j
gjk FFFserFd
2
211
1
, ψψ
 (10) 
 
 As ações que compõe os carregamentos lançados na estrutura são 
majoradas por coeficientes de ponderações (γf), que levam em conta as 
incertezas existentes na análise estrutural, e nos comportamentos dos 
materiais, de forma que γf seja equivalente a γf1x γf2 x γf3,. Esses coeficientes 
são adicionados nos valores característicos das ações (Fk), de forma de a 
estrutura seja dimensionada pelas solicitações de calculo (Sd). No anexo A, 
tópico A.5, estão apresentados os valores de coeficientes de ponderação 
retirados da norma. 
Outra questão importante é a consideração da resistência dos materiais 
com sua capacidade reduzida. A NBR 6118/03 apresenta valores para os 
coeficientes de minoração dos materiais, conforme a expressão a seguir: 
 
 γm= γm1 γm2 γm3 (11) 
 
No entanto para considerações de ELS não há necessidade de redução 
da capacidade resistente dos materiais, de modo que γm seja igual a 1,0. 
 
 
 
 
51 
 
3. FERRRAMENTAS COMPUTACIONAIS 
 
 O TQS, Eberick e CYPECAD foram escolhidos para fazer as análises de 
resultados em uma estrutura de edifício, porque são os programas mais 
utilizados no Brasil, eles são os recursos computacionais