Probabilidade - Distribuição Binomial

Prévia do material em texto

0303200 – Probabilidade – Aula 07
Magno T. M. Silva
Escola Polite´cnica da USP
Maio de 2017
A maior parte dos exemplos dessa aula foram extra´ıdos de Jay
L. Devore, Probabilidade e Estat´ıstica para engenharia e
cieˆncias, traduc¸a˜o da 8a edic¸a˜o americana, Cengage, 2014
Essa parte da mate´ria esta´ no Cap´ıtulo 4 do livro do Dantas.
Suma´rio
Modelos Probabil´ısticos Discretos
3.4 Distribuic¸a˜o de probabilidade binomial
4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica (Dantas)
3.6 Distribuic¸a˜o de probabilidade de Poisson
3.4 Experimento binomial
Ha´ diversos experimentos que satisfazem exatamente ou
aproximadamente os seguintes requisitos:
I O experimento consiste em uma sequeˆncia de n experimentos
menores denominados ensaios, em que n e´ fixado com
antecedeˆncia
I Cada ensaio pode resultar em um de dois resultados poss´ıveis:
sucesso (S) ou falha (F)
I Os ensaios sa˜o independentes, de forma que o resultado de
qualquer ensaio particular na˜o influencia o resultado de
qualquer outro ensaio
I A probabilidade de sucesso P (S) = p e´ a mesma para cada
ensaio
I A probabilidade de falha e´ dada por P (F ) = 1−P (S) = 1− p
Um experimento para o qual essas condic¸o˜es sa˜o satisfeitas e´
denominado experimento binomial e os ensaios sa˜o denominados
de ensaios de Bernoulli.
3.4 Exemplo 3.28
A cor da semente de ervilhas e´ determinada por um u´nico locus
gene´tico.
I Se dois alelos desse locus sa˜o AA ou Aa (o geno´tipo), enta˜o a
ervilha sera´ amarela (o feno´tipo);
I Se o alelo for aa, sera´ verde.
Suponha que organizemos 20 sementes Aa aos pares e cruzemos as
duas ervilhas de cada par para obtenc¸a˜o de 10 novos geno´tipos.
Cada novo geno´tipo sera´:
I um sucesso S se for aa
I uma falha, caso contra´rio.
Determine a probabilidade de sucesso P (S) = p
3.4 Exemplo 3.28
Resoluc¸a˜o:
Com o identificador S ou F , trata-se de um experimento binomial
com n = 10.
Se cada membro do par for igualmente prova´vel de contribuir com
a ou A, enta˜o
P (S) = p = P (a) · P (a) = 1
2
· 1
2
=
1
4
3.4 Exemplo 3.29
Uma cidade tem 50 restaurantes licenciados, dos quais
I 15 possuem pelo menos uma violac¸a˜o grave do co´digo de
sau´de e
I os outros 35 na˜o possuem violac¸o˜es graves.
Ha´ 5 inspetores, cada um dos quais inspeciona um restaurante por
semana. O nome de cada restaurante e´ escrito em um pedac¸o de
papel e, apo´s serem misturados, cada inspetor retira um dos
pedac¸os de papel sem reposic¸a˜o. O i-e´simo ensaio sera´ um
sucesso S se o i-e´simo restaurante selecionado (i = 1, · · · , 5) na˜o
tiver violac¸o˜es graves.
Verifique se o experimento e´ binomial.
3.4 Exemplo 3.29
Resoluc¸a˜o:
P (S na primeira tentativa) =
35
50
= 0,70
P (S na segunda tentativa) = P (SS) + P (FS)
= P (S na segunda|S na primeira)P (S na primeira)
+ P (S na segunda|F na primeira)P (F na primeira)
=
34
49
· 35
50
+
35
49
· 15
50
=
35
50
(
34
49
+
15
49
)
= 0,70
Analogamente, P (S na i-e´sima tentativa) = 0,70 para i = 3,4,5.
3.4 Exemplo 3.29
Entretanto,
P (S na quinta tentativa|SSSS) = 31
46
= 0,67
P (S na quinta tentativa|FFFF ) = 35
46
= 0,76
Os ensaios na˜o sa˜o independentes e portanto, o experimento na˜o e´
binomial.
I Em geral, se a amostragem for feita sem reposic¸a˜o, o
experimento na˜o tera´ ensaios independentes
I Se cada pedac¸o de papel fosse reposto apo´s sua retirada, os
ensaios seriam independentes e o mesmo restaurante poderia
ser inspecionado por mais de um inspetor.
3.4 Varia´vel aleato´ria binomial
Na maioria dos experimentos binomiais, interessa o nu´mero total
de S e na˜o o conhecimento de exatamente quais tentativas
resultaram em S.
A varia´vel aleato´ria binomial X ∼ Bin(n,p) associada a um
experimento binomial formado por n ensaios e´ definida como
X = a quantidade de S (sucessos) em n ensaios
sendo p a probabilidade de sucesso.
Suponha que n = 3, enta˜o havera´ 8 resultados poss´ıveis para o
experimento:
SSS SSF SFS SFF FSS FSF FFS FFF
Assim, X(SSF ) = 2, X(SFF ) = 1 e assim por diante. Os
poss´ıveis valores de X em um experimento de n ensaios sa˜o
x = 0,1,2, · · · ,n.
3.4 Distribuic¸a˜o de probabilidade binomial
Considere o caso de n = 4. A probabilidade de ocorrer SSFS vale
P (SSFS) = P (S) · P (S) · P (F ) · P (S) = p3(1− p)1.
Resultado x Probabilidade Resultado x Probabilidade
SSSS 4 p4(1− p)0 FSSS 3 p3(1− p)1
SSSF 3 p3(1− p)1 FSSF 2 p2(1− p)2
SSFS 3 p3(1− p)1 FSFS 2 p2(1− p)2
SSFF 2 p2(1− p)2 FSFF 1 p1(1− p)3
SFSS 3 p3(1− p)1 FFSS 2 p2(1− p)2
SFSF 2 p2(1− p)2 FFSF 1 p1(1− p)3
SFFS 2 p2(1− p)2 FFFS 1 p1(1− p)3
SFFF 1 p1(1− p)3 FFFF 0 p0(1− p)4
3.4 Distribuic¸a˜o de probabilidade binomial
Note que X = 3 em quatro resultados poss´ıveis. Cada um com
probabilidade p3(1− p)1, ou seja,
P [X=3]=P (SSSF )+P (SSFS)+P (SFSS)+P (FSSS)=4p3(1−p)1
De forma geral
P [X=x]={nu´mero de sequeˆncias de comprimento n com x S}
· px(1− p)n−x
=


(
n
x
)
px(1− p)n−x, x = 0,1,2,3, · · · , n
0, caso contra´rio
3.4 Exemplo 3.31
Cada um de 6 consumidores aleato´rios de refrigerante de cola
recebe um copo com refrigerante de cola S e outro com
refrigerante de cola F . Os copos teˆm apareˆncia ideˆntica, exceto
pelo co´digo que conte´m no fundo para identificar o tipo do
refrigerante de cola. Suponha que na˜o ha´ uma tendeˆncia de
prefereˆncia entre os consumidores.
Defina
X = nu´mero de consumidores entre os seis que preferem S
e determine:
I P [X = 3]
I P (X ≤ 1)
I P (X ≥ 3)
3.4 Exemplo 3.31
Resoluc¸a˜o: Como na˜o ha´ uma tendeˆncia de prefereˆncia,
p = P (um indiv´ıduo selecionado preferir S) = 0,5
e X ∼ Bin(6, 0,5). Assim,
P [X = 3] =
(
6
3
)
(0,5)3(0,5)3 = 20(0,5)6 = 0,313.
A probabilidade de no ma´ximo um preferir S e´
P (X ≤ 1) =P [X = 0] + P [X = 1]
=
(
6
0
)
(0,5)0(0,5)6
+
(
6
1
)
(0,5)1(0,5)5 = 0,109.
3.4 Exemplo 3.31
A probabilidade de pelo menos treˆs preferirem S e´
P (X ≥ 3) =P [X = 3] + P [X = 4] + P [X = 5] + P [X = 6]
=
6∑
x=3
P [X = x]
=
6∑
x=3
(
6
x
)
(0,5)x(0,5)6−x
= 0,656.
3.4 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o binomial
Para X ∼ Bin(n,p), a func¸a˜o de distribuic¸a˜o e´ dada por
F (x) = P [X ≤ x] =
x∑
y=0
P [X = y], x = 0,1,2, · · · ,n
3.4 Exemplo 3.32
Suponha que 20% de todas as co´pias de um livro-texto apresentem
falha em um determinado teste de resisteˆncia de encadernac¸a˜o.
Seja X o nu´mero de co´pias que apresentam falhas entre 15 co´pias
selecionadas aleatoriamente.
Determine a probabilidade de:
I no ma´ximo 8 apresentarem falha
I exatamente 8 apresentarem falha
I no m´ınimo 8 apresentarem falha
I 4 a 7 (inclusive) apresentarem falha
3.4 Exemplo 3.32
Resoluc¸a˜o: Note que n = 15 e p = 0,2, ou seja, X ∼ Bin(15, 0,2).
Vamos calcular as probabilidades de:
I no ma´ximo 8 apresentarem falha
P (X ≤ 8) =
8∑
y=0
P [X = y] =
8∑
y=0
(
15
y
)
(0,2)y(0,8)15−y
=F (8) = 0,999
I exatamente 8 apresentarem falha
P [X = 8] = P [X ≤ 8]− P [X ≤ 7]
= F (8)− F (7)
= 0,999− 0,996 = 0,003
3.4 Exemplo 3.32
I no m´ınimo 8 apresentarem falha
P [X ≥ 8] =1− P [X ≤ 7]
=1− F (7) = 1− 0,996 = 0,004
I 4 a 7 (inclusive) apresentarem falha
P [4 ≤ X ≤ 7] = P [X = 4, 5, 6, ou 7] = P [X ≤ 7]− P [X ≤ 3]
= F (7)− F (3)
= 0,996− 0,648 = 0,348
Lembrar que para uma v.a. discreta vale:
P (a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a−)
em que a ≤ b
3.4 Tabela da distribuic¸a˜o binomial para n = 15
3.4 Me´dia e variaˆncia da binomial
Se X ∼ Bin(n,p) e´ poss´ıvel mostrar (ver Dantas) que
I a me´dia vale
E(X) =
n∑
y=0
y
(
n
y
)
py(1− p)n−y = np
I a variaˆncia vale
σ2(X) =
n∑
y=0
(y − np)2
(
n
y
)
py(1− p)n−y = np(1− p)
3.4 Exemplo 3.34Se 75% de todas as compras de uma determinada loja forem feitas
com carta˜o de cre´dito e X for a quantidade de compras feitas com
carta˜o de cre´dito entre 10 compras selecionadas aleatoriamente,
enta˜o X ∼ Bin(n, p) = Bin(10, 0,75).
Determine a me´dia, a variaˆncia e o desvio padra˜o de X.
Resoluc¸a˜o:
I a me´dia vale
E(X) = np = 10(0,75) = 7,5
I a variaˆncia vale
σ2(X) = np(1− p) = 10(0,75)(0,25) = 1,875
I o desvio padra˜o vale σ(X) =
√
1,875 = 1,37
I a probabilidade de X estar a um desvio padra˜o de seu valor
me´dio vale
P [7,5− 1,37 ≤ X ≤ 7,5 + 1,37] = P [6,13 ≤ X ≤ 8,87]
= P [X = 7 ou X = 8] = 0,532
4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica (Dantas)
I Consideremos uma sequeˆncia ilimitada de ensaios de
Bernoulli, com probabilidade de Sucesso (S) igual a p e de
Falha (F ) igual a (1− p) em cada ensaio.
I Ensaios sa˜o realizados ate´ que ocorra o primeiro sucesso.
I O espac¸o amostral desse experimento e´ o conjunto
{S, FS, FFS, . . . , FFFFS, . . . , FFFFFFS, . . .}
I Um elemento t´ıpico desse espac¸o amostral e´ uma sequeˆncia de
comprimento n em que as primeiras n− 1 posic¸o˜es temos F e
na n-e´sima temos S
I Seja X a varia´vel aleato´ria que da´ o nu´mero de falhas que
precedem o primeiro sucesso.
I A distribuic¸a˜o de probabilidade de X para j = 0,1, . . . e´
P [X = j] = (1− p)jp
Observac¸a˜o – Distr. Geome´trica – Ex. 3.12 (Aula 04)
Iniciando em um hora´rio fixo, observamos o sexo de cada crianc¸a
nascida em um determinado hospital ate´ que nasc¸a um menino
(H). Seja p = P (H), presuma que nascimentos sucessivos sejam
independentes e considere a v.a.
X = nu´mero de nascimentos observados.
Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
P [X = 1] = P (H) = p
P [X = 2] = P (MH) = P (M) · P (H) = (1− p)p
P [X = 3] = P (MMH) = P (M) · P (M) · P (H) = (1− p)2p
...
...
P [X = k] =
{
(1− p)k−1p, k = 1, 2, 3, . . .
0, caso contra´rio
E(X) = 1/p (da aula passada)
4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica (Dantas)
Vamos calcular a me´dia da distribuic¸a˜o geome´trica. Para isso
consideremos a soma de uma PG
∞∑
i=1
xi =
x
1− x.
Derivando ambos os lados em relac¸a˜o a x, obtemos
d
dx
∞∑
i=1
xi =
∞∑
i=1
ixi−1 =
1
(1− x)2 .
Usando a definic¸a˜o da esperanc¸a
E(X) =
∞∑
j=0
j · P [X = j] =
∞∑
j=0
j(1− p)jp = p(1− p)
∞∑
j=1
j(1− p)j−1
E(X) =
p(1− p)
p2
=
1− p
p
4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica (Dantas)
Usando a func¸a˜o geradora de momentos, podemos calcular E(X2)
e obter a variaˆncia de X que vale
σ2(X) =
1− p
p2
4.3 Distribuic¸a˜o Geome´trica (Dantas) – Exemplo 4.3.1
I Um banco de sangue necessita sangue do tipo O−.
I Seja p = 0,1 a proporc¸a˜o de indiv´ıduos na populac¸a˜o com esse
tipo de sangue.
I Suponha que as pessoas sa˜o escolhidas ao acaso para serem
examinadas se tem esse tipo de sangue.
I Calcule a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada
com esse tipo de sangue ser a quinta.
Resoluc¸a˜o:
Seja X o nu´mero de pessoas examinadas antes de encontrar a
primeira com tipo de sangue O−. Note que X tem distribuic¸a˜o
geome´trica com paraˆmetro p = 0,1.
Queremos calcular P [X = 4] que vale:
P [X = 4] = (1− p)4p = (0,9)40,1 = 0,0656.
3.6 Distribuic¸a˜o de Poisson
Uma varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o de Poisson com
paraˆmero λ (λ > 0) se a distribuic¸a˜o de probabilidade de X for
P [X = k] =
e−λ · λk
k!
, k = 0,1,2, · · ·
I O fato de
∞∑
k=0
P [X = k] = 1
e´ uma consequeˆncia da expansa˜o em se´rie de Taylor de eλ:
eλ = 1 + λ+
λ2
2!
+
λ3
3!
+ · · · =
∞∑
k=0
λk
k!
Multiplicando os dois termos extremos dessa expressa˜o por
e−λ chega-se a
1 =
∞∑
k=0
e−λ · λk
k!
3.6 Distribuic¸a˜o de Poisson
Seja X uma v.a. discreta com distribuic¸a˜o de Poisson, vamos
calcular a me´dia de X
E(X) =
∞∑
k=0
k
e−λ · λk
k!
= e−λ
∞∑
k=1
λk
(k − 1)!
Fazendo j = k − 1,
E(X) = λ · e−λ
∞∑
j=0
λj
j!︸ ︷︷ ︸
eλ
= λ
Analogamente,
σ2(X) = λ
3.6 Distribuic¸a˜o de Poisson como um limite
O uso da distribuic¸a˜o de Poisson se deve a um limite da binomial.
I Seja Xb uma v.a. com distribuic¸a˜o binomial com paraˆmetros
n e p e Xp uma v.a. com distribuic¸a˜o de Poisson com
paraˆmetro λ.
I Suponha que na distribuic¸a˜o binomial P [Xb = x]
consideremos n→∞ e p→ 0 de tal forma que np se
aproxima de um valor constante λ > 0.
I Neste caso,
P [Xb = x]→ P [Xp = x]
Resumindo: em qualquer experimento binomial no qual n e´ grande
(n > 50) e p e´ pequeno (p < 5/n),
P [Xb = x] ≈ P [Xp = x]
em que λ = np.
3.6 Exemplo 3.39
Seja X o nu´mero de certo tipo de animais capturados em uma
armadilha durante certo per´ıodo de tempo. Suponha que X tenha
uma distribuic¸a˜o de Poisson com λ = 4,5, de modo que em me´dia,
cada armadilha conte´m 4,5 animais.
Determine a probabilidade de uma armadilha conter:
I exatamente 5 animais
I no ma´ximo 5 animais
3.6 Exemplo 3.39
Resoluc¸a˜o: A probabilidade de uma armadilha conter:
I exatamente 5 animais e´
P [X = 5] =
e−4,5 · (4,5)5
5!
= 0,1708
I no ma´ximo 5 animais e´
P [X ≤ 5] =
5∑
k=0
e−4,5 · (4,5)k
k!
= e−4,5
[
1 + 4,5 +
(4,5)2
2!
+ · · ·+ (4,5)
5
5!
]
= 0,7029
3.6 Exemplo 3.40
Se uma editora de livros na˜o te´cnicos se esforc¸a para garantir que
seus livros na˜o possuam erros tipogra´ficos, de forma que a
probabilidade de uma pa´gina conter um erro desse tipo e´ de 0,005
e os erros sa˜o independentes de pa´gina para pa´gina.
Determine a probabilidade de um de seus romances de 400 pa´ginas
conter:
I exatamente uma pa´gina com erros
I no ma´ximo treˆs pa´ginas com erros
3.6 Exemplo 3.40
Resoluc¸a˜o: Vamos denotar
I S uma pa´gina com ao menos um erro
I F uma pa´gina sem erros
I Xb a quantidade de pa´ginas com ao menos um erro
Xb e´ binomial com n = 400 e p = 0,005, de modo que np = 2.
A probabilidade do romance conter
I exatamente uma pa´gina com erros e´
P [Xb=1]=0,270669 ≈ P [Xp=1]= e
−2(2)1
1!
=0,270671
Note que o resultado e´ pro´ximo ao considerarmos uma v.a. Xp
com distribuic¸a˜o de Poisson e paraˆmetro λ = np = 2
3.6 Exemplo 3.40
A probabilidade do romance conter
I no ma´ximo treˆs pa´ginas com erros e´
P [Xb ≤ 3] ≈
3∑
x=0
P [Xp = x] =
3∑
x=0
e−2
2x
x!
= 0,8571
que e´ um valor bem pro´ximo da binomial que da´ 0,8576.
3.6 Exemplo 3.42
Suponha que pulsos cheguem ao contador em uma taxa me´dia de
seis por minuto. Determine a probabilidade de pelo menos um
pulso ser recebido em um intervalo de meio minuto.
3.6 Exemplo 3.42
Resoluc¸a˜o: O nu´mero de pulsos no intervalo de meio minuto tem
distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ = αt = 6(0,5) = 3.
Dessa forma
P (X ≥ 1) = 1− P [X = 0] = 1− e
−3(3)0
0!
= 0,95
	Modelos Probabilísticos Discretos
	3.4 Distribuição de probabilidade binomial
	4.3 Distribuição Geométrica (Dantas)
	3.6 Distribuição de probabilidade de Poisson