EXERCICIOS_DE_ESTATISTICA_SEGUNDO_SEMESTRE_2005

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DISCIPLINA – INTRODUÇÃO A ESTATISTICA ECONOMICA – ECN26
PROFESSOR HENRIQUE DANTAS NEDER
EXERCICIOS DE ESTATISTICA
PROBABILIDADE
1. a. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5, determine P(A).
b. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B) se A e B são eventos mutuamente excludentes?
c. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B), se A e B não são mutuamente excludentes?
2. Se A e B são mutuamente excludentes e B e C também o são, os eventos A e C devem ser mutuamente excludentes? Dê um exemplo que confirme sua resposta.
3. Como se modifica a regra da adição, se utilizamos ou exclusivo em lugar de ou inclusivo? Recorde que ou exclusivo significa um ou outro, mas não ambos.
4. Dado que P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), estabeleça uma regra formal para P(A ou B ou C). (Sugestão: Trace um diagrama de Venn)
5. Determine a probabilidade de que, em 25 pessoas selecionadas aleatoriamente,
a. Não haja duas com a mesma data de aniversário.
b. Ao menos duas tenham a mesma data de aniversário.
6. a. Determine uma fórmula de não obter A ou Bem um único experimento. Isto é, dê uma expressão para P (A ou B).
b. Determine unia fórmula para a probabilidade não obter B em unia única prova; isto é, de u P( A ou B).
c. Compare os resultados das partes (a) e (b). são diferentes?
7. Devemos extrair aleatoriamente duas cartas, sem baralho bem misturado. Determine a probabilidade de obter um 10 na primeira extração e uma carta de paus na segunda.
8. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter 2 caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.
Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que o máximo seja maior ou igual a 3.
Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. ( Na realidade a escolha não é feita de forma completamente aleatória).
9. Uma loteria tem N números e só um prêmio. Um jogador compra n bilhetes em uma extração. Outro compra só um bilhete em n extrações diferentes. (Ambos os jogadores apostam portanto a mesma importância). Qual deles tem maior probabilidade de ganhar o prêmio?
10. Seis bolas são colocadas em três urnas diferentes. Qual é a probabilidade de que todas as urnas estejam ocupadas?
11. Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.
12. Um torneio é disputado por 4 vezes A,B, C e D. Ë 3 vezes mais provável que A vença do que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um dos times?
13. Uma caixa contem 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.
14. Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:
12 000 lêem A;
8 000 lêem B;
7 000 lêem A e B;
6 000 lêem C;
4 500 lêem A e C;
1 000 lêem B e C;
500 lêem A,B e C.
Qual é a probabilidade de que um habitante leia:
Pelo menos um jornal;
Só um jornal.
15. s algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de 5 algarismos.
calcular a probabilidade de que o número escrito seja par
Se a escolha fosse com reposição qual seria a probabilidade?
16. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.
17. Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo grupo?
18. 5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:
a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas;
A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.
19. Um número entre 1 e 200 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que seja divisível por 5 ou por 7.
20. Uma moeda foi cunhada de tal forma que é 4 vezes mais provável de dar cara do que coroa. Calcular as probabilidades de cara e coroa.
21. Aos números inteiros entre 1 e n são designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Calcular P(i) para 
 
22. Três dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como a soma dos resultados.
23. Sejam A e B eventos tais que
24. No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01 – 02 - ...- 50. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadra), 5 (quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as dezenas sorteadas são escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminuídas (Sena Posterior) de uma unidade (50 +1 = 01, 01 – 1 = 50). Determine a probabilidade de uma apostador fazer:
uma quadra
uma quina
a Sena Principal
A Sena Anterior ou a Posterior.
25. No jogo da Loto são sorteadas 5 dezenas distintas entre as dezenas 01 – 02 - ...- 99 - 00. O apostador escolhe 6,7,8,9 ou 10 dezenas e é premiado se são sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas escolhidas. Determine a probabilidade de uma apostador que escolheu 10 dezenas fazer:
a) um terno
b) uma quadra
a quina
26. Na Loteria Esportiva há 13 jogos e o apostador deve indicar em cada um deles a vitória do time 1, a vitória do time 2 ou o empate. Um jogador é premiado:
com 10 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e erra os dos 3 últimos;
com 11 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas um dos resultados dos 3 últimos;
com 12 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas 2 dos resultados dos 3 últimos;
com 13 pontos, se acerta os resultados dos 13 jogos.
Supondo que em cada jogo os resultados possíveis tenham probabilidades iguais, determine a probabilidade de um apostador ser premiado:
com 10 pontos;
com 11 pontos;
com 12 pontos;
com 13 pontos.
27. Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum?
28. Em um armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pares de sapatos desse armário. Qual a probabilidade de haver entre esses pés exatamente k pares de sapatos?
29. Colocam-se ao acaso n botões em um tabuleiro n x n, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna?
30. Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se 3 dos seus vértices, formando-se um triângulo. Qual é a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo?
31. Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos exatamente p bolas nas urnas?
32. João e Pedro lançam, cada um, um dado não-tendencioso. Qual é a probabilidade do resultado de João ser maior ou igual ao resultado de Pedro?
33. Numa prova há 7 perguntas do tipo verdadeiro-falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as 7 se:
escolhermos aleatoriamente as 7 respostas,
escolhermos aleatoriamente as respostas mas sabendo que há mais respostas “verdadeiro” do que “falso”.
34. Sabe-se que 80 % dos pênaltismarcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é 40 % se o cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:
Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?
Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual é a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?
35. Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a carta é de 8/10. A probabilidade de que o correio não perca é de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue é de 9/10. Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Marina não a tenha escrito?
36. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu neste dia?
37. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade de 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30 % das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?
38. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/3 e 2/3 respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma série de 3. Que série de jogos é mais favorável ao jogador: ABA ou BAB?
39. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p < 1.
 
Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais A e B?
40. Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo qual é a probabilidade de que seja ímpar?
41. Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu coroa, calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos 6 lançamentos supere o número de coroas.
42. Uma moeda é jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara, calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras.
43. Joga-se um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.
44. Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000 peças, das quais 3 % são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1 % são defeituosas. Da produção total em um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?
45. Um estudante resolve um teste do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a solução correta para 40 % das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade que ele sabia a resposta?
46. Sejam A e B dois eventos independentes tais que
P(A) = 1/3 e P(B) = ½
Calcule 
 
47. Sejam A e B dois eventos independentes tais que
Calcule P(B)
48. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:
A: cara na primeira jogada;
B: cara na segunda jogada
Verifique que A e B são independentes
49. Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos:
A = o resultado do 1º lançamento é par;
B = o resultado do 2º lançamento é par;
C = a soma dos resultados é par.
A e B são independentes? e A e C? e B e C? e A, B e C?
 50. Uma pessoa com um molho de n chaves tenta abrir uma porta. Apenas uma das chaves consegue abrir a porta. Qual é a probabilidade dela só conseguir abrir a porta na k-ésima tentativa:
supondo que após cada tentativa mal sucedida ela descarta a chave usada;
supondo que ela não faz isso.
 (Problema de Chevalier de Méré) Determine a probabilidade de obter:
ao menos um 6 em 4 lançamentos de um dado;
ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados.
51. A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?
52. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1ª carta ser uma dama e a 2ª ser de copas.
53. Um exame de laboratório têm eficiência de 95 % para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas. Se 0,5 % da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?
54. A lança uma moeda n+ 1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. Qual é a probabilidade de A obter mais caras que B?
55. Quantas pessoas você deve entrevistar para ter probabilidade igual ou superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje?
56. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. A e B sacam alternadamente, sem reposição, bolas dessa urna até que uma bola vermelha seja retirada. A saca a primeira bola. Qual é a probabilidade de A sacar a bola vermelha?
57. Em uma cidade com n+ 1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra pessoa, a qual por sua vez conta para uma terceira pessoa, etc. Calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes:
sem retornar à primeira pessoa;
sem repetir nenhuma pessoa.
58. Sacam-se, com reposição, n (n > 1) bolas de uma urna que contem 9 bolas numeradas de 1 a 9. Qual é a probabilidade do produto dos números das n bolas extraídas ser divisível por 10?
59. Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9?
60. Um júri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As decisões são tomadas por maioria. Outro júri tem probabilidade p de tomar uma decisão correta. Qual dos júris tem maior probabilidade de acerto?
61. Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os no lago novamente. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que 2 desses peixes haviam sido marcados por você.
se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes, encontrar dois peixes marcados?
para que valor de k essa probabilidade é máxima?
62. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
haver alguma coincidência de signos zodiacais?
as quatro terem o mesmo signo?
duas terem o mesmo signo, e as outras duas, outro signo?
três terem o mesmo signo e, a outra, outro signo?
todas terem signos diferentes? 
63. Deseja-se estimar a probabilidade p de um habitante de determinada cidade ser um consumidor de drogas. Para isso realizam-se entrevistas com alguns habitantes da cidade. Não se deseja perguntar diretamente ao entrevistado se ele usa drogas, pois ele poderia se recusar a responder ou, o que seria pior, mentir. Adota-se então o seguinte procedimento: propõe-se ao entrevistado duas perguntas do tipo SIM-NÃO:
Você usa drogas?
Seu aniversário é anterior ao dia 2 de julho?
64. Pede-se ao entrevistado que jogue uma moeda, longe das vistas do entrevistador, e que se o resultado for cara, responda à primeira pergunta e, se for coroa, responda à segunda pergunta.
sendo p1 a probabilidade de um habitante da cidade responder sim, qual é a relação entre p e p1?
se forem realizadas 1000 entrevistas e obtidos 600 sim é razoável imaginar que 
 Qual seria, então, sua estimativa de p?
65. Uma firma fabrica “chips” de computador. Em um lote de 1000 “chips”, uma amostra de 10 “chips” revelou 1 “chip” defeituoso. Supondo que no lote houvesse k “chips” defeituosos:
66. Calcule a probabilidade de em uma amostra de 20 “chips” haver exatamente 1 “chip”defeituoso.
Determine o valor de k que maximiza a probabilidade calculada no item a). 
67. Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?
68. Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla-escolha com 10 questões e 5 alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 4 questões?
69. Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas 5 caras antes de 3 coroas?
70. Lança-se um dado não viciado até a obtenção do terceiro 6. Seja X o número do lançamento em que isto ocorre. Calcule:
P(X = 10); b) P(X > 10); c) P(X = 10).
71. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empates. Qual á probabilidade de A ganhar a série?
72. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. O primeiro que obtiver 12 vitórias ganha a série. No momento o resultado é 6 x 4 a favor de A. Qual é a probabilidade de A ganhar a série sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B vencerem são respectivamente 0,4 e 0,6?
73. Motores de avião funcionam independentemente e cada motor tem uma probabilidade p de falhar durante o vôo. Um avião voa com segurança se a maioria de seus motores funciona. Para que valores de p um avião com 3 motores é preferível a um avião com 5 motores?
74. Suponha que uma característica (como a cor dos olhos, por exemplo) dependa de um par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é dominante puro, um com genes aa é um recessivo puro e um com genes Aa é um híbrido. Dominantes puros e híbridos são semelhantes em relação à característica. Filhos recebem um gen do pai e um da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e tenham 4 filhos.
Qual é a probabilidade do primeiro filho ser um recessivo puro?
Qual é a probabilidade de exatamente um dos 4 filhos ser um recessivo puro?
75. (O problema das caixas de fósforos de Banach�) Um matemático sai de casa todos os dias com duas caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez que ele que acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daí um palito. O matemático é meio distraído, de modo que quando ele retira o último palito de uma caixa, ele não percebe que a caixa está vazia. Como ele fuma muito, em certa hora ele pega uma caixa e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade de nesse momento a outra caixa conter exatamente k (
) palitos?
76. Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três somas iguais a 3?
77. Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançando-a 12 vezes qual o mais provável valor do número de caras obtidas? 
78. Suponha que uma variável aleatória T tem a seguinte distribuição de probabilidade
	T
	0 1 2
	P(T=t)
	0,5 0,3 0,2
Ache P(T <= 0)
Ache P(T >= 0 and T < 2)
Calcule E(T), a média da variável aleatória T.
79. Suponha que você escolha uma bola de uma urna contendo 7 bolas vermelhas, 6 bolas brancas , 5 bolas azuis e 4 bolas brancas. Qual é a probabilidade de que você escolha uma bola vermelha?
80. Suponha que você escolha uma bola aleatoriamente de uma urna 7 bolas vermelhas, 6 bolas brancas, 5 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de que você escolha uma bola branca?
81. Um dado não viciado é jogado duas vezes. Ache a probabilidade de sair um 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 ou 3 no segundo lance.
82. Ache a probabilidade de não sair um 5 ou 6 em qualquer uma de duas jogadas de um dado não viciado.
83. Você tem um baralho de 52 cartas bem embaralhadas. Qual é a probabilidade de escolher dois valetes consecutivos se a primeira carta não é recolocada no baralho?
84. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis. Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e vermelha dado que cada bola é recolocada na urna depois de escolhida.
85. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis. Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e vermelha dado que cada bola não é recolocada na urna depois que ela é escolhida.
86. A urna A contem 2 bolas vermelhas e 3 azuis. A urna B contem 8 bolas vermelhas e 2 azuis. Você joga uma moeda honesta. Se amoeda mostra cara você escohe uma bola da urna A. Se a moeda mostra coroa você escolhe uma bola da urna B. Determine a probabilidade de que você escolha uma bola vermelha.
87. Você tem 6 bolas, cada uma de cor diferente. De quantas maneiras distintas você pode dispo-las em uma fila?
88. De quantas maneiras possíveis 8 pessoas podem sentar-se em um banco se apenas estão disponíveis 3 assentos?
89. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os dígitos 0,1,2,..,9 se repetições são permitidas?
90. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os dígitos 0,1,2,..,9 se repetições não são permitidas?
91. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é possível dispo-los se todos os livros de cada assunto precisam ficar juntos?
92. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é possível dispo-los se somente os livros de Ciências precisam ficar juntos?
93. De quantas maneiras pode um comitê de 6 pode ser escolhido de 10 pessoas?
94. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se um particular médico deve ser incluído e se qualquer enfermeira pode ser incluída?
95. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se uma particular enfermeira não pode ser incluída no comitê?
96. De quantas maneiras diferentes saladas de frutas podem ser feitas de maçã, laranja, tangerina e banana?
97. A partir de 6 consoantes e 4 vogais, quantas combinações distintas de letras podem ser feitas? 
98. Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos?
a. A: os números pares ; B: o número 5;
b. A: os números ímpares; B: os números maiores do que 
10;
c. A: os números menores que 5; B: todos os números negativos
d. A: os números maiores do que 100; B: os números menores do que 
200; 
e. A: os números negativos; B: os números pares
99. Uma carta é escolhida de um baralho padrão de 52 cartas. Ao descrever a ocorrência de dois possíveis eventos, um Ás e um Rei, estes dois eventos são:
independentes
mutuamente exclusivos
variáveis aleatórias
aleatoriamente independentes.
100. Suponha que certa característica oftalmológica é associada com a cor dos olhos. 300 indivíduos selecionados aleatoriamente são estudados e apresentam os seguintes resultados:
	Característica
	Cor dos olhos
	
	Azuis
	Castanhos
	Outra
	Total
	Sim
	70
	30
	20
	120
	Não
	20
	110
	50
	180
	Total
	90
	140
	70
	300
Qual é a probabilidade de que uma pessoa tenha olhos azuis ? 
O que você espera que seja o valor de P(Ter a característica e olhos azuis) se a cor dos olhos ea existência da característica são independentes ? 
Quais das seguintes expressões descrevem a relação entre os eventos A = a pessoa tem olhos castanhos e B = a pessoa tem olhos azuis ? (marque a resposta correta).
i. independente ii. exaustivo
iii. simples iv. mutuamente exclusivos
101. Uma amostra de 1000 pessoas diagnosticada com certa doença é distribuída de acordo com a altura e o status (evolução) da doença a partir de um exame clínico de acordo com a seguinte tabela:
	
	Sem a doença
	Fraca
	Moderada
	Severa
	Totais
	Alta
	122
	78
	139
	61
	400
	Média
	74
	51
	90
	35
	250
	Baixa
	104
	71
	121
	54
	350
	Totais
	300
	200
	350
	150
	1000
Como você estimaria, a partir dessa tabela, a probabilidade de ser média ou baixa em altura e ter moderado ou severo grau de evolução da doença ? 
a. 600/1000 * 500/1000 d. 300/600
b. 300/500 e. 800/1000
300/1000
102. De cerca de 25 artigos, nove são defeituosos, seis tem defeitos superficiais e três tem defeitos importantes. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado aleatoriamente tenha defeitos importantes dado que ele tem defeito. 
1/3
0,25
0,24
0,08
103. A seguinte tabela de duas entradas mostra as frequências de ocorrência de uma exposição hipotética e a doença em um grupo de 1000 pessoas.
	Doença
Exposição
	Presente
	Ausente
	Totais
	Presente
	75
	325
	400
	Ausente
	25
	575
	600
	Totais
	100
	900
	1000
Qual é a probabilidade de exposição no grupo ?
Qual é a probabilidade conjunta de tanto exposição como de doença estar presente no grupo ?
Calcule a probabilidade de doença estar presente condicionada a presença de exposição e condicionada a ausência de exposição.
104. Um epidemiologista acredita que as rodovias têm alguma relação com o desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de uma pessoa estar morando a menos de uma milha das rodovias, dado que ela tem a doença, é 0,80. Você concorda com ele ? Porque ou porque não ?
105. Um dormitório de um campus universitário abriga 200 estudantes. 120 são homens, 50 são dos graus mais avançados e 40 são homens dos graus mais avançados. Um estudante é selecionado ao acaso. A probabilidade de selecionar um estudante de grau menos elevado, dado que o estudante é mulher, é:
(a) 7/8 (d) 7/20
(b) 7/15 (e) 1/4
2/5
106. Uma amostra de 2000 indivíduos é distribuída de acordo com a cor de olho 
e a presença ou ausência de uma certa característica oftalmológica como segue:
	Característica
	Cor dos olhos
	
	Castanho
	Azul
	Outro
	
	Sim
	400
	270
	130
	800
	Não
	200
	650
	350
	1200
	Total
	600
	920
	480
	2000
Em uma seleção aleatória de um indivíduo da população em estudo, 
Qual é sua estimativa da probabilidade de: 
a pessoa tem olhos azuis? ___________ 
a característica está presente e a pessoa tem castanhos? ____________ 
a pessoa nem não tem olhos castanhos nem olhos azuis dados 
que a característica está ausente? _______________ 
d. a pessoa nem não tem olhos de outra cor nem olhos azuis e a 
característica está presente _______________ 
e. a pessoa não tem olhos castanhos? _______________ 
f. a pessoa tem olhos azuis ou nem não tem olhos azuis nem olhos castanhos? __________ 
g. a pessoa não tem a característica ou não tem olhos castanhos? ________
107. Um sindicato de trabalhadores local consiste de associados encanadores e eletricistas, classificado de acordo com grau: 
	
	Aprendiz
	Jornaleiro
	Oficial
	Total
	Encanadores
	25
	20
	30
	75
	Eletricistas
	15
	40
	20
	75
	
	40
	60
	50
	
Um associado do sindicato é selecionado ao acaso. Dado que a pessoa selecionada é um encanador, a probabilidade de que ele é um jornaleiro é: 
1/2
1/3
4/15
2/15
nenhuma das anteriores.
108. Entre vinte e cinco artigos, nove são defeituosos, seis tem somente um defeito não importante e três têm um defeito importante. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado ao acaso tenha defeitos importantes dado que ele tenha defeitos.
1/3
0,25
0,24
0,08
109. Os depositantes do Banco X são categorizados por idade. Selecionaremos aleatoriamente um indivíduo desse grupo de 2.000 depositantes
	Sexo/
Idade
	Homem 
	Mulher
	30 ou menos 
	800 
	600
	31 ou mais 
	400 
	200
Então P(mulher de 30 ou menos) =
a) 2/5 b) 3/4 c) 3/7 d) 3/10 e) nenhuma das anteriores
Então P[homem ou (31 ou mais)] =
a) 1/5 b) 3/10 c) 1/2 d) 7/10 e) nenhuma das anteriores
Então P(mulher) =
a) 3/10 b) 2/5 c) 3/5 d) 2/3 e) nenhuma das anteriores
110. Qual é a probabilidade condicional de que um depositante escolhido tenha idade de 30 anos ou menos, dado que ele é homem?
a) 2/3 b) 7/10 c) 4/7 d) 2/5 e) nenhuma das anteriores
São as idades e sexos dos depositantes independentes para o Banco X? Porque?
111. Um epidemiologista sente que as rodovias têm alguma relação com o desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de que uma pessoa esteja morando a uma milha ou menos da rodovia, dado que ela tem a doença é 0,80. Você concorda com ele? Explique porque.
112. Existem duas urnas marcadas com H e T. A urna H contem 2 bolas vermelhas e 1 bola azul. A urna T contem 1 bola vermelha e 2 azuis. Uma moeda é jogada ao acaso. Se sai cara é escolhida uma bola da urna H. Se sai coroa, uma bola é escolhida da urna T. Ache as seguintes probabilidades.
a. P(cara e vermelha) b. P(coroa) c. P(vermelha)
d. P(azul) e. P(cara|vermelha)
113. A seguinte tabela de contingência fornece uma distribuição de freqüências conjunta para os votos populares apurados na eleição presidencial de 1984 por região e por partido político. Os dados estão em milhares, arredondados para o mais próximo milhar. 
	PRIVATE�
	 
	Democrata 
	Republicano 
	Outros 
	 
	 
	 
	P1 
	P2 
	P3 
	Total 
	Nordeste 
	R1 
	9.056 
	11.336 
	101 
	20.493 
	Meio Oeste
	R2 
	10.511 
	14.761 
	169 
	25.441 
	Sul 
	R3 
	10.998 
	17.699 
	136 
	28.833 
	Oeste 
	R4 
	7.022 
	10.659 
	214 
	17.895 
	Total 
	 
	37.587 
	54.455 
	620 
	92.662 
  
Quantos pessoas votaram no partido Republicano?
Quantas pessoas no Meio Oeste votaram?
Quantas pessoas no Sul votaram no partido Democrata?
Determine a probabilidade dos eventos R3 e P2 (simultâneos).
Calcule Pr(R3 ou P2), usando a tabela de contingência diretamente
Calcule Pr(R3 ou P2), usando a regra geral da adição de probabilidade, isto é, Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr (A e B).
Ache Pr(R3 | P2).
Calcule Pr(P1) e Pr(P1 | R4).
 i. São os eventos P1 e R4 independentes? Explique sua resposta.
 São os eventos P1 e R4 mutuamente exclusivos? Explique sua resposta. 
114. Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual a probabilidade de:
a. Ser assinante somente da empresa TA?
b. Assinar pelo menos uma delas?
c. Não ter TV a cabo?
115. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as de mais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se:
a. Qual aprobabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio
hormonal?
b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteiro?
c. Se escolhemos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?
 
116. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educação e Saúde é de 0.4; 0.6 e 0.9 para os candidatos de direita, centro e esquerda respectivamente.
a. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?
b. Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?
117. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0.9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade de 0.1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?
118. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0.6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0.8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0.4. Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0.7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria com probabilidade 0.5. Quando não há nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqüilo e não perde a paciência. Determine a probabilidade de:
a) Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus filhos.
b) Ter havido briga, dado que o pai perdeu a paciência.
119. Na verificação rotineira de máquinas, observam-se as partes elétricas, mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em qualquer uma das partes é 0.01; independente das demais. O tempo de conserto é de 10, 20 ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se a falha elétrica aparece junto com a falha mecânica, teremos um acréscimo de 20 minutos devido à complicações no conserto. Para uma máquina escolhida ao caso, qual a probabilidade do tempo de conserto:
a. Durar menos de 25 minutos?
b. Ultrapassar 40 minutos?
�
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇAO BINOMIAL
1. O número de paradas de máquinas em uma grande fábrica durante uma semana tem a seguinte distribuição de probabilidade:
	B
	5
	10
	15
	20
	25
	P(B = b)
	0,25
	0,30
	0,25
	0,15
	0,05
Usando essa distribuição, Calcule E[B] e V[B]
2. A Companhia Beta comprou 80 componentes eletrônicos de um fornecedor que declara que somente 2 % dos componentes que ele vende são defeituosos e que os componentes defeituosos são misturados aleatoriamente com os componentes bons. Cada componente defeituoso custará a Beta US$ 250 em custos de reparo. Se o fornecedor está certo, qual será o número esperado de componentes defeituosos ? E qual é o custo esperado de reparo?
3. Um vendedor de carros oferece a todos os seus clientes potenciais uma corrida de 30 milhas no tipo de carro que o cliente está interessado em comprar, mais um almoço ou jantar gratuitos. Todos estes custos são cerca de US$ 50. Se o cliente não compra o carro, o vendedor perde US$ 50, mas se o cliente comprar o carro, o lucro médio do vendedor é de cerca de US$ 500 (dos quais os custos da corrida e da refeição devem ser deduzidos). No passado, 20 % dos clientes compraram o carro depois da corrida e da refeição gratuita. Qual é o lucro esperado para o vendedor nessa situação?
4. Um processo de produção é paralisado para ajuste toda vez que uma amostra aleatória de cinco itens, selecionada com reposição, apresenta dois ou mais defeituosos. Ache a probabilidade de que o processo será paralisado após uma inspeção se ele está produzindo:
20 % de defeituosos
10 % de defeituosos
5 % de defeituosos
5. Um simples míssil de certa variedade tem uma probabilidade de ¼ de derrubar um bombardeiro, uma probabilidade de ¼ de danificá-lo e uma probabilidade de ½ de errá-lo. Além disso, dois tiros danificadores derrubarão o avião. Se quatro destes mísseis são lançados, qual é a probabilidade de derrubar um avião?
6. De acordo com um cientista político, a população votante de certa cidade consiste de 46 % do candidato A, 40 % do candidato B, 11 % do candidato C e 3 % do candidato D. Em uma amostra aleatória de 5 votantes, qual é a probabilidade de que a amostra contenha:
Dois votantes para o candidato A e um de cada das outras categorias?
Três votantes para o candidato A e dois para o candidato B?
Nenhum votante para o candidato D?
7. Em cada caso, determine se a função dada é uma distribuição de probabilidade.
a. P(x)	= 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .
b. P(x)	= 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .
c. P(x)	= 3/[4(3 - x)! x!] onde x = 0, 1, 2, 3,
d. P(x)	= 0,4(0,6)x-1 onde x = 1, 2, 3, . . . .
8. A média e o desvio-padrão de uma variável aleatória x são 5.0 e 2,0, respectivamente. Determine a média e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatórias:
3 + x
3x
3x + 4
9. Selecionam-se aleatoriamente os algarismos (0, 1, 2,.... 9) para números de telefone em pesquisas. A variável aleatória x é o algarismo escolhido.
Ache a média e o desvio-padrão de x.
Ache o escore z para cada um dos valores possíveis de x; determine então a média e o desvio-padrão da população de escore z.
10. Suponha que a variável aleatória discreta x possa tomar os valores 1, 2, ... n, e que esses valores sejam igualmente prováveis.
Mostre que 
 = (n + 1) /2.
h. Mostre que 
 = (n2 - 1) / 12.
c. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente um número inteiro entre 1 e 50; a variável aleatória x é o valor do número escolhido. Determine a média e o desvio-padrão de x.
(Sugestão: 1 + 2 + 3 + --- + n = n (n + 1) /2
12 +22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.)
11. Se um caso satisfaz todas as condições de um experimento binomial, exceto pelo fato de o número de provas não ser fixo, pode-se aplicar a distribuição geométrica. A probabilidade de obter o primeiro sucesso na xma prova é dada por P(x) = p(l - p)x -1, onde p é a probabilidade de sucesso em uma prova. Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2. Determine a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente.
12. No caso de amostragem sem reposição de uma população finita, pequena, não devemos utilizar a distribuição binomial, porque os eventos não são independentes. Se a amostragem se faz sem reposição e os resultados comportam apenas dois tipos utiliza-se a distribuição hipergeométrica. Se uma população tem A objetos de um tipo e os B objetos restantes são do outro tipo e se extraímos n objetos sem reposição, então a probabilidade de obter x objetos do tipo A e n - x objetos do tipo B é
Na Loto 54, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54 (sem repetição), sorteando-se posteriormente uma combinação ganhadora. Determine a probabilidade de:
Acertar todos os 6 números ganhadores. 
Acertar exatamente 5 dentre os 6 números ganhadores.
Acertar exatamente 3 dentre os 6 números ganhadores. 
Não acertar qualquer número ganhador.
13. A distribuição binomial se aplica apenas a casos que envolvem 2 tipos de resultado, enquanto a distribuição multinomial envolve mais de 2 categorias. Suponha que tenhamos 3 tipos de resultados mutuamente excludentes denotados por A, B: e C. Seja P(A) = p1, P(B) = P2 e P(C) = p3, Em n provas independentes, a probabilidade de x1 resultadosdo tipo A, x2 resultados do tipo B e x3 resultados do tipo C é dada por
14. Um experimento de genética envolve 6 genótipos mutuamente excludentes identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente prováveis. Testados 20 indivíduos, determine a probabilidade de obter exatamente 5 A's, 4 B's, 3 C's, 2 D's, 3 E's e 3 F's desenvolvendo a expressão acima de forma que ela se aplique a 6 t17. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus computadores necessitarão de reparos sob garantia dentro de um mês da expedição. Em um mês típico, são expedidos 279 computadores.
Se x é a variável aleatória que representa o número de computadores que exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no mês, determine a média e o desvio-padrão de x.
Para um mês típico em que são vendidos 279 computadores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o número de computadores, que exigem reparo sob garantia dentro de um mês? Qual seria um valor excepcionalmente elevado? (Esses valores ajudam a determinar o número de técnicos necessários.)
15. a.	Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual é o número mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?
b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o número mínimo determinado na parte (a), ache a média e o desvio-padrão do número de itens bons em tais lotes.
16. Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três acidentes, qual é a probabilidade de que:
exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado?
No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado?
Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes causados por motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes
 
	PRIVATE�
	pdf (*)
	Cdf (**)
	0
	0,0742
	0,0742
	1
	0,2205
	0,2947
	2
	0,2947
	0,5893
	3
	0,2334
	0,8227
	4
	0,1213
	0,9440
	5
	0,0432
	0,9873
	6
	0,0107
	0,9980
	7
	0,0018
	0,9998
	8
	0,0002
	1,0000
	9
	0,0000
	1,0000
	10
	0,0000
	1,0000
  
(*) Pdf = Probability Distribution Function (Função de Distribuição de Probabilidade)
(**) Cdf = Cumulative Distribution Function (Função de Distribuição Cumulativa)
Ache Pr(x = 3).
Ache Pr(5 < x ( 9).
Qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima?  
17. Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera. A distribuição de probabilidade do número de cadeiras ocupadas, x, é dada por
	x
	 p(x)
	0
	 0,304
	1
	 0,228
	2
	 0,171
	3
	 0,128
	4
	 0,096
	5
	 0,073
a. Ache a média 
 da variável aleatória x.
b. Calcule o desvio padrão, 
, da variável aleatória x.
c. Calcule Pr(2 ( x ( 5).
d. Desenvolva (no formato tabular a cdf (Cumulative Distribution Function - Função de Distribuição Acumulada) dessa distribuição.
18. Uma função de probabilidade é uma regra de correspondência ou uma equação que:
a) Acha o valor médio da variável aleatória
b) Atribui valores de x a eventos de um experimento probabilístico
c) Atribui probabilidades para valores de x
d) Define a variabilidade no experimento
e) Nenhuma das anteriores é correta
19. Suponha que a variável aleatória T tenha a seguinte distribuição de probabilidade:
 
	 t 
	 0 
	 1 
	 2
	 P(T = t) 
	 0,5 
	0,3 
	0,2
 a. Ache P(T <= 0)
 b. Ache P(T >= 0 e T < 2)
Calcule E(T), a média da variável aleatória T.
20. Um teste de estatística consiste em 10 questões do tipo múltipla escolha, cada uma com 5 respostas possíveis. Para alguém que responda aleatoriamente (por palpite) todas as questões, determine a probabilidade de passar, se o percentual mínimo para aprovação é 60%. A probabilidade é suficientemente elevada para justificar o risco de tentar passar por palpite em lugar de estudar?
21. A Air America adota a política de vender 15 passagens para um avião que dispõe de apenas 14 assentos. (A experiência passada mostra que apenas 85% dos que reservam lugar comparecem efetivamente ao embarque.) Determine a probabilidade de não haver assentos suficientes no caso de a Air America vender 15 passagens.
22. De acordo com o Ministério da Justiça dos EUA, 5% de todos os lares americanos sofreram pelo menos um assalto no último ano, mas a polícia de Newport relata 4 casos de assalto em uma comunidade de 15 lares, no último ano. Com base na probabilidade de 4 ou mais assaltos em uma comunidade de 15 lares em um ano, pode-se dizer que aquela comunidade foi vítima apenas do acaso?
23. A Telektronic Company compra grandes lotes de lâmpadas fluorescentes e adota o seguinte método: selecionar aleatoriamente e testar 24 lâmpadas e aceitar todo o lote se no máximo uma não funcionar. Se determinado lote de lâmpadas tem efetivamente 4 % de unidades defeituosas, qual é a probabilidade de todo o lote ser aceito?
24. A probabilidade do 7 em uma roleta é 1/38. Em um experimento, a roleta é girada 500 vezes. Se esse experimento é repetido muitas vezes, determine a média e o desvio-padrão do número de 7s.
25. A probabilidade de ganhar na loteria do estado de Nova York é de 1/25.827.165. Determine a média e o desvio-padrão do número de ganhos para alguém que joga duas vezes por semana durante 50 anos (ou seja, 5200 vezes). (Expresse suas respostas com três algarismos significativos.)
26. Em uma pesquisa sobre reconhecimento de marca, 95% dos consumidores reconheceram Coke (com base em dados da Total Research Corporation). Deve-se fazer uma nova pesquisa junto a 1200 consumidores selecionados aleatoriamente. Para tais grupos de 1200,
a. Determine a média e o desvio-padrão do número dos que reconhecem a marca Coke.
b. É incomum obter 1170 consumidores que reconhecem o nome Coke?
considere incomum qualquer resultado que difira da média por mais de dois desvios-padrão; isto é, os valores incomuns ou são inferiores a 
 ou são superiores
.
27. 0 Departamento de Saúde do Estado de Nova York relata uma taxa de 10% de incidência do vírus HIV para a população "de risco". Desenvolve-se em uma região uma intensa campanha educativa no sentido de reduzir essa taxa de 10%. Posto em prática o programa, faz-se um estudo subseqüente sobre 200 indivíduos do grupo de risco.
a. Admitindo que o programa não tenha produzido efeito, determine a média e o desvio-padrão do número de casos de HIV em grupos de risco de 200 pessoas.
b. Entre as 200 pessoas submetidas ao teste subseqüente, 7% (ou seja, 14 pessoas) tiveram resultado positivo no teste de HIV. Se o programa não produz efeito, essa taxa é excepcionalmente baixa? Este resultado sugere que o programa é eficaz?
28. A Loja de Departamentos Newtower constatou uma taxa de 3,2% de queixas de clientes e decidiu reduzir essa taxa mediante um programa de treinamento de seus empregados. Ao fim do programa, observaram-se 850 clientes.
a. Admitindo que o programa de treinamento não tenha produzido efeito, determine a média e o desvio-padrão do número de queixas nesses grupos de 850 clientes.
b. No grupo de 850 clientes observados, 7 tiveram alguma queixa. Esse resultado é excepcional? 0 programa de treinamento parece ter sido eficaz?
29. De acordo com a Nielsen Media Research, Inc., 30% dos televisores são sintonizados na NFL Monday Night Football quando ele é transmitido. Suponha que esse programa esteja sendo transmitido e que sejam aleatoriamente escolhidos 4000 televisores.
a. Para tais grupos de 4000, determine a média e o desvio-padrão do número de televisores sintonizados no NFL Monday Night Football.
b. É fato incomum constatar que1272 dentre os 4000 televisores estão sintonizados no NFL Monday Night Football.? Qual é a causa provável de uma taxa tão superior a 30%?
30. Um patologista sabe que 14,9% de todas as mortes podem ser atribuídas a infarto do miocárdio.
a. Ache a média e o desvio-padrão do número dessas mortes que ocorrerão em uma região típica com 5000 mortes.
b. Em certa região, examinam-se 5000 certidões de óbito, constatando-se 896 mortes por infarto do iniocárdio. Há razões, para preocupação? Por quê?
31. Um teste de percepção extra-sensorial envolve o reconhecimento de uma forma. Pede-se a 50 indivíduos de olhos vendados que identifiquem uma forma dentre as possibilidades de um quadrado, um círculo, um triângulo, uma estrela, um coração e o perfil do ex-presidente Millard Fillmore (1800-1874).
a. Admitindo que todos os 50 indivíduos dêem respostas aleatórias, determine a média e o desvio-padrão do número de respostas corretas nesse grupo de 50.
b. Se 12 das 50 respostas são corretas, esse resultado pode ter ocorrido por mera chance? 0 que podemos concluir?
32. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus computadores necessitarão de reparos sob garantia dentro de um mês da expedição. Em um mês típico, são expedidos 279 computadores.
a. Se x é a variável aleatória que representa o número de computadores que exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no mês, determine a média e o desvio-padrão de x.
b. Para um mês típico em que são vendidos 279 computadores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o número de computadores, que exigem reparo sob garantia dentro de um mês? Qual seria um valor excepcionalmente elevado? (Esses valores ajudam a determinar o número de técnicos necessários.)
33. a.	Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual é o número mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?
b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o número mínimo determinado na parte (a), ache a média e o desvio-padrão do número de itens bons em tais lotes.
34. A Washington and Chang Trucking Company opera uma grande caminhões. No ano passado, houve 84 casos de avariaria.
a. Determine o número diário médio de avarias.	
b. Determine a probabilidade de 2 caminhões apresentarem avaria em um dia selecionado aleatoriamente. 
35. Um cassino é flagrado tentando utilizar um par de dados viciados. No julgamento, ficou evidenciado que alguns pontos pretos eram escavados, enchidos com chumbo e repintados a fim de parecerem normais. Além da evidência física, os dados foram jogados no tribunal, com os seguintes resultados;
12 8 9 12 12 9 8 7 12 10
12 3 2 12 10 9 12 11 11 12
3. Um perito em probabilidade afirma que, na jogada de dados equilibrados (honestos), a média deve ser 7,0, e o desvio-padrão deve ser 2,4. 
Determine a média e o desvio-padrão dos valores amostrais obtidos, no julgamento. 
Com base nos resultados obtidos no julgamento, qual é a probabilidade de obter um 12? Compare esse resultado com a probabilidade de 1/36 (ou 0,0278) para dados equilibrados.
Se a probabilidade de obter 12 com dados equilibrados é 1/36, determine a probabilidade de obter ao menos um 12 em 20 jogadas de dados equilibrados.
Se o leitor fosse advogado de defesa, como refutaria os resultados obtidos no tribunal?
36. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
Determine a função de probabilidade de X.
37. As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80% de probabilidade de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condições, calcule a probabilidade de:
a. Oito ficarem completamente curadas.
b. Entre 3 e 5 (inclusive) não ficarem curadas.
c. Não mais de 2 permanecerem com a doença.
38. Considere uma variável aleatória X ~ G(0.8). Construa uma nova variável Y tal que Y = X para os valores 0,1,2,...,5 e Y = 6 para X ³ 6. Dessa forma, Y corresponde ao truncamento de X a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a função de probabilidade de Y e calcule:
a. P(Y = 2).
b. O valor da função de distribuição (acumulada) no ponto 2.5.
c. P(Y=3 | Y£ 5).
d. P(Y³ 3,X<8)
39. Em um estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exemplares de espécies A e 5 da espécie B. A evolução de peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas periódicas. Determine a probabilidade de, em três jacarés capturados de uma vez, obtermos:
a. Todos da espécie A.
b. Nem todos serem da espécie B.
c. A maioria ser da espécie A.
40. Para condenar um acusado são necessários ao menos 9 votos de um júri composto por 12 jurados. Suponha que a probabilidade de que um jurado vote que um culpado seja inocente é 0,2 e a probabilidade de que um jurado vote que um inocente seja culpado é 0,1. Se cada jurado age independentemente e se 65% dos acusados são culpados, encontre a probabilidade de que o júri tome a decisão correta. Que porcentagem de culpados é condenada?
41. Em 10000 lançamentos independentes de uma moeda obteve-se 5800 caras. É razoável assumir que a moeda não é justa? Explique analiticamente.
42. Se X _e uma variável aleatória com media µ e desvio padrão σ. Mostre que E[(X - b)2], como função de b, é minimizada quando b = µ.
43. Para determinar a existência de certa doença, 100 pessoas são submetidas a um teste sanguíneo. Contudo decide-se realizar o teste em grupos de 10 pessoas, isto _e, o sangue de cada grupo será misturado para fazer o teste. Se o resultado for negativo um teste é suficiente para as 10 pessoas e se o teste é positivo, cada uma das 10 pessoas será testada individualmente e, para tal grupo serão realizados 11 testes. Assuma que qualquer pessoa, independente das outras, tenha probabilidade 0.1 de ter a doença e calcule o numero esperado de testes necessários para as 100 pessoas.
44. Uma urna contem 5 bolas brancas e seis pretas, enquanto uma segunda urna contem 8 bolas brancas e 10 pretas. Duas bolas são selecionadas aleatoriamente da primeira e colocadas na segunda urna. Se três bolas são selecionadas casualmente da segunda urna, qual o número esperado de bolas brancas entre estas três?
45. Um bandido é preso em uma cela que contém 3 portas. A primeira porta o leva a um túnel que o conduz à própria cela depois de 2 dias de viagem. A segunda porta leva-o a um túnel que o conduz à própria cela depois de 4 dias de viagem. A terceira porta o conduz à liberdade depois de um dia de viagem. Se assumirmos que o bandido seleciona as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0.5, 0.3 e 0.2 respectivamente, qual o número esperado de dias para que alcance a liberdade?
46. Considere uma urna contendo um grande número de moeda e suponha que cada uma das moedas tem alguma probabilidade p, 0 < p < 1, de resultar cara quando lançada. Contudo este valor p varia de moeda para moeda. Suponha que a composição da urna é tal que se uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna, então sua probabilidade de cara, p, pode ser considerada como sendo o valor de uma variável aleatória uniformemente distribuída em [0; 1]. Se uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna e lançada duas vezes calcule a probabilidade de que o primeiro lançamento resulte em cara. Calcule a probabilidade de que os dois lançamentos resultem em cara.
47. Lança-se uma moeda equilibrada até observar 100 caras. Determine a probabilidade aproximada de que sejam necessários, no mínimo, 221 lançamentos.
48. Uma urna contem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas amostras aleatórias de tamanhos 3 e 3 são retiradas da urna, sucessivamente e sem reposição. Seja X o número de bolas brancas na primeira amostra e Y o número de bolas brancas na segunda amostra. Calcule E[Y ].
49. O submarino Malik I dispara cinco torpedos,em cadência rápida, contra o navio Pégaso. Cada torpedo tem probabilidade iguala 75% de atingir o alvo. Qual a probabilidade de o navio receber pelo menos um torpedo?
50. A probabilidade de recuperação de uma cápsula registradora de dados, montada em um balão meteorológico, é iguala 90%. Lançados sete balões, qual a probabilidade de serem recuperadas exatamente cinco cápsulas ?
51. A probabilidade de um sapato apresentar defeito de fabricação é de 2 %. Para um par de sapatos ser rejeitado pelo controle de qualidade basta que um dos pés, direito ou esquerdo, apresente defeito. Numa partida de 10.000 pares, qual o valor esperado e o desvio-padrão do número de pares totalmente defeituosos?
52. Certa empresa fabricante de artigos para desenho resolveu inserir em seus produtos determinados tipos de lápis, cujos grafites são importados. Esses grafites vêm acondicionados em embalagens contendo seis unidades cada. Após a primeira remessa recebida, verificou-se que 3% deles são recebidos com quebra. Calcular a probabilidade de:
	a.	menos da metade dos grafites de certa caixa apresentarem defeitos;
	b.	no mínimo três caixas, de um grupo de oito, apresentarem um grafite quebrado.
53. Uma organização de testes deseja avaliar o peso de determinado produto e verificar se está de acordo com as especificações da embalagem. Para tal, seleciona, aleatoriamente, uma amostra de cinco embalagens do mesmo produto no estoque e classifica a marca satisfatória se nenhum dos produtos apresentar diferenças entre peso versus especificação da embalagem nessa amostra. Sabe-se que, anteriormente, esse mesmo produto apresentou uma diferença no peso de 10% por unidade produzida. Calcular a probabilidade de que:
	a.	o seu peso venha a ser considerado novamente insatisfatório na amostra;
	b.	no máximo, uma amostra, de um grupo de seis amostras desse produto, venha a ser considerado satisfatório;
	c.	apenas duas amostras, do mesmo grupo de seis, tenha no mínimo dois produtos com pesos diferentes das especificações por amostra.
54. Uma pesquisa de opinião pública revelou que 1/4 da população de determinada cidade assiste regularmente à televisão. Colocando 300 pesquisadores, sendo que cada um possa entrevistar 10 pessoas diariamente, fazer uma estimativa de quantos desses pesquisadores informarão que até 50% das pessoas entrevistadas são realmente telespectadoras habituais.
55. Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 20%, determinar a média e o desvio-padrão da distribuição de peças defeituosas de um total de 600.
56. Determinada empresa tem quatro eventuais compradores de seu produto, que pagam preços em função da qualidade:
•	o comprador A paga 1.300 dólares por peça, se em uma amostra de cinco peças não encontrar nenhuma defeituosa e 650 dólares pelo restante;
•	o comprador B paga 900 dólares por peça, desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em cinco peças, pagando pelo restante 700 dólares;
•	o comprador C paga 620 dólares por peça, aceitando até três defeituosas em uma amostra de cinco, e paga pelo restante 430 dólares;
•	o comprador D não exige nenhuma inspeção, mas paga apenas 540 dólares por peça.
Qual dos compradores não deveria ser escolhido pelo empresário, se ele sabe que na produção 8% são totalmente defeituosas?
57. A Empresa Spelunke S.A. adota o seguinte critério no setor de controle de qualidade: para cada lote de 90 unidades de seu produto, testa, por amostragem, apenas oito. O critério de avaliação final é feito da seguinte maneira: se forem encontradas no máximo duas peças defeituosas, o lote é aceito normalmente, caso contrário, deve-se passar por outra inspeção. Admitindo-se a existência de três peças defeituosas por lote, calcular:
a. a probabilidade de não haver inspeção total em certo lote;
b. a probabilidade de somente dois lotes, de um grupo de cinco lotes iguais, apresentarem, no máximo, uma peça defeituosa por lote;
c.	se o custo operacional para cada lote for de 600 dólares, estimar o custo médio de inspeção para 60 lotes recebidos.
58. Dois terços da população de certo município não assistem regularmente a programas de televisão. Colocando-se 400 pesquisadores, cada um entrevistando oito pessoas, estimar quantos desses pesquisadores informarão que até duas pessoas são telespectadoras habituais.
59. O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é 1,7 carro por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos?
60. Uma pesquisa científica revelou que para cada mil pessoas entrevistadas, uma está sujeita a choques traumáticos, quando da aplicação de penicilina. Determine a probabilidade de que, entre três pessoas entrevistadas ao acaso, uma sofra aquele choque nas mesmas condições.
61. Sabe-se por experiência que 1,5% das pastilhas de freio fabricadas por determinada empresa apresentam defeito. O controle de qualidade da empresa, para tal, escolheu, ao acaso, cem peças de pastilhas. Determinar a probabilidade de que:
a. no máximo duas sejam defeituosas;
b. pelo menos duas apresentem defeitos.
62. Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma página editada com erro igual a 0,8%. Em um livro de 500 páginas, determinar a probabilidade de se encontrar, no máximo, quatro páginas com correção.
63. Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo, três caminhões por dia. Se chegarem mais que três caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor, e, nesse caso, há uma perda média de 800 dólares, por dia, em que não se pode aceitar todos caminhões. Sabendo-se que o número de caminhões que chegam diariamente obedece à distribuição de Poisson de média 2, calcular:
a. a probabilidade de chegarem de três a cinco caminhões no total de dois dias;
b. a probabilidade de, em certo dia, ter-se que mandar caminhões para outro distribuidor;
c. a perda média mensal (30 dias) por causa de caminhões que não puderam ser aceitos.
64. Ao decolar de um porta-aviões, determinado avião tem probabilidade igual a 0,02% de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade. de dois ou mais acidentes dessa natureza em 500 decolagens?
65. Uma loja vende, em média, 2,5 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar o expediente, verifica-se existirem três fogões em estoque, e sabe-se que a nova remessa só chegará depois de dois dias. Qual a probabilidade de, no fim desses dois dias, a loja não ter deixado de atender, por falta de estoque, às pessoas que vierem comprar?
66. O número de rádios vendidos por dia por uma empresa de eletrodomésticos possui uma distribuição aproximadamente de Poisson com média 2. Calcule a probabilidade de a firma vender, ao menos, três rádios num período de dois dias.
67. Dada a distribuição normal N(10,25), calcular as probabilidades:
a. P( X > 4);	 c. P(X = 10);
b. P( 5 
 X
 15);	d. P(0 
 X 
 20).
69. Impostos pagos por uma grande amostra de contribuintes distribuem-se normalmente de tal forma que 30% são inferiores a U$ 1.200,00 e 10% são superiores a US$ 3.000,00. Pede-se determinar o imposto médio.
70. No engarrafamento do refrigerante Ki Kola, a quantidade de líquido colocada na garrafa é uma variável de média 292 cm3 e desvio-padrão 1,1 cm3. Garrafas com menos de 290 cm3 são devolvidas para completar o enchimento. Calcular qual a porcentagem de garrafas devolvidas.
71. Uma máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso que se distribuem com um desvio-padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio desses pacotes para que apenas 10% deles tenham menos que 500 g?
72. Uma peça cromada resiste a um ensaio de corrosão por três dias, em média, com desvio-padrão de cinco horas.
Pede-se calcular:
a. a probabilidade de uma peça resistir menos que 3,5 dias; b. a probabilidade de uma peça resistir entre 60 e 70 horas; c. sabendo-se que 10% das peças resistem menos que certovalor, determiná-lo.
73. Numa distribuição normal, 30% dos elementos são menores que 45 e 10% são maiores que 64. Calcular os parâmetros que definem a distribuição (média e desvio-padrão).
74. O consumo de gasolina por km rodado, para certo tipo de carro, em determinadas condições de teste, tem uma distribuição normal de média 100 ml e desvio-padrão 5 ml. Pede-se calcular a probabilidade de:
a. um carro gastar de 95 a 110 ml;
b. em um grupo de seis carros, tomados ao acaso, encontrarmos três carros que gastaram menos que 95 ml;
c. idem, todos terem gasto menos que 110 ml.
75. Para uma família de certo status econômico, as despesas alimentação (A), educação (E), saúde (S) e habitação (H), bem como os desvios padrões, estão mostrados na tabela a seguir:
76. Certo produto tem peso médio de 10 g, com desvio-padrão de 0,5 g. Ele é embalado em caixas de 120 unidades que pesam, em média 150 g e desvio-padrão 8 g. Determine a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que 1.370 g.
77. Para n fixado, a variância de uma distribuição binomial B(n,p) é apenas função de p. Mostre, então, que a variância é máxima para p = 0,50.
78. Pequenos defeitos em folhas de compensado ocorrem ao acaso na média de uma falha por metro quadrado. Determine a probabilidade de que uma folha de 1,50 m x 2,20 m apresente no máximo duas falhas.
79. A voltagem média de uma bateria é de 15,0 volts, com desvio-padrão de 0,2 volts. Qual a probabilidade de quatro dessas baterias ligadas em série terem uma voltagem combinada maior que 60,8 volts?
80. Uma máquina produz esferas metálicas cujo diâmetro D (medido em mm) é uma variável aleatória aproximadamente normal de valor esperado 9 mm e desvio-padrão 0,35 mm. Toda esfera produzida é testada em dois calibres: um de 9,5 mm e o outro de 8,5 mm, sendo aceito pelo controle de qualidade se passa pelo maior e não passa pelo menor, caso contrário é rejeitado. Escolhidas duas esferas, qual a probabilidade de pelo menos uma ser rejeitada?
81. Se 3% das canetas de certa marca são defeituosas, determinar a probabilidade de que em uma amostra de 10 canetas escolhidas ao acaso desta mesma marca, tenhamos:
a. nenhuma defeituosa;
b. três defeituosas;
c. pelo menos duas defeituosas;
d. no máximo três defeituosas.
82. Determinado atacadista verificou, estatisticamente, que metade de seus clientes solicita que os pedidos sejam entregues em domicílio e outra metade vai retirar diretamente seus pedidos no depósito. Para fazer frente aos crescentes pedidos, o comerciante adquire três veículos, recebendo em média cinco pedidos de entrega diária. Qual a probabilidade de o comerciante não poder atender aos pedidos de entregas domiciliares?
83. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se formar é 9,5%. Determinar a probabilidade de que entre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:
nenhum se forme;
 b. pelo menos 1 se forme
 c. todos se formem
84. O Supermercado Vende Tudo Ltda. recebe, em média, quatro pedidos diários de um produto perecível. O preço de custo é de 30 dólares por unidade, o preço de venda é de 90 dólares por unidade, e o produto não vendido no dia é devolvido, conseguindo-se 40 dólares por unidade. Estudar, em termos de lucro médio diário, qual o melhor contrato de compra que deve o supermercado optar: quatro ou cinco unidades por dia.
85. Um teste de múltipla escolha consiste de 100 quesitos, cada um deles com quatro alternativas, das quais apenas uma é correta. Um estudante é submetido ao leste. Se ele conhece as respostas corretas de 20 quesitos e para responder os restantes apela para a sorte, qual é a probabilidade de ele acertar entre 45 e 50 quesitos no total?
86. O tempo de vida de transistores produzidos pela Indústria Zeppelin Ltda. tem distribuição aproximadamente normal, com valor esperado e desvio-padrão igual a 500 horas e 50 horas, respectivamente. Se o consumidor exige que pelo menos 95% dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se tal especificação é atendida. Justifique!
87. As chegadas de automóveis a um posto de gasolina, para abastecimento, entre 1Oh00 e 16h00, ocorrem de acordo com os postulados de Poisson. Se no transcurso de tal período apresentam-se por hora uma média de 30 automóveis, qual a probabilidade de nenhum se apresentar em certo intervalo de cinco minutos?
88. O Departamento de Atendimento da Empresa Mondubim Ltda. está dimensionado a poder atender, no período diário normal, a até cinco pedidos de clientes; se chegarem mais que cinco pedidos, o pessoal deve recorrer a horas extras para cumprir o atendimento. Sabendo-se que o número de pedidos que chegam diariamente são distribuídos segundo Poisson de média 4,2 pedidos, calcular:
a. a probabilidade de se ter que fazer horas extras em certo dia;
b. sendo o custo diário de horas extras de US$ 4.500, qual será o custo médio semanal em virtude das mesmas? Considerar semana de seis dias.
89. A Companhia de Aviação Mary Posa pode acomodar 300 passageiros em um de seus aviões: 30 na primeira classe e 270 na classe econômica. Se essa companhia reservar 30 lugares na primeira classe e 290 na classe econômica e se a probabilidade de não comparecimento de quem faz uma reserva for de 10%, pede-se a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem sejam acomodados, se os lugares da primeira classe puderem ser usados pelos passageiros de turismo.
90. Uma distribuição binomial possui média igual a 3 e variância 2. Calcule P(X > 2).
91. Considere X a importância em dinheiro que podemos receber de prêmio em um certo jogo de azar. Se para participar do jogo temos de pagar a quantia de US$ 4,00, pede-se determinar o ganho esperado, supondo E(X) = US$ 3,00.
92. Considere a distribuição de probabilidades:		
 X -1 0 1
	P(X)	0,375	 0,25	0,375	
Determine 
93. Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20 g e desvio-padrão de 0,5 g. Essas peças são acondicionadas em pacotes de uma dúzia cada. As embalagens pesam em média 30 g com desvio-padrão de 1,2 g. Determinar a média e o desvio-padrão do peso total do pacote.
94. A Transportadora Yuki Ltda. possui uma frota de quatro caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte:
X	00	01	02	03	04
			P(X)	10	20	30	30	10
Pede-se calcular:
a. o número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio-padrão;
b. a média e o desvio-padrão do lucro diário, sabendo-se que:
o valor do aluguel por dia é da ordem de US$ 300;
a despesa total diária com manutenção de cada veículo é iguala US$ 140, quando este é alugado no dia, e de US$ 15 quando tal fato não acontece.
95. Uma fábrica de automóveis deve enviar peças pesadas de seu equipamento para sua fábrica de montagem na cidade de Marimbá.
Sabe-se que:
• as peças podem ser enviadas por via aérea ou via marítima;
• o custo por via aérea é geralmente mais alto, porém há a possibilidade de haver greve no embarque, o que atrasaria a chegada das peças a Marimbá.
A matriz de custo, expressa em US$, é dada por:
Decisão 		Com Greve Sem Greve	
Enviar por Avião		2.000		2.000
Enviar por Navio		6.000 		1.000
a. Se a probabilidade de acontecer uma greve é estimada em 40%, qual a toma de decisão que minimizaria os custos esperados?
b. Até que valor de probabilidade de greve ainda é mais vantajoso o envio por via aérea?
96. O número 
 de residências que um posto de Corpo de Bombeiros pode atender depende da distância r (número de quarteirões) pelo qual uma mangueira pode se estender durante certo período (fixo) de tempo. Suponha que 
 seja proporcional à área de um círculo de raia r (quadras em prédios), com centro nessa companhia de Corpo de Bombeiros:
					
onde 
 é uma constante e r, unia variávelaleatória relativa ao número de quadras pelas quais a mangueira pode estender-se em determinado período de tempo Para certo batalhão de bombeiros com
, a distribuição de probabilidades de r é a indicada na tabela a seguir, onde P(r) = 0 para qualquer r
 20 ou r 
27.
	 r 
	21	
	22	
	23	
	24	
	25	
	26
	P(r)	 
	0,05	
	0,15	
	0,35	
	0,25	
	0,15	
	0,05
Calcule o valor esperado para o número de residências
 que podem ser atendidas por esse posto de Corpo do Bombeiros.
97. A Companhia Security Ltda. transporta .seus produtos utilizando dois tipos de containers: um do tipo A com dimensões de 8 x l0 x 30 m e outro do tipo B medindo 10 x 12 x 35 m. Se 40% de seu transporte forem efetuados em container do tipo A e o restante em container do tipo B, qual será o volume médio transportado em cada container, supondo que eles estejam sempre cheios. 
98. Uma caixa contém três bolas brancas e uma bola vermelha. Alexandra vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir a bola vermelha. Seja Y o número de tentativas que serão necessárias para encontrar a bola vermelha. Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Encontre a esperança e a variância de Y.
99. Se X é uma variável aleatória com variância 
, mostre que:
	a. 
tem o mesma variância de X;
	b. 
 tem variância 
100. Mostre que em uma série de lançamentos do tipo cara ou coroa a esperança matemática do número de caras antes do aparecimento da primeira coroa é dada por
 onde p e a probabilidade associada à probabilidade de ocorrer cara e q = 1-p.
101. Tita e Niki vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta. Eles combinam lançar a moeda cinco vezes e vence a disputa aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. Cada um aposta US$ 56. Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais Tita vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que forma devem ser repartidos os US$ 112?
102. Seja uma variável aleatória que assume valores em 1, 0 e -1, com P(X = 0) = 1/5.
Mostre que -1/2 
 E(X) 
 1/2.
103. Seja 
 > 0 o desvio-padrão de uma variável aleatória X. Dada uma constante real
, mostrar que 
 e 
satisfazem a relação da forma
, onde 
 é uma constante real. Qual o valor de 
?
104. A Profa. Rose está querendo ouvir uma melodia que sabe que está gravada em uma das oito faixas de um disco. Como não sabe em qual das faixas está a melodia gravada, ela experimenta a 1a. faixa, depois a 2a., e assim sucessivamente, até encontrar a melodia procurada. Qual o número médio e o desvio-padrão do número de faixas que deverá tocar até encontrar a melodia procurada?
105. Um vendedor adquire uma revista por US$ 0,50 e vende ao preço de US$ 1,00. Todas as revistas empatadas do final do mês são vendidas como papel velho, proporcionando ao vendedor a quantia de US$ 0,10 por revista. Determine o pedido mais econômico, calculando o lucro médio esperado para cada alternativa, baseado na distribuição de probabilidades para cada demanda mensal dessa revista.
	Quantidade 	mensal solicitada
	Probabilidade de venda
	100
			0,30
	120
			0,30
	140
			0,20
	160
			0,10
	180
		 	0,10
106. Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar 30 dólares por dia, caso contrário pode perder 6 dólares. Determinar a esperança de ganho mensal (30 dias), sabendo-se que a probabilidade de chuva é da ordem de 30%.
107. Uma variável aleatória X assume valores 0, 1, 2, 3,..., n, com probabilidade constante dada por:
Pede-se determinar o valor de n, a fim de que seu valor esperado seja igual a sua variância.
108. Uma urna contém bolas brancas e pretas, em proporções respectivas p e q = 1 - p, onde 0 < p < 1. Dela, efetuamos extrações sucessivas, com reposição. Seja Y a variável aleatória igual ao número de extrações necessárias, até a obtenção da primeira bola branca. Pede-se calcular:
a. P(Y = n), n = 1, 2, 3, ...;
b. E(Y);
c. Var(Y).
109. Seja L uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores compreende apenas dois pontos: 0 e 1. Mostre que:
Var(L) = 0,25
110. Calcular a média e o desvio-padrão da soma dos pontos obtidos no jogo de dois dados honestos.
111. O fundo de investimento Alpha Ltda. recebe diariamente pedidos de compra de cotas de participação, os quais distribuem-se segundo uma média por pessoa de 2.200 cotas. Por outro lado, os resgates efetuados diariamente distribuem-se segundo uma média por pessoa de 1.500 cotas. Ao encerrar um dia de trabalho, verificou-se que o número de cotas já adquirido era de 4.500.000 cotas. Sabendo-se que no dia seguinte 25 pessoas irão adquirir cotas e outras 15 irão efetuar resgates e supondo que as compras e os resgates sejam independentes entre si, calcular a média do número de cotas já adquirido pelo fundo ao final desse outro dia.
112. Determine a média e a moda de uma variável aleatória discreta Y, cuja distribuição de probabilidades é dada por:
	P(y)=2-y y=1,2,3,	...
113. Seja uma variável aleatória discreta X com: E [(X - 1)]2 = 10 e E [(X - 2)]2 = 6
Determine E(X) e Var(X).
114. A Empresa Alpha Ltda. deseja decidir entre dois projetos de investimentos para modernização de sua linha de produção. Os valores mensais para o lucro e os prejuízos dos projetos estão dispostos na tabela a seguir:
	
	Valores em US$
	Probabilidade de sucesso
	
	Lucro
	Prejuízo
	
	A
	30.000
	2.000
	p
	B
	25.000
	5.000
	p
Supondo que os dois projetos foram julgados equivalentes, pede‑se determinar com base no valor esperado a probabilidade de sucesso p.
115. Um vendedor de sorvete ganha US$ 20/dia, em média, quando é dia de sol. Caso chova, ele ganha US$ 2/dia. Sabe‑se também que, indiferentemente do fato de ter sol ou chuva, ele sempre ganha US$ 12/dia como pintor.
a.	Se às 19h00 o homem do tempo diz que temos 60% de probabilidade de chuva para o dia seguinte, deverá ele decidir por vender sorvete ou optar por pintu​ra?
b.	Qual deverá ser a probabilidade de chover para que ele decida não vender sor​vete?
116. Um investimento pode resultar em uma das possibilidades possíveis: lucro de US$ 4.000, lucro de US$ 8.000 ou prejuízo de US$ 10.000 com probabilidades iguais a 45%, 55% e 26%, respectivamente. Determine o valor esperado para um investi​mento potencial.
117. A organização financeira Betha Ltda. verificou que o lucro unitário L, obtido numa operação financeira é dado pela seguinte expressão:
L = 1,9 V ‑ 0,9 C ‑ 4,5
Sabendo‑se que o preço de venda unitário V tem uma distribuição de média US$ 50,00 e desvio‑padrão de US$ 2,00, e que o preço de custo unitário C tem uma distribuição de média US$ 45,00 e desvio‑padrão US$ 1,50, qual é a média e o desvio‑padrão do lucro unitário?
118. Um produto tem custo médio de US$ 10,00 e desvio‑padrão de US$ 0,80. Calcular o preço de venda médio, bem como seu desvio‑padrão, de forma que o lucro mé​dio seja de US$ 4,00 e seu desvio‑padrão de US$ 1,00.
119. Existindo E [X(X ‑ 1)] mostrar que existem g = E(X) e a2 = Var(X) satisfazendo à relação:
	
120. As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias respectivamente iguais a 3 e 1. De​termine a variância de X ‑ 2Y sabendo‑se que a covariância de X e Y é igual a 1.
121. X é uma variável aleatória para a qual existem 
 = E(X) e 
 = Var(X).
a.	Verificar que 
b.	Mostrar que 
assume um mínimo para 
.
122. Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca X. Numa pesquisa realizada com 200 habitantes, qual é a probabilidade de que mais de 30 destes utilize tal produto?
123. Em um teste de múltipla escolha temos 200 questões, cada uma com 4 possíveis respostas, das quais apenas 1 é correta. Qual é a probabilidade de que um estudante acerte entre 25 e 30 questões de 80 dentre as 200 das quais ele não sabe nada? 
124. Um dado honesto é lançado 100 vezes consecutivas.
a) Qual