Matrizes determinantes - Álgebra Linear

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Duas matrizes A e B, de mesma ordem, são equivalentes (A ~ B) se for 
possível transformar A em B por meio de um número finito de operações 
elementares. 
Permutação de Linhas: Denotado por L
i
↔L
k 
𝐴 =
1 3
5 8
9 1
𝐿2 ↔ 𝐿3
1 3
9 1
5 8
 
MATRIZ EQUIVALENTE 
Substituição de uma linha i pela soma do múltiplo de outra linha: Denotado 
por L
i
→L
i
 + cL
k 
𝐴 =
1 3
5 8
9 1
𝐿2 → 𝐿2 + −2 𝐿1
1 3
5 − 2 8 − 6
9 1
 
Multiplicação de uma linha por um escalar (≠0): Denotado por L
i
→cL
i 
𝐴 =
1 3
5 8
9 1
𝐿3→
1
2
𝐿3
1 3
5 8
9 2 1 2 
 
2. Dadas as matrizes 
𝐴 =
1 1 −1
2 1 0
1 −1 1
, 𝐵 =
1 −1 3
4 3 2
1 −2 5
 
Ache a matriz X da equação: 
XA = B 
Exercícios: 
1. Transformar a matriz A em uma matriz triangular superior. 
𝐴 =
1 4 −1
2 5 3
1 10 −11
 
3. Ache a matriz X da equação AXB = C , se: 
𝐴 =
2 1
3 2
, 𝐵 =
−3 2
5 −3
 e C =
−2 4
3 −1
 
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 
Definição: 
A determinante de uma matriz A = (a
ij
) de ordem nn, é definida como o 
número real relacionado com os elementos a
ij
 da matriz. 
Notação: |A|, det(A) 
Onde: det : ℝnn ℝ 
A  det(A) 
A determinante é uma função de ℝnn em ℝ / a determinante corresponde um 
único número real a cada matriz A. 
Se n = 1 , 
Se n = 2 , 
⇒ 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 
𝐴 = 𝑎11 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝐴 = 𝑎11 
Se n = 3 , 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
⇒ 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
− 𝑎12
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
+ 𝑎13
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⇒ 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
Em geral: n = n 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
⇒ 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = −1
1+𝑗𝑎1𝑗𝑑𝑒𝑡 𝐴 1|𝑗
𝑛
𝑗=1
 
(Equação de Laplace) 
Onde: 𝐴 1|𝑗 é a submatriz de A eliminando a linha 1 e coluna j 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 𝑎22𝑎33 − 𝑎32𝑎23 − 𝑎12 𝑎21𝑎33 − 𝑎31𝑎23 + 𝑎13 𝑎21𝑎32 − 𝑎31𝑎22 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= 𝑎11
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
− 𝑎12
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
+ 𝑎13
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
 
Propriedades: 
1.− 𝐼𝑛 = 1 
2.− 𝐴𝑡 = 𝐴 
3.− 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵 
4.− 𝐴−1 =
1
𝐴
 
5.− 𝐴𝑚 = 𝐴 𝑚, 𝑚 ∈ ℤ 
6.− 𝐴 = 𝑎11. 𝑎22. 𝑎33. . . 𝑎𝑛𝑛 
Se a matriz A é triangular. 
INVERSÃO DE MATRIZES 
Definição: 
Uma matriz quadrada A de ordem n, tem inversa ⇔ 𝐴 ≠ 0 
Se diz que A admite inversa (não singular) se existir uma matriz quadrada B 
de ordem n×n, que satisfaça à seguinte condição: 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 
Onde a matriz B é inversa de A, 𝐵 = 𝐴−1, 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼𝑛 
Teorema: 
𝐴−1 =
1
𝐴
𝑎𝑑𝑗 𝐴 , se 𝐴 ≠ 0 
Propriedades: 
1.− 𝐴−1 −1 = 𝐴 
2.− 𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1𝐴−1 
3.− 𝐴𝑡 −1 = 𝐴−1 𝑡 
4.− 𝜆𝐴 −1 = 
1
𝜆
𝐴−1 
5.− 𝐴𝑛 −1 = 𝐴−1 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ 
MATRIZ ADJUNTA 
Seja a matriz quadrada A, e seja (α
ij
) a matriz dos cofatores de A. 
Chamamos de adjunta de A [ adj(A) ] a matriz (α
ij
)t, é dizer: 
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝛼𝑖𝑗
𝑡
 
e, 𝛼𝑖𝑗 = −1
𝑖+𝑗 𝐴 𝑖|𝑗