ENGENHARIA BASICA ED

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ENGENHARIA BASICA
 Equações Diferenciais 
Nome:Vinicius Kocsis Quadrado
Curso: Engenharia Básica / Engenharia Mecânica
Faculdade:Unip Marques
RA:C9275B9
Professora:Lydia 
 Conteúdo 1
 Integrais
 
 Exercícios Conteúdo 1
1.
	A
	6x-2
	B
	3x3-4x2+C
	C
	x3+2
	D
	x3-2x2+C
	E
	x3+4x+C
2.
	A
	
 
	B
	
 
	C
	
 
	D
	
 
	E
	
3.
	A
	10
 
	B
	-3
 
	C
	-1
 
	D
	2
 
	E
	1
4.
	A
	x2+ln|x|+C
	B
	x2+4ln|x|+C
 
	C
	x2+4x+C
 
	D
	2x2+C
 
	E
	4ln|x|+C
5.
	A
	Apenas a afirmativa I está correta.
	B
	Apenas a afirmativa II está correta.
	C
	Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
	D
	Todas as afirmativas estão corretas.
	E
	Todas as afirmativas estão incorretas.
6.
	A
	x2+senx+C
	B
	x2-cosx+C
	C
	x2-senx+C
	D
	2x-senx+C
	E
	2x+cosx+C
7. Suponha que a equação da velocidade v  (em cm/s) de um ponto material em função do tempo t (em segundos) seja v(t) =14t-6t2. Sabendo que, no instante 1 s, o ponto material encontra-se na posição 16 cm, qual a equação do espaço (em centímetros) em função do tempo?
	A
	S(t)=7t2-2t3+6
	B
	S(t)=7t2-2t3+11
	C
	S(t)=7t2-3t3+5
	D
	S(t)=14t-12t
	E
	S(t)=14t2-2t3
8.
	A
	(x+6).(-cosx)+senx+C
	B
	-cosx+C
	C
	(x+6)senx+C
	D
	-cosx+senx+C
	E
	-cosx+6x+C
 Conteúdo 2
 Integrais II
 Exercícios Conteúdo 2
1.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
2.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
3.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
4.
	A
	 0,5t2sent+C
	B
	 t2sent+C
	C
	tsent+cost+C
	D
	 -tsent-cost+C
	E
	t2sent+cost+C
5.
	A
	 lnx+x+C
	B
	 xlnx-x+C
	C
	 xlnx+C
	D
	x-1+C
	E
	 2xlnx+C
6.
Resolvendo a integral  ∫e-3xdx obtemos:
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
7.
	A
	cos(8t)+C
	B
	-8cos(8t)+C
	C
	8cos(8t)+C
	D
	-0,125cos(8t)+C
	E
	-0,125sen(8t)+C
8.
	A
	cosx+senx+C
	B
	-xcosx+senx+C
	C
	-xcosx+C
	D
	-xcosx+xsenx+C
	E
	-senx+C
 Conteúdo 3
Equações Diferenciais (Introdução) e ED de Variáveis Separáveis.
Módulo 1. Equações Diferenciais.
Conteúdo 1. Introdução
 Exercício Resolvido
Verifique se a função y=x2+4 é solução da equação diferencial y’=2x.
Derivando a função y=x2+4, obtemos y’=2x.
Substituindo y’=2x na equação diferencial y’=2x temos que 2x=2x.
Logo a função y=x2+4 é solução da equação diferencial y’=2x.
Conteúdo 2. Equações Diferenciais de variáveis separáveis.
Considere o exemplo a seguir que mostra os passos para a resolução de uma equação diferencial pelo método de variáveis separáveis:
 
 Exercícios Conteúdo 3
1. Classificando de acordo com a ordem e a linearidade a equação diferencial  y''-2y'+6y=0, temos:
	A
	linear de 1ª ordem
	B
	não linear de 2ª ordem
	C
	 linear de 2ª ordem
	D
	não linear de 1ª ordem
	E
	linear de 3ª ordem
2.
Uma solução para a equação diferencial y'=1+e5x é dada por:
	A
	 x+e5x+C
	B
	 x+5e5x+C
	C
	 x-e5x+C
	D
	x+0,2e5x+C
	E
	0,2e5x+C
3.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
 
4.
Sabe-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional a quantidade presente (N). Inicialmente a quantidade é de 75mg e após 3 horas a quantidade passa a ser de 67,5mg. Qual a equação que representa a quantidade de substância presente no instante t?
	A
	 75e0,035t
	B
	67,5e-0,035t
	C
	75e-0,035t
	D
	 -75e-0,035t
	E
	-67,5e-0,035t
5. Resolvendo o problema de valor inicial  xy' = 4y ,  y(1)=3, obtemos:
	A
	 3x4
	B
	 1/81x4
	C
	e4x
	D
	3e4x
	E
	 -5x4+2
6. A função y=e3x é uma solução para a equação diferencial:
	A
	 y'-3y=0
	B
	 y'+3y=0
	C
	 y'+3=0
	D
	 y'+3y=e6x
	E
	 y'+3xy=0
7. A solução geral da equação diferencial y’=-2y é dada por:
	A
	 y=Ce2x
	B
	y=Ce-2x
	C
	 y=C+2e2x
	D
	y=lnx+C
	E
	 y=ln2x+C
8. A solução geral da equação diferencial y'=cos10x é:
	A
	y=sen10x+C
	B
	y=0,1sen10x+C
	C
	y=10sen10x+C
	D
	y=-0,1sen10x+C
	E
	y=0,1cos10x+C
9. A solução geral da equação diferencial e-2xy'=1 é:
	A
	y=e2x+C
	B
	y=2e2x+C
	C
	y=ex+C
	D
	y=0,5e2x+C
	E
	y=Ce2x
10. A solução geral da equação diferencial y'=3x2y é:
	A
	y=Ce3x
	B
	y=e3x+C
	C
	y=Cex
	D
	y=Ce-3x
	E
	
11.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
 Conteúdo 4
 ED de Variáveis Separáveis e ED exatas.
Conteúdo 1. Equações Diferenciais de variáveis separáveis (Continuação).
Considere o seguinte problema:
 
Conteúdo 2. Equações Diferenciais Exatas.
 
 
 Exercícios Conteúdo 4
1. Uma solução para a equação diferencial exata (e3y+ycos(xy)+2x)dx+(3xe3y+xcos(xy))dy=0 é:
	A
	ye3x+cos(xy)+y2=C
	B
	 3e3y+cos(xy)=C
	C
	xe3y+cos(xy)+x2=C
	D
	xe3y+sen(xy)+x2=C
	E
	ye3x+sen(xy)+x2=C
2.
	A
	 y=e5t
	B
	y=e-5t
	C
	y=e5t-5
	D
	y=e5t +5
	E
	 y=5e5t
3.
Considere a equação diferencial exata 2xydx+(x2-1)dy=0. Uma solucão para a equação é:
	A
	x2y+y=C
	B
	 x2y-y=C
	C
	xy2+x=C
	D
	xy2-x=C
	E
	 xy+x=C
4.
	A
	I - equação diferencial exata, II – equação diferencial exata e III – equação diferencial exata.
	B
	I - equação diferencial inexata, II – equação diferencial inexata e III – equação diferencial inexata.
	C
	I - equação diferencial exata, II – equação diferencial inexata e III – equação diferencial inexata.
	D
	I - equação diferencial inexata, II – equação diferencial exata e III – equação diferencial exata.
	E
	I - equação diferencial exata, II – equação diferencial exata e III – equação diferencial inexata.
5. (CQA - UNIP - 2011) A desintegração nuclear é um processo que ocorre em alguns núcleos atômicos, produzindo emissão de radiação. A taxa de variação da quantidade Q de material radioativo com o tempo é proporcional à quantidade de material, ou seja,
A constante é negativa, pois se trata da redução da quantidade de material radioativo com o tempo. Essa constante pode ser obtida a partir da meia-vida do isótopo radioativo, ou seja, do tempo necessário para que a quantidade de material caia pela metade. Se inicialmente temos quantidade de material Q(t0 ), após uma meia-vida teremos Q(t0 ) / 2.
Qual é a equação que fornece a quantidade de material radioativo como função do tempo?
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
6.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
7.
(UNIP - CQA - 2011) O Cobalto-60 é um elemento radioativo de meia-vida igual a 5,26 anos. Qual é a equação que fornece a quantidade de Cobalto-60 em função do tempo? Considere que, inicialmente, temos a quantidade Q0  de cobalto 60 e que o tempo é dado em anos.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
8. Uma cultura de bactérias cresce a uma taxaproporcional ao número de bactérias presentes no instante t. Inicialmente existem 500 bactérias e após 1 hora 5.000 bactérias. Qual é a equação para o número de bactérias após t horas?
	A
	N(t)=500.e2,3t
	B
	N(t)=500+e2,3t
	C
	N(t)=500.e-2,3t
	D
	N(t)=5000.et
	E
	N(t)=5000.e-t
 Conteúdo 5
 Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem.
 Exercícios Conteúdo 5
1. Uma solução geral para a equação diferencial y'-7y=0 é:
	A
	y=Ce7x
	B
	y=Ce-7x
	C
	 y=7x+C
	D
	 y=-7x+C
	E
	y=Cex
2. Uma solução geral para a equação diferencial x2y'+xy=1 é:
	A
	y=lnx+C
	B
	 y=1/x lnx+C/x
	C
	y=1/x +C
	D
	y=ex+C
	E
	 y=C-lnx
3.
	A
	y=3,5e-4t
	B
	y=-3,5e-4t+3,5
	C
	y=3,5e-4t-3,5
	D
	 y=56e-4t+56
	E
	y=56e-4t-56
 
4. Uma solução para a equação diferencial y'-4y=12 é:
	A
	 y=Ce4x-3
	B
	y=Ce4x
	C
	y=Ce-4x-48
	D
	 y=Ce4x+48
	E
	 y=Ce-4x
5. A solução geral da equação diferencial xy’+y=2x é:
	A
	y=x2+C
	B
	y=ex+C
	C
	y=x+C
	D
	y=x+C/x
	E
	y=x+CX
 
6.
	A
	y=x2/6+C
	B
	y=x2+C/x4
	C
	y=x2/6+C/x4
	D
	y=x2+C
	E
	y=x2/2+C/x4
7.A solução geral da equação diferencial y'-5y=ex é: 
	A
	y=4ex+Ce5x
	B
	y=-0,25ex+C
	C
	y=ex+Ce5x
	D
	y=Ce5x
	E
	y=-0,25ex+Ce5x
8.
	A
	y=x6+C
	B
	y=x6/7+C/x
	C
	y=x6/7+C
	D
	y=x6+C/x
	E
	y=x/7+C/x
9.
	A
	I(t)=2+e-5t
	B
	I(t)=2-2e-5t
	C
	I(t)=2+2e-t
	D
	I(t)=-2e-5t
	E
	I(t)=2et
10.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
11.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
12.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
 Conteúdo 6
 Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem (Homogêneas).
Módulo 6. Equações Diferenciais de 2ª ordem (Homogêneas)
 
Conteúdo 1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Homogêneas (1º caso).
 
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem: a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
 
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem - Homogêneas.
a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 
1º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: y=C1em1x+C2em2x
 
Exemplo 1. A equação diferencial y’’- 5y’+6y=0 pode ser resolvida seguindo os seguintes passos:
1º passo: achar a equação auxiliar correspondente:
m2-5.m+6=0
2º passo: resolver a equação auxiliar:
m1=2 e m2=3
3º passo: substituir os valores encontrados na equação: y=C1em1x+C2em2x
y=C1e2x+C2e3x
 
 
Exemplo 2. Para encontrar a solução da equação diferencial y’’- 5y’+6y=0 para y(0) =5 e y’(0) =13 devemos seguir os seguintes passos:
 
1º passo: Substituir x por zero e y por 5 na solução geral da equação diferencial, veja a seguir:
y=C1e2x+C2e3x
5= C1e2.0+C2e3.0
C1+C2=5 ou C1=5-C2
 
2º passo: Derivar a equação y=C1e2x+C2e3x
y’=2.C1e2x+3C2e3x                                       
 
3º passo: Substituir x por zero e y’ por 13 na equação y’=2.C1e2x+3.C2e3x
13=2.C1e2.0+3.C2e3.0
2.C1+3.C2=13
 
4º passo: Resolver o sistema
C1=5-C2
2.C1+3.C2=13
2.(5-C2)+3.C2=13
10-2.C2+3.C2=13
C2=3
 
C1=5-C2
C1=5-3
C1=2
 
Solução: y=2e2x+3e3x
 
Exercício Resolvido:
Encontre a solução geral da equação diferencial y’’-7y+12y=0.
Equação auxiliar: m2-7m+12=0.
Resolução da equação auxiliar: m2-7m+12=0.
 
 
Solução Geral: y=C1e3x+C2e4x
 
Conteúdo 2. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Homogêneas (2º caso).
 
2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: y=C1emx+C2xemx
 
Exemplo 1. A equação diferencial y’’- 2y’+y=0 pode ser resolvida seguindo os seguintes passos:
1º passo: achar a equação auxiliar correspondente:
m2-2.m+1=0
 
2º passo: resolver a equação auxiliar:
m=1
 
3º passo: substituir os valores encontrados na equação: y=C1em1x+C2xem2x
y=C1ex+C2xex
 
 
Exemplo 2. Para encontrar a solução da equação diferencial y’’- 2y’+y=0 para y(0) =2 e y’(0) =4 devemos seguir os seguintes passos:
 
1º passo: Substituir x por zero e y por 2 na solução geral da equação diferencial, veja a seguir:
y=C1ex+C2xex
2=C1e0+C20e0
C1=2
 
2º passo: Derivar a equação y=C1ex+C2xex
 
y’=C1ex+C2ex+C2xex
 
3º passo: Substituir x por zero e y’ por 4 na equação y’=C1ex+C2ex+C2xex
 
4=C1e0+C2e0+C20e0
C1+C2=4
 
4º passo: Resolver o sistema
C1=2
C1+C2=4
2+C2=4
C2=2
 
Solução: y=2ex+2xex
 
Exercício Resolvido:
Encontre a solução geral da equação diferencial y’’-4y’+4y=0.
Equação auxiliar: m2-4m+4=0.
Resolução da equação auxiliar: m2-4m+4=0.
 
Solução Geral: y=C1e2x+C2xe2x
 Exercícios Conteúdo 6
1. Resolvendo a equação diferencial y''-10y'+21y=0, obtemos:
	A
	 y=C1e7x+C2xe3x
	B
	 y=C1e7x+C2e3x
	C
	 y=C1e-7x+C2e-3x
	D
	 y=C1e-7x
	E
	y=C1ex+C2e-x
2. A solução para o problema de valor inicial: y''-10y'+25y=0  y(0)=2 e y'(0)=-1 é:
	A
	y=2e5x 
	B
	y=-e5x+4xe5x
	C
	y=2e5x-11e5x
	D
	y=2e5x-11xe5x
	E
	y=e5x+xe5x
3. Resolvendo a equação diferencial y''+8y'+16y=0, obtemos:
	A
	y=C1e-4x+C2xe-4x
	B
	 y=C1e4x+C2e-4x
	C
	 y=C1e-4x
	D
	 y=C1e-4x+C2ex
	E
	y=C1ex
4. Uma solução geral para a equação diferencial y''-4y'+4y=0 é:
	A
	y=C1e2x+C2xe2x
	B
	 y=C1e2x+C2e2x
	C
	 y=C1e4x+C2xe4x
	D
	y=C1ex+C2xex
	E
	y=C1e2x+C2e-2x
5.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
6.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
7.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
8.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
 Conteúdo 7
 Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem (Homogêneas e Não Homogêneas).
Conteúdo 1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Homogêneas (3º caso).
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: y=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Exemplo 1. A equação diferencial y’’- 4y’+5y=0 pode ser resolvida seguindo os seguintes passos:
1º passo: achar a equação auxiliar correspondente:
m2-4.m+5=0
 
2º passo: resolver a equação auxiliar:
m=2±i
 
3º passo: substituir os valores encontrados na equação:  y=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
y=e2x(C1cosx+ C2senx)
 
 
Exemplo 2. Para encontrar a solução da equação diferencial y’’- 4y’+5y=0 para y(0) =1 e y’(0) =4 devemos seguir os seguintes passos:
 
1º passo: Substituir x por zero e y por 1 na solução geral da equação diferencial, veja a seguir:
y=e2x(C1cosx+ C2senx)
1= e2.0(C1cos0+ C2sen0)
C1=1
 
2º passo: Derivar a equação y=e2x(C1cosx+ C1senx)
y’=2e2x(C1cosx+ C2senx)+ e2x(-C1senx+ C2cosx)
                                                                               
 
3º passo: Substituir x por zero e y’ por 4 na equação
y’=2e2x(C1cosx+ C2senx)+ e2x(-C1senx+ C2cosx)
4=2e2.0(C1cos0+ C2sen0)+ e2.0(-C1sen0+ C2cos0)
2C1+ C2=4
 
 
4º passo: Resolver o sistema
C1=1
2C1+ C2=4
C2=2
 
Solução: y=e2x(cosx+ 2senx)
 Exercício Resolvido:
Encontre a solução geral da equação diferencial y’’+y=0.
Equação auxiliar: m2+1=0.
Resolução da equação auxiliar: m2+1=0.
 
Solução Geral: y= C1cosx+ C2senx
 
Conteúdo 2. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Não Homogêneas (1º caso).
 
 
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem (não homogênea):
a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
 
Solução Geral da Equação Diferencial não homogênea:
y=yc+yp
Equação Complementar (yc): a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 
Solução da Equação Complementar:
 
1º Caso:A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: yc=C1em1x+C2em2x
 
2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: yc=C1emx+C2xemx
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: yc=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Solução Particular:
 
1º caso: Se k(x) é um polinômio, então a solução particular yp é um polinômio de mesmo grau.
 Para a equação diferencial y’’-10y’+9y=9x2 temos a seguinte solução:
 Equação Complementar: y’’-10y’+9y=0
Equação Auxiliar: m2-10m+9=0
Solução da Equação complementar: yc=C1ex+C2e9x
 
Solução Particular:
K(x)=x2
yp=Ax2+Bx+C
y’=2Ax+B
y’’=2A
y’’-10y’+9y=x2
2A-10.(2Ax+B)+9(Ax2+Bx+C)= 9x2
2A-20Ax-10B+9Ax2+9Bx+9C=9x2
9Ax2-20Ax+9Bx+2A-10B+9C=9x2
9A=9
A=1
-20.A+9.B=0
9B=20
B=2,25
2.A-10.B+9.C=0
2-22+9C=0
C=2,2
Solução Particular: yp= x2+2,2x+2,2C
Solução Geral: y=C1ex+C2e9x +x2+2,2x+2,25C
 
Exercício Resolvido:
 
Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta:
 
I. A equação y’’-y’=0 é uma equação diferencial linear de 1ª ordem.
II. A equação y’’-4y’=0 é uma equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea.
III. A equação y’’-16y=0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea.
 
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Todas as afirmações são falsas.
c) Apenas a afirmação I é correta.
d) Apenas a afirmação II é correta.
e) Apenas a afirmação III é correta.
 
Resposta: E
A afirmação I está incorreta, pois se trata de uma equação diferencial de 2ª ordem.
A afirmação II está incorreta, pois se trata de uma equação diferencial de 2ª ordem homogênea.
 Exercícios Conteúdo 7
1. Resolvendo a equação diferencial y''-4y'+5y=0, obtemos:
	A
	 y=e4x(C1cos2x+C2sen2x)
	B
	 y=ex(C1cos2x+C2sen2x)
	C
	y=e-4x(C1cos2x+C2sen2x)
	D
	y=e4x(C1cosx-C2senx)
	E
	y=e2x(C1cosx+C2senx)
2. A solução geral para a equação diferencial y''+4y=0 é
	A
	y=C1cos4t+C2sen4t
	B
	y=C1cos2t+C2sen2t
	C
	y=C1cost+C2sent
	D
	y=C1etcos4t+C2etsen4t
	E
	y=C1e2t+C2e-2t
3. A solução geral da equação diferencial y''-6y'+13y=0 é:
	A
	y=e3t(C1cos2t+C2sen2t)
	B
	 y=e2t(C1cos3t+C2sen3t)
	C
	y=C1e2t+C2e3t
	D
	y=C1e2t+C2te3t
	E
	y=e3t(C1cost+C2sent)
4. Resolvendo a equação diferencial 0,05y''+2y'+100y=0 para y(0)=5 e y’(0)=0, obtemos:
	A
	y=e-20x(5cos40x+2,5sen40x).
 
	B
	y=e-x(cos40x+sen40x).
 
	C
	y=e-40x(10cos20x+5sen20x).
 
	D
	y=e-20xcos40x.
 
	E
	y=e-20xsen40x.
5. A solução da equação diferencial y''-8y'+17y=0 quando y(0)=2 e y'(0)=10 é:
	A
	y=e4x(cosx+senx)
	B
	y=e4x+2e-4x
	C
	y=2e4x+2xe-4x
	D
	y=2e4xcosx
	E
	y=e4x(2cosx+2senx)
6. Resolvendo a equação diferencial y’’+36y=0 obtemos a solução geral:
	A
	y=C1cost+C2sent
	B
	y=Ccost
	C
	y=C1cos(6t)+C2sen(6t)
	D
	y=Csen(6t)
	E
	y=C1e6t+C2e-6t
7.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
8.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
 Conteúdo 8
 Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem (Não homogêneas)
Conteúdo 1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Não Homogêneas (2º caso).
 Equação Diferencial Linear de 2ª ordem (não homogênea):
a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
Solução Geral da Equação Diferencial não homogênea:
y=yc+yp
Equação Complementar (yc): a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 Solução da Equação Complementar:
 1º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: yc=C1em1x+C2em2x
 2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: yc=C1emx+C2xemx
 3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: yc=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 Solução Particular:
 2º caso: Se k(x)=Ceax , então a solução particular yp = Aeax .
 Para a equação diferencial y’’+4y=e3x temos a seguinte solução:
 Equação Complementar: y’’+4y=0
Equação Auxiliar: m2+4=0
Solução da Equação complementar: yc=C1cos(2x)+C2sen(2x)
 
Solução Particular:
K(x)= e3x
yp=Ae3x
y’=3Ae3x
y’’=9Ae3x
y’’+4y= e3x
9Ae3x+4Ae3x= e3x
13Ae3x= e3x
A=1/13=0,08
 
Solução Particular: yp= 0,08e3x
Solução Geral: y= C1cos(2x)+C2sen(2x)+ 0,08e3x
 
Exercício Resolvido:
 
Determinar a solução particular da equação diferencial y’’+y=10e2x.
Solução particular: y=Ae2x
Substituindo y=Ae2xe y’’=4Ae2x na equação diferencial y’’+y=10e2x, obtemos:
4Ae2x+Ae2x=10e2x
5Ae2x=10e2x
A=2
Logo a solução particular é y=2e2x.
 
Conteúdo 2 Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Não Homogêneas (3º caso).
.
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem (não homogênea):
 a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
 
Solução Geral da Equação Diferencial não homogênea:
y=yc+yp
 
Equação Complementar (yc): a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 
Solução da Equação Complementar:
 
1º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: yc=C1em1x+C2em2x
 
2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: yc=C1emx+C2xemx
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: yc=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Solução Particular:
 
3º caso: Se k(x)=Ccos(ax) ou Csen(ax) , então a solução particular yp = Acos(ax)+Bsen(ax) .
 
Para a equação diferencial y’’+3y’+2y=cos(2x) temos a seguinte solução:
 
Equação Complementar: y’’+3y’+2y=0
Equação Auxiliar: m2+3m+2=0
Solução da Equação complementar: yc=C1e-2x+C2e-x
 
 Solução Particular:
K(x)= cos(2x)
yp=Acos(2x)+Bsen(2x)
y’=-2Asen(2x)+2Bcos(2x)
y’’=-4Acos(2x)-4Bsen(2x)
 
y’’+3y’+2y=0
-4Acos(2x)-4Bsen(2x)+3(-2Asen(2x)+2Bcos(2x))+2(Acos(2x)+Bsen(2x))=cos(2x)
-4Acos(2x)-4Bsen(2x)-6Asen(2x)+6Bcos(2x)+2Acos(2x)+2Bsen(2x) =cos(2x)
(-2A+6B)cos(2x)+(-2B-6A)sen(2x)= cos(2x)
-2A-6B=1
-2A=1+6B
A=-0,5-3B
 
-2B-6A=0
-2B-6(-0,5+3B)=0
-2B+3-18B=0
-20B=-3
B=0,15
 
A=-0,5-3B
A=-0,5+3.0,15
A=-0,05
 
yp=-0,05cos(2x)+0,15sen(2x)
 
Solução geral da equação diferencial y’’+3y’+2y=cos(2x):
y=C1e-2x+C2e-x+0,0625cos(2x)+0,1875sen(2x)
 
Exercício Resolvido.
 
Determinar a solução particular da equação diferencial y’’-5y’=senx.
K(x)= senx
yp=Acosx+Bsenx
y’=-Asenx+Bcosx
y’’=-Acosx-Bsenx
Substituindo na equação diferencial: y’’-5y’=senx, obtemos:
-Acosx-Bsenx -5(-Asenx+Bcosx)=senx.
-Acosx-Bsenx +5Asenx-5Bcosx=senx.
-A-5B=0
A=-5B
-B+5A=1
-B-25B=1
B=-1/26
A=5/26
Logo a solução particular é yp=(5/26)cosx+(-1/26)senx
 Exercicios Conteúdo 8
1. Resolvendo a equação diferencial y''-2y'+y=3e2x , obtemos:
	A
	 y=C1ex+C2xex
	B
	 y=C1ex+C2xe3x
	C
	 y=C1ex+C2xex+3e2x
	D
	y=C1e2x+C2xex+3ex
	E
	y=C1e-x+C2xex+4ex
2. A função y=xe5x é uma solução da equação diferencial:
	A
	 y''-2y'+y=0
	B
	y''+10y'+y=0
	C
	y'=5y
	D
	y''-10y'+25y=0
	E
	y''=2y
3. Uma solução particular da equação diferencial y''-2y'+y=ex é:
	A
	yp=x2
	B
	 yp=0,5x2ex
	C
	yp=xex
	D
	yp=xe2x
	E
	 yp=7xe-x
4.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
5.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
6.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
7.
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E