Lista de exercícios GAAL

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1) Determine as equações paramétricas da reta que passa nos pontos P1 (2, 4, -1) e P2 (5, 0, 7). Onde a reta 
intercepta o plano xy 
2) Ache equações paramétricas da reta por P e paralelas a 
a
: 
a) P(1, 2, 3) e 
kjia 32  
 
b) P(4, 2, -3) e 







2
1
,2,
3
1
a
 
3) Ache as equações simétricas da reta nos pontos P1 e P2. 
a) P1 (5, -2, 4) e P2 (2, 6, 1) b) P1 (2, 0, 5) e P2 (-6, 0, 3) 
 
4) Discuta a posição relativa das retas r1: 








tz
ty
tx
3
2
1
 e r2: 








sz
sy
sx
1
2
. 
5) Em cada caso, determine se o ponto dado pertence à reta 








tz
ty
tx
32
52
1 : a) (2, 17, 7) b) (5, 18, 11) 
6) Determine a equação reduzida dos planos em cada caso: 
a) Determinado pelos pontos A (-2, 1, 0), B (-1, 4, 2) e C (0, -2, 2); 
 
b) Determinado pelo ponto P (1, -2, 3) e pela reta 








tz
ty
tx
r
1
32
21
:
 ; 
7) Determine, se existir, a interseção e o plano determinado pelas retas 








tz
ty
tx
r
43
32
21
:1
 e 








sz
sy
sx
r
41
24
2
:2
. 
8) Determinar o valor de m de modo que os planos 
1
: mx + y – 3z – 1 = 0 e 
2
: 2x – 3my + 4z + 1 = 0 sejam 
perpendiculares. 
 
9) Seja o plano 

: 3x + y – z – 4 = 0. Calcular: 
a) O ponto de 

que tem abscissa 1 e ordenada 3; 
b) O ponto de 

 que tem abscissa 0 e cota 2; 
c) O valor de k para que o ponto P (k, 2, k – 1) pertença a 

. 
 
10) Determinar o ponto de interseção da reta 








tz
ty
tx
r
3
35
21
:
 com o plano 

: 2x – y + 3z – 4 = 0. 
 
11) Em uma indústria ligada ao setor de laticínios, uma tubulação de PVC foi utilizada para interligar um sistema 
de captação de água da chuva, com localização dada pelas coordenadas (1,1,1), a um reservatório de 
distribuição, com localização em (1,3,11). A equação vetorial, que descreve a disposição retilínea da 
tubulação com relação ao sistema de captação, é dada por: 
a) r = i + (1+2t)j + (1+10t)k b) r = i + 3tj + 11tk 
c) r = (1+t)i + (1+3t)j + (1+11t)k d) r = ti + tj + tk e) r = (1+t)i + (1+t)j + (1+t)k 
 
12) Para trabalhar em um determinado projeto, um engenheiro precisou determinar a equação do plano em que 
seu projeto se realizaria. A informação que lhe foi dada é que esse plano passaria pelo ponto (4, 0, -3) cujo 
vetor normal é < 0, 1, 2 >. Diante desses dados, a equação descrita pelo engenheiro foi: 
a) x + y + 2z = -2 c) x + y + 2z = 8 e) y + 2z = 6 
b) y + 2z = -6 d) y + z = -6 
 
Atividade Orientada de Aprendizagem – GAAL - Engenharias 
Professora: Carine Diniz – 4ª Lista de Exercícios - 06/10/2017 
13) Utilizando um sistema de coordenadas cartesianas, uma praça com a forma de uma circunferência pode ser 
descrita pela equação x
2
 + y
2
 – 2x + 4y – 4 = 0. O centro da praça fica exatamente entre dois pontos turísticos 
A e B descritos pelas coordenadas A (4, K) e B (-2, -6). Ou seja, o centro da circunferência é o ponto médio 
do segmento 
AB
. Podemos afirmar, portanto, que o valor da ordenada do ponto A é: 
a) 10 
b) 2 
c) -2 
d) -4 
 
14) Escreva na forma geral a equação da circunferência de centro C (5, 2) e raio r = 3. 
 
15) A demarcação das terras de propriedade de uma cidade é dada pela área de uma circunferência de equação: 
x
2
 + y
2
 – 2x – 4y – 31 = 0. Considerando o sistema modelado acima, analise as afirmações seguintes. 
I) A cidade está centrada no ponto de coordenadas P(1, 2). 
II) O raio que demarca a área das terras é de 6 unidades de medida. 
III) A equação desta circunferência que representa as coordenadas da origem e raio é dada por: (x + 1)
2
 + (y + 
2)
2
 = 36. 
É correto apenas o que se afirma em: 
a) I, II e III b) III c) I e II d) II e III 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) 








tz
ty
tx
r
81
44
32
:
; 






0,
2
7
,
8
19
 
2) a) 








tz
ty
tx
33
22
1
 b) 










tz
ty
tx
2
1
3
22
3
1
4
 
3) a) 








tz
ty
tx
34
82
35
 b) 








tz
y
tx
25
0
82
 
4) Reversas 
 
5) a) Pertence b) Não pertence 
 
6) a) 12x + 2y – 9z + 22 = 0 b) -3x – 2y – 1 = 0 
 
7) (1, 2, 3); -20x + 12y + z – 7 = 0 
 
8) m = -12 
 
9) a) (1, 3, 2) b) (0, 6, 2) c) k = ½ 
 
10) (-3, 2, 4) 
 
11) A 
 
12) D 
 
13) k = 2 
 
14) x
2
 + y
2
 – 10x – 4y + 20 = 0 
 
15) C