Modulação analógica

Prévia do material em texto

Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 1 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Capítulo 3 
Modulação Angular 
 
 
3.1. Introdução 
 
Seja a portadora genérica: 
 
( )( ) .cos
A Amplitude
p t A
Ângulo
q
q
®ì
= í
®î
 
Se ( )A A t= ® Sistemas de Modulação em Amplitude 
Se ( )tq q= ® Sistemas de Modulação Angular 
 
No nosso caso: 
AM: ( )0 0( ) ( ).cosp t A t tw f= + Modulação em Amplitude 
FM: ( )0( ) .cos ( ) .p t A t tw f= + Modulação em Frequência 
PM: ( )0( ) .cos ( )p t A t tw f= + Modulação de Fase 
 
Ex.: 
-1
0
1
f(
t)
-1
0
1
p(
t)
-1
0
1
f D
S
B
-S
C
(t
)
-1
0
1
f F
M
(t
)
0 1 2 3 4 5
-1
0
1
t
f P
M
(t
)
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 2 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
O que acontece se f(t), informação, tiver variação contínua? 
 
Ex.: 
0 1 2 3 4
0
0.5
1
t
f(
t)
0 1 2 3 4
-1
-0.5
0
0.5
1
t
f F
M
(t
)
 
 
Cada instante de tempo do sinal ( )FM tf possui uma frequência diferente! 
Logo: Precisamos definir 
 
 
· Frequência Instantânea: iw 
 
Sabemos que ( )( ) .cos ( )t A tj q= 
e que 0 0( ) .t tq w q= + 
onde 0w é a frequência constante da portadora. 
 
Como obtemos 0w a partir do ângulo ( )tq ? 
 
 
Podemos definir: 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
( )( )i
d tt
dt
qw @
0
0
( ) ( ).
t
it dq w t t q= +ò
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 3 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Ex.: 
 
1) ( )0( ) .cos .ct A tj w q= + , onde cw e 0q são constantes. 
[ ]0.( ) ci c
d t
t
dt
w q
w w
+
= = frequência instantânea é uma constante 
 
0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
t
f(
t)
=c
os
(1
0*
 2
 p
 t)
0 0.5 1
0.0
20.0
40.0 
60.0 
80.0 
t
w
i=
10
* 
2 
p
 
 
2) ( )2( ) .cos 10t A t tj p p= + 
210
( ) 10 2i
d t t
t t
dt
p p
w p p
é ù+ë û= = + 
 
0 1 2 3
-1
-0.5
0
0.5
1
t
f (
t)=
co
s(
10
 p
 t
+p
 t2
)
0 1 2 3
0 . 0 
1 0 . 0 
2 0 . 0 
3 0 . 0 
4 0 . 0 
5 0 . 0 
6 0 . 0 
t
w
i=
10
 p
+2
 p
 t
 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 4 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
3.2. Modulação de Fase (PM) 
 
 
 
 
 
 
onde: 
cw : Frequência da Portadora 
pK : Constante 
( )f t : Sinal Modulante (informação) 
 
Logo a fase da portadora varia linearmente com a informação f(t). 
 
Frequência instantânea: 
 
( )( )
( ) c pi
d t K f td t
t
dt dt
wq
w
é ù+ë û= = 
Logo: 
( )
( )i c p
d f t
t K
dt
w w= + 
 
Logo: A frequência instantânea varia linearmente com a derivada do sinal modulante f(t). 
 
 
Sinal PM : ( ) .cos ( )PM c pt A t K f tj wé ù= +ë û 
 
pK : Constante que converte variações de volts da f(t) em variações de fase (em radianos). 
É definida pelo circuito de modulação. 
 Unidade: /pK rad Vé ù =ë û 
 
Logo: Para 0pK > Se ( ) 0f t > ® Avanço de fase 
 Se ( ) 0f t < ® Atraso de fase 
 
 
( )( ) .cos . ( )PM c pt A t K f tj w= +
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 5 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
3.3. Modulação em Frequência (FM) 
 
 
Se variarmos linearmente a frequência instantânea da portadora de acordo com o sinal modulante: 
 
 
( ) ( )i c Ft K f tw w= + 
 
 
O que ocorre com o ângulo ( )tq ? 
 
[ ]
0
0
( ) ( )
( ) ( )
t
c F
t
c F
t K f d
t t K f d
q w t t
q w t t
= +
= +
ò
ò
 
 
Logo a expressão do sinal modulado em FM será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a fase da portadora varia linearmente com a integral do sinal de informação f(t). 
 
FK : Constante que converte variações de volts do sinal f(t) em variações de velocidade angular 
(rad/s) da frequência instantânea. 
 Unidade: [ ]
.F
rad
K
V s
= 
 
Para 0FK > Se ( ) 0f t > ® Aumenta a frequência 
 Se ( ) 0f t < ® Diminui a frequência 
 
 
0
( ) .cos ( )
t
FM c Ft A t K f dj w t t
æ ö
= +ç ÷
è ø
ò
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 6 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Notação Fasorial: 
 
( ) ( )ˆ( ) .cos ( ) ( ) . j tt A t t Ae qj q j= ¬¾® = 
 
 
Então: { }( )( ) Re . j tt A e qj = 
 
Logo: 
 
( )ˆ ( ) . c p
j t K f t
PM t A e
wj
é ù+ë û= Sinal PM: { }ˆ( ) Re ( )PM PMt tj j= 
0
( )
ˆ ( ) .
t
c Fj t K f d
FM t A e
w t t
j
é ù
ê ú+
ê úë û
ò
= Sinal PM: { }ˆ( ) Re ( )FM FMt tj j= 
 
 
 
Definindo: 
0
( ) ( )
t
g t f dt t= ò 
Podemos escrever: 
[ ]( )ˆ ( ) . c Fj t K g tFM t A e
wj += 
 
 
Obs.: Embora PM e FM sejam formas diferentes de modulação angular, não são essencialmente 
diferentes, uma vez que qualquer variação na fase de uma portadora resulta em uma variação na sua 
frequência instantânea e vice-versa. 
 Portanto o estudo a ser feito para FM também se aplica a PM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modulador 
PM 
Modulador 
FM 
Modulador 
FM 
Modulador 
PM ò
d
dt
( )f t
( )f t
( )f t
( )f t
( )PM tj ( )PM tj
( )FM tj ( )FM tj
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 7 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Desvio de Fase e Desvio de Frequência 
 
Seja: ( ) .cos( )mf t a tw= Sinal Modulador, Informação 
 
FM: 
 
*Frequência Instantânea: ( ) ( )i c Ft K f tw w= + 
 ( )( ) . .cosi c F mt K a tw w w= + 
 
0 1 2 3 4
0
5
10
15
20
t
w
i(t
) [
10
3
 r
ad
/s
]
w
c 
Dw 
 
 
( )( ) .cosi c mt tw w w w= + D 
onde: Fa KwD = × 
 
wD é o desvio máximo da frequência da portadora: c i cw w w w w- D £ £ + D 
 
*Ângulo: 
 [ ]
0
0
( ) ( )
( ) .cos( )
( ) sin( )
t
i
t
c m
c m
m
t d
t d
t t t
q w t t
q w w w t t
w
q w w
w
=
= + D
D
= +
ò
ò 
 
Definindo: 
Máximo desvio de frequência
:
Frequência máxima da informaçãom
w
b
w
D@ 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 8 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Definindo: 
Máximodesviodefrequência
:
Frequênciamáximadainformaçãom
w
b
w
D@ 
 
 
b : Índice de Modulação 
 Representa o máximo deslocamento de fase do sinal em relação à portadora. 
 
 
[ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t tj w b w= + 
 
Unidade: [ ] radb = 
 
O Índice de Modulação b classifica o sinal modulado em FM ( )FM tj em: 
 
- FM de Faixa Estreira 
- FM de Faixa Larga 
 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 9 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
3.3.1. FM de Faixa Estreita (NBFM – Narrow Band Frequency Modulation) 
 
 
[ ]( )
( )
ˆ ( ) .
ˆ ( ) . .
c F
c F
j t K g t
FM
j t jK g t
FM
t A e
t A e e
w
w
j
j
+=
=
 
 
Lembrando Expansão em Série de Taylor: 
2 3
1 ...
2! 3!
x x xe x= + + + + 
 
Se ( ) 1FK g t = Teremos FM de Banda Estreita 
Logo: 
 ( ) 1 ( )FjK g t Fe jK g t@ + 
 
Assim: 
 [ ]ˆ ( ) . 1 ( )cj tNBFM Ft A e jK g twj = + 
 
 
Logo: 
[ ][ ]
[ ]
[ ] [ ]
ˆ ( ) . cos( ) sin( ) 1 ( )
ˆ ( )cos( ) sin( ) ( ) cos( ) ( )sin( )
ˆ ( ) cos( ) ( )sin( ) sin( ) ( ) cos( )
NBFM c c F
NBFM c c F c F c
NBFM c F c c F c
t A t j t jK g t
t A t j t jK g t t K g t t
t A t K g t t jA t K g t t
j w w
j w w w w
j w w w w
= + +
= + + -
= - + +
 
 
Como: 
 { }ˆ( ) Re ( )NBFM NBFMt tj j= 
Temos: 
 
 
 
 
 
( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t tj w w= -
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 10 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Ex.: 
( ) .cos( )mf t a tw= 
 
Cálculo de g(t): 
0
( ) ( )
( ) sin( )
t
m
m
g t f d
a
g t t
t t
w
w
=
=
ò
 
 
( ) .cos( ) sin( )sin( )NBFM c F m c
m
a
t A t AK t tj w w w
w
= - 
Lembrando: [ ]1sin( )sin( ) cos( ) cos( )
2
A B A B A B= - - + 
[ ] [ ]{ }
[ ] [ ]{ }
( ) .cos( ) cos ( ) cos ( )
2
( ) .cos( ) cos ( ) cos ( )
2
F
NBFM c c m c m
m
NBFM c c m c m
K aA
t A t t t
A
t A t t t
j w w w w w
w
j w b w w w w
= - - - +
= + + - -
 
 
Espectro do sinal ( )NBFM tj para ( ) .cos( )mf t a tw= : 
 
-100 -50 0 50 100
-10
-5
0
5
10
w
F
NBFM
(w)
w
c
 -w
c
 w
c+wm
w
c
-w
m
-w
c
-w
m
-w
c
+w
m
pA p A
p Ab/2 p Ab/2 
-p Ab/2 -p Ab/2 
 
 
 
 
 
De modo análogo, podemos obter a expressão do sinal PM de banda estreita: 
 
 
 
 
 
( ) .cos( ) ( ).sin( )NBPM c p ct A t AK f t tj w w= -
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 11 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Comparando-se estes sinais: 
 
 
 
 
 
 
 
Com o sinal AM DSB com portadora: 
 
Notamos que tanto o sinal AM quanto os sinais FM e PM de banda estreita, apresentam 
termos correspondentes à portadora e às faixas laterais centradas em cw± . 
 
 
Conclusão: Sinais FM e PM de banda estreita ocupam a mesma largura de banda (2 mw ) que o sinal 
AM DSB. 
 
 
 
Condição para ser FM de banda estreita: ( ) 1FK g t = 
ou para ( ) .cos( )mf t a tw= 1FK a = 
 
Como 
. F
m
a K
b
w
= Temos que 1b = 
 
Um critério usual para definir sinais FM de banda estreita é: 0.2b < 
 
 
( ) .cos( ) ( ).sin( )NBPM c p ct A t AK f t tj w w= -
( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t tj w w= -
( ) cos( ) ( )cos( )DSB c ct A t mAf t tj w w= +
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 12 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Se f(t) for um sinal qualquer. Como é o espectro do ( )NBFM tj ? 
 
Cálculo do: 
0
( ) ( )
t
g t f dt t= ò 
Lembrando da Propriedade de Integração no tempo da Transformada de Fourier: 
 
( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
f t F
g t F G
j
w
w w
w
¬¾®
¬¾® =
F
F 
 
Logo se f(t) é limitado em frequência g(t) também será. 
 
{ }
{ } { }
[ ]
( ) .cos( ) ()sin( )
( ) cos( ) ()sin( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
NBFM c F c
NBFM c F c
NBFM c c F c c
A t AK g t t
A t AK g t t
j j
A AK G G
w w w
w w w
w p d w w d w w w w w w
F = -
F = -
é ùF = - + + - + - -ê úë û
F
F F 
Logo: 
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
F
NBFM c c c c
jAK
A G Gw p d w w d w w w w w wF = - + + + - - + 
 
 
Gráfico: 
 
Seja o Sinal ( )G w : 
 
 
 
 
 
Então: 
 
-20 -10 0 10 20
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
w
Re{F
NBFM
(w)}
w
c -wc 
pA pA 
-20 -10 0 10 20
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
w
Im{FNBFM(w)}
w
c 
-wc 
AK F/2 
-AK
F
/2 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
w
G ( w )
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 13 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
· Geração de Sinais PM e FM de Banda Estreita 
 
 
 
 
 
Sistema Armstrong p/ geração NBFM: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) .cos( ) ( ).sin( )NBPM c p ct A t AK f t tj w w= -
( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t tj w w= -
0
( ) ( )
t
g t f dt t= ò
Defasador 
90o 
ò( )f t ( )NBFM tjX + 
+ 
- 
( ) .cos( )cp t A tw=
.sin( )cA tw
Defasador 
90o 
( )f t ( )NBPM tjX + 
+ 
- 
( ) .cos( )cp t A tw=
.sin( )cA tw
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 14 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
3.3.2. FM de Faixa Larga (FM) 
 
Seja: ( ) .cos( )mf t a tw= 
Temos: 
 [ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t tj w b w= + Onde: 
. F
m
a K
b
w
= 
ou 
 
sin( )ˆ ( ) . .c mj t j tFM t A e e
w b wj = 
 
A exponencial 
sin( )mj te b w é uma função periódica com período 2
m
T pw= e pode ser expandida 
em Série de Fourier: 
 
sin( ) .m mj t jn tn
n
e F eb w w
+¥
=-¥
= å 
onde Fn são os coeficientes da Série Exponencial de Fourier, calculados por: 
/ 2
sin( )
/ 2
1
. .m m
T
j t jn t
n
T
F e e dt
T
b w w-
-
= ò 
 
Fazendo: m
m m
x dx
t x t e dtw
w w
= Þ = = 
Limites da Integral: 
 
2
2 2 2.
2
2 2 2.
m m
m
m m
m
TT
t x
TT
t x
w w p
p
w
w w p
p
w
= = = =
- -
= - = = = -
 
Logo: 
sin( )1 . .j x jnxn
m
dx
F e e
T
p
b
p w
-
-
= ò 
( )sin( )1 .
2
j x nx
nF e dx
p
b
pp
-
-
= ò 
Esta integral pode ser calculada em termos dos parâmetros n e b e já existe tabulada. 
É denotada por ( )nJ b , Função de Bessel de Primeira Espécie e ordem n. 
 
Logo: 
 
( )sin( ) .m mj t jn tn
n
e J eb w wb
+¥
=-¥
= å 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 15 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
· Propriedades das Funções ( )nJ b : 
 
1) ( )nJ b são números reais 
2) ( ) ( )n nJ Jb b-= para n par 
3) ( ) ( )n nJ Jb b-= - para n ímpar 
4) ( ) 2 1n
n
J b
+¥
=-¥
é ù =ë ûå 
 
-15 -10 -5 0 5 10 15
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
b
Funções de Bessel de Primeira Espécie
J
0
(b)
J1(b)
J
2
(b)
J3(b)
J
4
(b)
J5(b)
 
 
b [rad] J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15 
0.0 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
0.2 0.9900 0.0100 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
0.5 0.9384 0.2422 0.0306 0.0020 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
1.0 0.7651 0.4400 0.1149 0.0195 0.0020 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
1.5 0.5118 0.5579 0.2320 0.0690 0.0117 0.0010 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
2.0 0.2238 0.5767 0.3528 0.1289 0.0339 0.0070 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
2.5 -0.048 0.4970 0.4460 0.2166 0.0737 0.0195 0.0040 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
3.0 -0.260 0.3390 0.4860 0.3090 0.1320 0.0430 0.0113 0.0020 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
3.5 -0.380 0.1373 0.4586 0.3867 0.2044 0.0804 0.0254 0.0060 0.0010 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
4.0 -0.397 -0.066 0.3641 0.4301 0.2811 0.1320 0.0490 0.0151 0.0040 0.0009 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
4.5 -0.320 -0.231 0.2178 0.4247 0.3484 0.1947 0.0842 0.0300 0.0090 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
5.0 -0.177 -0.327 0.0465 0.3648 0.3912 0.2611 0.1310 0.0533 0.0184 0.0050 0.0010 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
5.5 -0.007 -0.341 -0.117 0.2561 0.3967 0.32090.1867 0.0866 0.0336 0.0113 0.0030 0.0008 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 
6.0 0.1506 -0.276 -0.242 0.1147 0.3576 0.3620 0.2458 0.1295 0.0565 0.0211 0.0060 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 
6.5 0.2600 -0.153 -0.307 -0.035 0.2743 0.3735 0.2999 0.1801 0.0880 0.0365 0.0132 0.0040 0.0010 0.0003 0.0000 0.0000 
7.0 0.3000 -0.005 -0.301 -0.167 0.1577 0.3478 0.3391 0.2335 0.1279 0.0589 0.0235 0.0080 0.0020 0.0007 0.0002 0.0000 
7.5 0.2663 0.1352 -0.230 -0.258 0.0238 0.2834 0.3541 0.2831 0.1744 0.0889 0.0389 0.0150 0.0050 0.0010 0.0004 0.0000 
8.0 0.1716 0.2346 -0.112 -0.291 -0.105 0.1857 0.3375 0.3205 0.2234 0.1263 0.0607 0.0255 0.0090 0.0030 0.0010 0.0002 
8.5 0.0419 0.2731 0.0223 -0.262 -0.207 0.0671 0.2866 0.3375 0.2693 0.1694 0.0894 0.0410 0.0166 0.0060 0.0020 0.0006 
9.0 -0.090 0.2453 0.1448 -0.180 -0.265 -0.055 0.2043 0.3274 0.3050 0.2148 0.1246 0.0622 0.0273 0.0108 0.0030 0.0010 
9.5 -0.193 0.1612 0.2278 -0.065 -0.269 -0.161 0.0993 0.2867 0.3232 0.2577 0.1650 0.0896 0.0426 0.0181 0.0060 0.0020 
10.0 -0.245 0.0434 0.2546 0.0583 -0.219 -0.234 -0.014 0.2167 0.3178 0.2918 0.2074 0.1231 0.0633 0.0289 0.0119 0.0040 
10.5 -0.286 -0.078 0.2216 0.1632 -0.128 -0.261 -0.120 0.1235 0.2850 0.3108 0.2477 0.1610 0.0897 0.0441 0.0194 0.0070 
11.0 -0.171 -0.176 0.1390 0.2273 -0.015 -0.238 -0.201 0.0183 0.2249 0.3088 0.2804 0.2010 0.1215 0.0642 0.0303 0.0130 
11.5 -0.067 -0.228 0.0279 0.2381 0.0962 -0.171 -0.245 -0.084 0.1420 0.2822 0.2997 0.2390 0.1575 0.0897 0.0453 0.0206 
12.0 0.0477 -0.223 -0.084 0.1952 0.1825 -0.073 -0.243 -0.170 0.0451 0.2303 0.3004 0.2704 0.1952 0.1201 0.0650 0.0316 
12.5 0.1469 -0.165 -0.173 0.1103 0.2262 0.0345 -0.198 -0.225 -0.053 0.1561 0.2788 0.2899 0.2312 0.1542 0.0896 0.0464 
13.0 0.2074 -0.071 -0.218 0.0040 0.2196 0.1306 -0.118 -0.239 -0.140 0.0665 0.2336 0.2929 0.2609 0.1900 0.1190 0.0657 
13.5 0.2169 0.0325 -0.211 -0.095 0.1664 0.1937 -0.019 -0.211 -0.202 -0.029 0.1667 0.2762 0.2789 0.2239 0.1523 0.0896 
14.0 0.1789 0.1123 -0.159 -0.157 0.0826 0.2050 0.0762 -0.139 -0.228 -0.121 0.0828 0.2399 0.2777 0.2514 0.1892 0.1184 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 16 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
 
Então: 
 
( )
( )
sin( )
( )
ˆ ( ) . .
ˆ ( ) . . .
ˆ ( ) . .
c m
c m
c m
j t j t
FM
j t jn t
FM n
n
j n t
FM n
n
t A e e
t A e J e
t A J e
w b w
w w
w w
j
j b
j b
+¥
=-¥
+¥
+
=-¥
=
=
=
å
å
 
 
Logo : ( ) [ ]( ) . .cos ( )FM n c m
n
t A J n tj b w w
+¥
=-¥
= +å 
 
 
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
0 1 2 3
1 2 3
.cos .cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...
( ) .
.cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...
c c m c m c m
FM
c m c m c m
J t J t J t J t
t A
J t J t J t
b w b w w b w w b w w
j
b w w b w w b w w- - -
ì ü+ + + + + + +ï ï= í ý
+ - + - + - +ï ïî þ 
 
Usando as propriedades: 
 
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
0 1 2 3
1 2 3
.cos .cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...
( ) .
.cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...
c c m c m c m
FM
c m c m c m
J t J t J t J t
t A
J t J t J t
b w b w w b w w b w w
j
b w w b w w b w w
ì ü+ + + + + + +ï ï= í ý
- - + - - - +ï ïî þ
 
 
 
As constantes ( )nJ b podem ser obtidas de tabela ou calculadas pela HP48 (necessita programa). 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 17 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Ex.: Dada a portadora ( ) .cos( )cp t A tw= e o sinal de informação ( ) .cos( )mf t a tw= , o sinal 
modulado em FM com índice de modulação 1b = será: 
 
 
 
 
 
 
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
FFM(w)
w
J
0
(1) 
J
1
(1) 
J
2
(1) 
-J
1
(1) 
J
2
(1) 
J
3
(1) 
wc 
wc+wm 
wc-wm 
wc+2wm wc-2wm 
 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0.7651cos 0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...
( ) .
0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195.cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...
c c m c m c m c m
FM
c m c m c m c m
t t t t t
t A
t t t t
w w w w w w w w w
j
w w w w w w w w
ì ü+ + + + + + + + +ï ï= í ý
- - + - - - + + +ï ïî þ
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 18 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Observações: 
 
- As amplitudes das raias espectrais decaem com o incremento de n 
 
- O espaçamento entre cada raia é igual à mw (frequência do sinal modulante, informação). 
 
- O termo correspondente à portadora é ponderado por ( )0J b . 
 
 
 
Conclusões: 
 
· A largura de faixa ocupada por um sinal FM é função do índice de modulação 
. F
m m
a K w
b
w w
D
= = (para ( ) .cos( )mf t a tw= ), o qual depende da amplitude e da frequência 
do sinal modulante. 
 
· Para 0.2b < , somente ( )0J b e ( )1J b possuem valores significativos, de modo que apenas 
a portadora e as faixas laterais de 1a ordem são significativas ® FM de Faixa Estreita. 
 
 
Então: 2 mW w= 
-100 -50 0 50 100
-10
-5
0
5
10
w
F
NBFM
(w)
w
c
 -w
c
 w
c+wm
w
c
-w
m
-w
c
-w
m
-w
c
+w
m
pA p A
p Ab/2 p Ab/2 
-p Ab/2 -p Ab/2 
 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 19 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
· Modulação FM de Sinais contendo várias freqüências 
 
Seja : 1 1 2 2( ) cos( ) cos( )f t a t a tw w= + 
 
Temos então que: 
[ ]1 1 2 2
( ) ( )
( ) cos( ) cos( )
i c F
i c F
t t K f t
t t K a t a t
w w
w w w w
= +
= + +
 
 
O máximo desvio de frequência deste sinal é: 1 2( ) Fa a KwD = + 
 
E o ângulo pode ser calculado como: 
[ ]{ }1 1 2 2
0 0
( ) ( ) cos( ) cos( )
t t
i c Ft d K a t a t dq w t t w w w t= = + +ò ò 
1 2
1 2
1 2
( ) sin( ) sin( )F Fc
a K a K
t t t tq w w w
w w
= + + 
 
Chamando: 
1 2
1 2
1 2
F Fa K a Kb b
w w
= = 
Podemos escrever: 
 
1 1 2 2( ) sin( ) sin( )ct t t tq w b w b w= + + 
 
Expressão Geral do Sinal FM: 
( )ˆ ( ) . j tFM t A e
qj = 
[ ]1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
ˆ ( ) .
ˆ ( ) . . .
c
c
j t t t
FM
j t j t j t
FM
t A e
t A e e e
w b w b w
w b w b w
j
j
+ +=
=
 
Expandindo as exponenciais em Série de Fourier: ( )sin( ) .m mj t jn tn
n
e J eb w wb
+¥
=-¥
= å 
 
Temos: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
ˆ ( ) . . . .
ˆ ( ) . .
ˆ ( ) .
c
c
c
j t jn t jk t
FM n k
n k
j n k tj t
FM n k
n k
j n k t
FM n k
n k
t A e J e J e
t A e J J e
t A J J e
w w w
w ww
w w w
j b b
j b b
j b b
+¥ +¥
=-¥ =-¥
+¥ +¥
+
=-¥ =-¥
+¥ +¥
+ +
=-¥ =-¥
= ×
=
=
å å
å å
å å
 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 20 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Sabendo que : { }ˆ( ) Re ( )FM FMt tj j= 
( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) . cosFM n k c
n k
t A J J n k tj b b w w w
+¥ +¥
=-¥ =-¥
é ù= + +ë ûå å 
Conclusões: 
 
- Quando o Sinal f(t) possui duas frequências, o espectro do sinal FM possuirá, além das faixas 
1( )c nw w± e 2( )c kw w± , correspondentes às frequências 1w e 2w , as faixas correspondentes à 
modulação cruzada (intermodulação) 1 2( )c n kw w w± ± . 
 Diferente do que acontece na modulação AM. 
Logo: AM ® Sistema Linear 
FM ® Sistema Não-Linear 
 
· Largura de Banda do Sinal FM 
 
De acordo com a definição da largura de banda de um sinal: W é a largura de banda tal que 
contenha 98% da Energia/Potência do sinal. 
Logo podemos definirmaxn tal que: ( )
2
0,98
max
max
n
n
n n
J b
=-
³å 
 
Uma possível aproximação é adotarmos a maior ordem tal que: ( ) 0,01
maxn
J b > 
 
Dados: 
B: Largura de Banda em Hz W: Largura de Banda em rad/s 
fm: Maior frequência do sinal f(t) em Hz wm: Maior frequência do sinal f(t) em rad/s 
2 .f p wD = D : Desvio de frequência em Hz Dw: Desvio de frequêcia em rad/s 
 
Podemos calcular as larguras de banda como: 
 
 
 
 
Suponhamos amplitude máxima do sinal f(t): ( )
max
a f t= 
Lembrando: . Fa KwD = 
m m
f
f
w
b
w
D D
= = 
Logo: 
2. . 2. .max max
f
B n W n
w
b b
D D
= = 
ou então: 
2 maxnW B
fw b
= =
D D
 
2. .max mB n f= 2. .max mW n w=
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 21 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Do Exemplo Anterior: 
Qual a largura de banda quando se modula uma portadora ( ) .cos( )cp t A tw= com o sinal 
( ) .cos( )mf t a tw= , em FM com índice de modulação 1b = . 
 
 
 
Largura de banda de um sinal: frequência para que se tenha 98% da Potência. 
Da propriedade 4) ( ) 2 1n
n
J b
+¥
=-¥
é ù =ë ûå 
Isto significa que a modulação FM, não altera a energia total do sinal da portadora, apenas sua 
distribuição espectral! 
 
Logo a largura de banda pode ser calculada: 2. .max mW n w= 
onde nmax é tal que: ( )
2
0.98
max
max
n
n
n n
J b
+
=-
é ù =ë ûå 
 
No nosso exemplo: 2 2 20.7651 2 0.44 2 0.1149 0.9989+ ´ + ´ = logo 2maxn = e 4 mW w= 
 
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
FFM(w)
w
J
0
(1) 
J
1
(1) 
J
2
(1) 
-J
1
(1) 
J
2
(1) 
J
3
(1) 
wc 
wc+wm 
wc-wm 
wc+2wm wc-2wm 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0.7651cos 0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...
( ) .
0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195.cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...
c c m c m c m c m
FM
c m c m c m c m
t t t t t
t A
t t t t
w w w w w w w w w
j
w w w w w w w w
ì ü+ + + + + + + + +ï ï= í ý
- - + - - - + + +ï ïî þ
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 22 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Ex. 2: para o caso de termos: 1 1 2 2( ) cos( ) cos( )f t a t a tw w= + 
Com 1 0,2b = e 2 0,2b = . 
 
Vimos que: ( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) . cosFM n k c
n k
t A J J n k tj b b w w w
+¥ +¥
=-¥ =-¥
é ù= + +ë ûå å 
 
Como: 0 1 2 3(0.2) 0.9900 (0.2) 0.0995 (0.2) 0.00498 (0.2) 0.000166J J J J= = = = 
Consideraremos apenas os termos 0 e 1 devido à 2 (0.2) 0.00498 0.01J = < 
 
( ) ( ) [ ]{
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
1 1 1 2 1 2
1 1 0 2 1
1 1 1 2 1 2
0 1 1 2 2
0 1 0 2
0 1 1 2 2
1 1 1 2 1 2
1 1 0 2 1
( ) . .cos ( )
.cos ( 0)
.cos ( )
.cos ( 0 )
.cos ( 0 0)
.cos ( 0 )
.cos ( )
.cos ( 0)
FM c
c
c
c
c
c
c
c
t A J J t
J J t
J J t
J J t
J J t
J J t
J J t
J J t
j b b w w w
b b w w
b b w w w
b b w w
b b w
b b w w
b b w w w
b b w w
- -
-
-
-
-
= - - +
- + +
- + +
+ - +
+ + +
+ + +
+ - +
+ +
( ) ( ) [ ]}1 1 1 2 1 2.cos ( )cJ J tb b w w w
+
+ +
 
 
Usando a Propriedade: ( ) ( )1 1J Jb b-= - e neste exemplo: 1 2b b b= = 
 
Podemos simplificar a expressão: 
 
( ) [ ]{ ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]
( ) [ ] ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]
( ) [ ]}
2 2
1 1 2 1 1 2
1 0 1 1 0 1
2 2
1 1 2 1 1 2
1 0 2 1 0 2
2
0
( ) . .cos ( ) .cos ( )
.cos ( ) .cos ( )
.cos ( ) .cos ( )
.cos ( ) .cos ( )
.cos
FM c c
c c
c c
c c
c
t A J t J t
J J t J J t
J t J t
J J t J J t
J t
j b w w w b w w w
b b w w b b w w
b w w w b w w w
b b w w b b w w
b w
= - - + + + -
- - + + -
- - + - + - -
- + + +
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 23 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
( ) [ ]{ ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]
( ) [ ] ( ) [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]
( ) [ ]}
2 2
1 1 2 1 1 2
1 0 1 1 0 1
2 2
1 1 2 1 1 2
1 0 2 1 0 2
2
0
( ) . .cos ( ) .cos ( )
.cos ( ) .cos ( )
.cos ( ) .cos ( )
.cos ( ) .cos ( )
.cos
FM c c
c c
c c
c c
c
t A J t J t
J J t J J t
J t J t
J J t J J t
J t
j b w w w b w w w
b b w w b b w w
b w w w b w w w
b b w w b b w w
b w
= - - + + + -
- - + + -
- - + - + - -
- + + +
 
 
Onde: 2 20 1 0 1(0.2) 0.9801 (0.2) (0.2) 0.0985 (0.2) 0.0099J J J J= = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A Largura de banda do sinal composto por 2 frequências (w1 , w2) modulada em NBFM 
(b=0.2) é determinada pela maior frequência do sinal: 1 2max{ , }mw w w= 
 
Se b for maior, FM faixa larga, há o aparecimento das intermodulações que aumentam a largura de 
banda necessária à transmissão. Sendo necessário calcular o nmax, para aplicar nas equações da 
largura de banda pelas vistas anteriormente. 
 
 
 
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
FNBFM(w)
w
wc+w1+w2 
wc-(w1+w2) 
wc+w2 wc+w1
w
c
+(w
1
-w
2
)
w
c
w
c
+(w
2
-w
1
)
w
c
-w
1
w
c
-w
2
 
-w
c
2. .max mB n f= 2. .max mW n w=
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 24 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
· Aproximações para nmax 
 
Carson em 18antigamente estudou a influência do índice de modulação na largura de banda do 
sinal FM e propôs uma formulação empírica para nmax. 
 
 
Regra de Carson: 1maxn b= + 
 
 
Utilizando esta aproximação tem-se: 
( )
2
2 1
2 2
max m
m
m
m m
m
W n
W
W
w
w
b w b
w
w
w w
w
=
D
= + =
D
= +
 
 
Logo: 2 2 mW w w= D + 
 
 
 
 
Uma aproximação mais precisa, que despreza menos raias espectrais é dada por: 
 
2maxn b= + O que implica: 2 4 mW w w= D + 
 
 
 
 
Conclusão: 
 
Como: O desvio máximo de frequência é dado por ( )F maxK f twD = 
A Largura de Banda de um sinal FM depende da Máxima Amplitude do sinal, da Constante de 
Conversão FK e da máxima frequência do sinal mw . 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 25 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Exemplos: 
 
1) FM Comercial: 
Foi definido por norma internacional (FCC – Federal Communication Comission 
www.fcc.gov )que 75f kHzD = 
 
 Faixa de frequências alocadas no Brasil: 88MHz a 108MHz 
 
 Banda de frequências do sinal de áudio: 50Hz a 15kHz 
 
Logo: 
 
75
5
15m
f k
f k
b
D
= = = 
 
Estimativa da largura de banda usando as aproximações: 
 
· Carson: 2 2 2 75 2 15 180mB f f k k kHz= D + = ´ + ´ = 
· 2maxn b= + : 2 4 2 75 4 15 210mB f f k k kHz= D + = ´ + ´ = 
 
A Faixa de 88 a 108MHz é dividida em porções de 200kHz. 
 
Idealmente, esta faixa permitiria: 
108 88
100
200
M M
k
-
= estações de rádio 
 
Porém evita-se que duas emissoras ocupem faixas vizinhas. Para prevenir interferências de uma 
estação na outra e para permitir a transmissão de sinais de áudio estéreo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Sinal de Áudio de TV 
 
FM 
25
15m
f kHz
f kHz
D =ì
í
=î
 
 
Largura de Banda: 
· Carson: 2 2 2 25 2 15 80mB f f k k kHz= D + = ´ + ´ = 
· 2maxn b= + : 2 4 2 25 4 15 110mB f f k k kHz= D + = ´ + ´ = 
 
108MHz 88MHz 94.1MHz 94.5MHz 
Transamérica 
200kHz 
Capítulo 3 – Modulação Angular -Página 26 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
· Potência do Sinal FM 
 
Dado o sinal de informação: ( ) .cos( )mf t a tw= 
Vimos que o sinal modulado FM correspondente é dado por: 
[ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t tj w b w= + 
 
 
Lembrando: 
( )
/ 2 / 2
22
0 0
/ 2 / 2
2
1 1 2
( ) .cos( )
2
T T
f T
T T
f
P f t dt A t dt
T T T
A
P
p
w w
- -
= = =
=
ò ò
 
 
A Potência não depende da frequência do sinal, apenas de sua amplitude. 
Logo podemos concluir que a potência do sinal ( )FM tj será: 
2
2FM
A
P = 
Independente do sinal de informação. 
 
Sabendo que a portadora é: ( ) .cos( )cp t A tw= cuja potência é: 
2
. 2port
A
P = 
 
Conclusões: 
 
- a Potência de um sinal de FM é constante e igual à potência da portadora. Independente do 
índice de modulação b . 
Isto ocorre devido ao fato do sinal FM possuir amplitude constante. Lembrando que para 
sinais AM, a potência total depende do índice de modulação m. 
 
- O índice de modulação b , define a distribuição da potência entre a portadora e as faixas 
laterais. 
 
- Pode-se tornar a potência da raia espectral correspondente à portadora tão pequena quanto se 
queira, através de uma escolha conveniente do índice de modulação. Nesta situação a maior 
parte da potência estará nas faixas laterais (informação) e a eficiência da transmissão pode 
ser tão próxima de 100% quanto se queira. 
Ex.: Fazendo ( )02.405 5.52 0ou Jb b b= = Þ = 
 
 
 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 27 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Geração de Sinais de FM 
 
1) FM Indireto 
 
Procedimento: Integra-se o sinal de informação e modula-se em fase a portadora. Obtem-se um 
sinal FM de faixa estreita, o qual é convertido em FM de faixa larga através de um multiplicador de 
frequência, que aumenta o índice de modulação. 
 
Multiplicador de Frequência: Dispositivo não–linear que multiplica a frequência do sinal de 
entrada. 
 
 
 
 
Ex.: 
Dado o sinal ( ) .cos( )mf t a tw= e seu correspondente sinal NBFM 
[ ]( ) .cos sin( )NBFM c mt A t tj w b w= + com b pequeno 
 
 
 
 
Ex. de Implementação 1 : Dispositivo de Lei Quadrática 
 
 
 
 
Se: [ ]( ) ( ) .cos sin( )NBFM c mx t t A t tj w b w= = + 
Então: [ ]{ } [ ]
2 2
2
( ) .cos sin( ) cos 2 2 sin( )
2 2c m c m
A A
y t A t t t tw b w w b w= + = + + 
 
Filtrando-se o nível DC, obtem-se um sinal de FM com a frequência da portadora e o índice de 
modulação multiplicados por 2. 
 
Se o dispositivo for de Lei enésima ® Multiplica-se por N 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. de Implementação 2: Usando PLL (Phase Locked Loop) visto mais adiante. 
Multiplicador 
de freq. ´N 0 0
cos( )tw f+ 0 0cos( )N t Nw f+
´N ( )NBFM tj [ ]( ) .cos sin( )FM c mt A N t N tj w b w= +
y=x2 ( )x t 2( ) ( )y t x t=
Modulador 
PM ò( )f t ( )FM tj
( )p t
´N Filtro 
PF 
( )NBFM tj
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 28 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Exemplo: Transmissor de FM indireto tipo Armstrong 
Dado o diagrama em blocos abaixo e as características do sinal 1( )tj , calcule a frequência da 
portadora, desvio de frequência e o índice de modulação dos sinais 2 ( )tj , 3( )tj e 4 ( )tj . 
 
Obs.: Conversor de frequência: Circuito que multiplica o sinal de entrada por uma sub-portadora 
(sinal cossenoidal local) seguido de um filtro passa-baixas de frequência de corte igual a frequência 
desta sub-portadora. Serve para alterarmos a frequência central sem alterar os demais parâmetros de 
modulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
200
( ) 25
0,5
cf kHz
t f Hzj
b
=ì
ï
= D =í
ï =î
 2
12,8
( ) 1,6
32
cf MHz
t f kHzj
b
=ì
ï
= D =í
ï =î
 3
1,9
( ) 1,6
32
cf MHz
t f kHzj
b
=ì
ï
= D =í
ï =î
 1
91,2
( ) 76,8
1536
cf MHz
t f kHzj
b
=ì
ï
= D =í
ï =î
 
 
 
 
 
Exercício: 
Você dispõe de um cristal que oscila a 3,75MHz. Projete um diagrama de blocos de um transmissor 
FM para áudio (50 a 15kHz), sabendo que deseja-se ocupar a faixa de 97,5MHz da banda 
comercial, 75f kHzD = . O sinal de entrada possui amplitude máxima de 15Volts e o circuito 
modulador PM possui 31,25 VF radK = . Calcule a combinação de multiplicadores de frequência e 
conversores de frequência que efetue essa tarefa. 
 
 
 
 
Defasador
90o 
ò( )f t X + 
+ 
- 
( ) .cos( )cp t A tw=
.sin( )cA tw
´64 Conversor ´48 
1( )tj 2 ( )tj 3( )tj 4 ( )tj
1 1( ) cos( )cp t tw=
Amplificador 
Antena 
10,9MHz 
200kHz 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 29 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
2) FM Direto 
 
O sinal de informação ( )f t varia diretamente a frequência da portadora. 
 
Exemplo: Oscilador eletrônico com circuito tanque LC. 
 
 
Frequência de Oscilação: 
1
i
LC
w = 
 
Variando-se o valor de L ou C de acordo com f(t), a frequência instantânea do oscilador 
também varia com f(t). 
 
Supondo que o valor do capacitor varie da seguinte forma: 
0 0
0
. ( ) 1 ( )
a
C C a f t C f t
C
é ù
= + = +ê ú
ë û
 
Logo: 
 
0
0
00
1 1 1
1 ( )1 ( )
i LC aa f tLC f t CC
w = = ×
é ù ++ê ú
ë û
 
 
Expandindo a função em Série de Taylor: 
( )
2 3
1/2
1 1 1 3 1 3 5
1 ...
2 2 4 2 4 61
x x x
x
× × ×
= - + - +
× × ×+
 
Se 
0
( ) 1
a
f t
C
= 
Logo: 1/2
0
0
1
1 ( )
2
1 ( )
a
f t
Ca
f t
C
= -
æ ö
+ç ÷
è ø
 e 
00
1
1 ( )
2i
a
f t
CLC
w
é ù
= × -ê ú
ë û
 
 
Definindo: 
0
1
c
LC
w = e 
02
c
F
a
K
C
w
= - 
 
Temos: ( ) ( )i c Ft K f tw w= + Frequência instantânea do sinal FM 
C Circuito
0
Vo(t)
L
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 30 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
· Modulador com Diodo de Reatância Variável (Varicap ou Varactor) 
 
 
Diodo Varicap: ex.: 1N5139 a 1N5148 
 
 
 
 
 A capacitância do Varicap é função da tensão de Polarização Reversa (Vr) aplicada nos seus 
terminais. O varicap é um diodo dopado de tal forma que, ao ser polarizado reversamente, faz com 
que a região de depleção da junção PN varie. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vr Maior Vr Menor 
 
 
 
Ex.: BB809 - Philips 
Usado em sintonia de VHF - Televisão 
 
 
 
 
N 
P 
+ 
- 
N 
P 
+ 
- 
D1
D1N5148
+ - Vr 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 31 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Exemplo de circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P1 ® Polarização do Diodo Varicap 
C1 ® Bloqueio DC de f(t) 
P2 ® Sensibilidade (nível f(t) aplicado) 
L1 ® Choque RF, para a portadora não atrapalhar a polarização 
 
L2,C2,Cd ® Oscilador Hartley 
 
 
1
2
i
L C
w =
×
 onde 
2
2
C Cd
C
C Cd
×
=
+
 Série de C2 e Cd 
 Como Cd<<C2 C Cd@ 
 
 
Logo: 
1
2
i
L Cd
w =
×
 e 
0
1
2
c
L C
w =
×
 
 
 
 
 
0
P1
2
1
C2
0
Vcc
C1
0
0
0
P2
2
1
Cd
L2
0
L1
0
( )f t
( )FM tj
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 32 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
· Modulação FM pelo Método Digital 
 
Princípio: Filtragem da componente fundamental de uma onda quadrada. 
 
Osciladores baseados na carga e descarga de capacitores® Frequência é função da 
alimentação. 
 
Ex.: Oscilador Astável com Transistor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q2 e Q3 : Oscilador Astável 
Q1 : inverter f(t) 
Q4 e Q5 : fontes de correntes dependentes de f(t) 
Q6 : Desacoplar a saída 
L0 e C0 : Filtro passa-faixas sintonizado na frequência da portadora (1a harmônica) 
P1: Ajusta o valor de polarização das fontes de corrente ® Frequência da Portadora 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Qualquer oscilador cuja frequência depende de uma tensão de controle é chamado de VCO 
(Voltage Controlled Oscillator) 
 
Q2
C0
0
P1
2
1
Vcc
Q5
Q6
Rc
Cb
Q3
Cb
L0
Rc
Q1
Q4
( )f t
( )FM tj
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 33 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Demodulação de Sinais FM 
 
Objetivo: Recuperar ( )f t a partir de ( )FM tj . 
 
 
1) Discriminador de Frequências 
 
Circuito que converte, linearmente, variações de frequência em variações de amplitude. 
Deste modo, um sinal Fm é convertido para um pseudo sinal AM, que pode ser demodulado por 
um detector de envoltória. 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discriminador: 
Quanto maior a frequência ® maior a amplitude do 
sinal de saída 
 Logo: é um FILTRO !!! 
 
 
 
 
 
 
-5
0
5
10
15
20
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10
0
10
1
89
89.5
90
90.5
91
P
ha
se
 (d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
( )H w
H(w) Detector de 
envoltória ( )FM tj ( )f t
, ( )AMFM tj
0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f(t)
0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
1
t
f
FM
(t)
0 5 10 15 20
-3
-2
-1
0
1
2
3
t
f
AM,FM
(t)
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 34 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Tipos de Discriminadores 
 
a) Diferenciador 
 
 
 
 
 
( )
( ) ( ). ( ) . ( )
dx t
Y H X j X
dt
w w w w wì ü= = =í ý
î þ
F 
 
Logo: Resposta em Frequência do diferenciador: 
( )
( ) /2, 0
( )
/ 2 0
H
H j
w w
w w p w
q w
p w
ì =
ï
= = >í ì
= íï - <îî
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
1
2
3
4
5
6
w
|H(w)|=|w|
 
 
Logo: demodulador FM 
 
 
 
 
Análise: 
[ ]( ) .cos ( )FM t A tj q= onde: 
0
( ) ( ).
t
c Ft t K f dq w t t= + ò 
Assim: 
[ ] [ ]
,
( ) cos ( )
( ) FMA M F M
d t d A t
t
dt dt
j q
j = = 
[ ] [ ],
0
( )
( ) .sin ( ) . sin ( ) . ( ).
t
A M F M c F
d t d
t A t A t t K f d
dt dt
q
j q q w t t
é ù
= - = - +ê ú
ë û
ò 
[ ] [ ], ( ) .sin ( ) . ( )A M F M c Ft A t K f tj q w= - + 
[ ] [ ], ( ) . ( ) .sin ( )AM FM c Ft A K f t tj w q= - + 
 
 
 
Sinal modulado em amplitude E frequência 
d
dt
 
( )H w
( )
( )
X
x t
w
( )
( )
( )
Y
dx t
y t
dt
w
=
d
dt
 ( )FM tj
, ( )A M F M tj
Detector de 
envoltória 
( )y t
Envoltória 
AM 
Ângulo 
FM 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 35 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Saída do detector de envoltória: 
 
[ ]( ) . ( )c Fy t A K f tw= - + 
( ) . ( )c Fy t A AK f tw= - - 
 
 
 
 
b) Discriminador RC 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta em frequência: 
1
.
( )
1j C
R RC j
H
R j RCw
w
w
w
= =
+ +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para baixas frequências, . 1RCw = , o circuito se comporta como um diferenciador. 
Se: 1RCw = , 1RCw = Þ ( )H j RCw w@ 
Resolução: 20dB/década 
 
Circuito Completo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nível DC 
filtrar 
Sinal proporcional 
a f(t) 
( )
( )
X
x t
w ( )
( )
Y
y t
w
0
R
100
C
10p
5p 
Diferenciador Detector de 
envoltória 
R
0
C D
Ce
C2
Re
Bloqueio DC 
( )FM tj
, ( )AMFM tj
. ( )K f t
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 36 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
c) Discriminador Sintonizado (detector de inclinação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta em frequência: ( )
Z
H
Z R
w =
+
 onde 1
2
//
( ) 1j C
j L
Z j L
j LCw
w
w
w
= =
+
 
 
Logo: 
2
1
( )
1 1
( )
j
RCH
j j
RC LC
w
w
w w
=
+ +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- O circuito comporta-se como um diferenciador na região linear. 
- O circuito sintonizado LC, 
1
r
LC
w = , deve ser projetado de modo que cw caia na região 
linear. 
 
Implementação com transformador de RF: 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
X
x t
w ( )
( )
Y
y t
w
L
.633u
R
1k
C
1p
Co
Ce
D
L ReC
( )FM tj
, ( )AMFM tj
. ( )K f t
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 37 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
d) Discriminador Balanceado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
1 1
1
L C
w = 2
2 2
1
L C
w = 
1
c
LC
w = 
 
0 1 2( ) ( ) ( )e t e t e t= - 
 
 
Vantagens: Desvantagens: 
- Maior região linear - Necessita ajustar 3 circuitos ressonantes 
- Alto Ganho 
- Não necessita bloqueio DC 
 
 
Outros Discriminadores: 
- Detector de Relação 
- Detector Foster-Seeley 
 
Outros Demoduladores de FM: 
 
- Demodulação pelo Método Digital (incluir p/ próximo semestre) 
- PLL (visto adiante) 
 
( )FM tj
e1(t) 
e2(t) 
e0(t) 
+ 
- 
+ 
+ 
- 
- 
- 
+ 
C
Rd2
Cd1
D1
Cd2
D2
Rd1C1
L1L
L2
C2
0 5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0
0.5
1
w
H1(w)
w
1 
w
2
 
H
2
(w)
0 5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0
0.5
1
w
H
1
(w)-H
2
(w)
w
1 
w
2 
w
c
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 38 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Ruído em Sistemas FM 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que o ruído introduzido pelo canal de comunicação seja branco, vamos analisar o que 
acontece com sua densidade espectral de potência quando aplicado ao Diferenciador: 
 
 
2
1( ) 1nS w = 
2
2 1( ) ( )n nS S Hw w= 
Como: 
2 2( ) ( )H j Hw w w w= = 
Assim: 
2 2 2
2 ( ) 1nS w w w= × = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo o diferenciador dá ganho maior para frequências maiores, aumentado a potência do ruído 
no receptor para estas altas frequências. 
 
 
Se o sinal de informação for áudio ou voz, sua densidade espectral possui baixos valores para 
altas frequências. 
 
 
 
Conclusão: A relação Sinal-Ruído é muito baixa nas altas frequências do sinal de áudio, pois o 
sinal é mais baixo onde o ruído é mais alto, causando distorção do sinal demodulado. 
 
 
 
n(t) 
Modulador 
FM + 
Diferenciador 
( )H jw w= 
Detector de 
Envoltória 
Filtro Passa-
Baixas: wm 
f(t) 
( )FM tj 
Transmissor Receptor 
 ‚ 
-10 -5 0 5 10
0
20
40
60
80
100
w
Sn2(w)
mw- mw
 
-10 -5 0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
w
S
n1
(w)
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 39 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
Pré-Enfase e De-ênfase 
 
- Pré-Enfase: Reforça as componentes de alta frequência do sinal de informação f(t). 
- De-ênfase: Restaura as componentes de alta frequência do sinal ao seu nível original, além 
de reduzir a densidade espectral de ruído nas altas frequências 
 
Objetivo: Melhorar a relação Sinal-Ruído do sinal demodulado. 
 
 
Exemplode redes: 
 
Pré-enfase: 
 
1
1
2 2
1 1
11
22 1
1 211
( )
1
( // )1
R C
j C
j C
jR R
H
RR
jRR
R R Cj CRR
w
w
w
w
w
w
+
= = =× +++ ++
 
1
1
1
R C
w = frequência do Zero 
2
1 2
1
( // )R R C
w = frequência do pólo 
Norma FCC americana: 1 2,122f kHz= 2 30f kHz> 
 
De-ênfase: 
 
1
1
11
2 1 1
1
( ) R Cj C
j C R C
H
R j
w
w
w
w
= =
+ + 
 
1
1
1
R C
w = frequência do Pólo 
Norma FCC americana: 1 2,122f kHz= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( )H f 1( )H f 
1
1
1
2
f
R Cp
= 
2
1 2
1
2 ( // )
f
R R Cp
=
 
R1 75k
C1 1n
R2
4.7k
0
0
C1
1n
R1 75k
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 40 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Receptor FM Super-Heródino Monofônico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amplificador e Filtro de RF: Sintoniza através de um capacitor variável a estação de rádio. 
Oscilador Local: Gera uma frequência 10,7MHz acima da frequência sintonizada pela etapa de RF 
Misturador: Efetua a heterodinização (multiplicação), de modo que na saída o sinal esteja sempre 
a 10,7MHz. 
Limitador: Limita a amplitude do sinal modulado FM 
Detector FM: Realiza a demodulação do sinal FM. 
De-ênfase: restaura as altas frequências aos seus níveis normais e reduz o nível de ruído 
Amplificador de Áudio: Etapa de amplificação do sinal de áudio para o alto-falante 
CAF: Controle Automático de Frequência, ajusta automaticamente a frequência do oscilador local 
(através da polarização do diodo varicap) para melhor recepção. 
CAG: Controle Automático de Ganho, ajusta automaticamente o ganho da etapa de amplificação 
RF. 
 
 
O circuito eletrônico pode ser visto no livro: Telecomunicações, Juarez Nascimento. 
 
 
Amplificador 
e Filtro de RF 
Misturador 
Oscilador Local 
fc+10,7MHz 
Amplificador de 
FI 10,7MHz 
Limitador Detector 
FM 
De-ênfase
CAF 
CAG 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 41 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
FM Estéreo 
 
Possibilita a transmissão e recepção de 2 canais de áudio independentes. 
 
Histórico: 
 No início as transmissões FM eram feitas em monofônico, com a venda de milhares de 
radinhos. Com o advento da transmissão em estéreo surgiu o problema de como fazer com que os 
receptores antigos continuassem a receber a estação transmitindo em estéreo. 
 
Sinais: l(t) ® canal esquerdo 
 r(t) ® canal direito 
 
· Transmissor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise: 
 
- Inicialmente os canais esquerdo l(t) e direito r(t) são pré-enfatizados e codificados 
matricialmente, gerando os sinais de soma ( ) ( )l t r t+ e diferença ( ) ( )l t r t- 
Espectros: onde 2 15m kw p= ´ aúdio limitado em 15kHz 
 
Sinais de Entrada: 
 
 
 
 
 
 
Saída do codificador matricial: 
 
 
 
 
 
 
+ 
+ 
X 
Oscilador 
¸2 + 
Modulador 
FM 
Pré-ênfase 
Pré-ênfase + 
+ 
+ 
- 
38kHz 19kHz 
 
‚ 
„ 
ƒ 
… 
† 
Codificador 
Matricial 
l(t) 
r(t) 
w wm -wm 
L(w)  
w wm -wm 
R(w) ‚ 
w wm -wm 
L(w)-R(w) „ 
w wm -wm 
L(w)+R(w) ƒ 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 42 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
- Os sinais soma ( ) ( )l t r t+ ƒ e diferença ( ) ( )l t r t- „ ocupam o mesmo lugar no espectro. 
Desloca-se o espectro da diferença „ usando modulação DSB-SC para a frequência de 
38kHz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- O sinal composto (“Stereo Multiplex”) é a soma do sinal soma ( ) ( )l t r t+ , do sinal diferença 
transaladado para 38kHz e mais um tom piloto de 19kHz. O tom piloto serve para gerar uma 
sub-portadora local no receptor, sincronizada com a transmissão, de modo a permitir a 
demodulação síncrona o sinal DSB-SC. 
Este sinal composto modula a portadora em frequência e é transmitido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- A largura de Banda do sinal FM Estéreo: 
 
dados: 53mf kHz= e 75f kHzD = 
 
Por Carson: 2 2 2 75 2 53 256mB f f k k kHz= ´ D + ´ = ´ + ´ = 
Mais precisa 2n b= + : 2 4 2 75 4 53 362mB f f k k kHz= ´ D + ´ = ´ + ´ = 
 
 
Logo a atitude de deixar uma posição vazia a cada 200kHz no espectro de 88 a 108MHz é também 
visando a transmissão estéreo. 
 
f 53k 23k 
[ ]{ }( ) ( ) cos(2 38 )L R k tw w p- × ×F … 
-23k -53k 38k -38k 
f 53k 23k 
Stereo Multiplex † 
-23k -53k 38k -38k 19k -19k 15k -15k 
Largura de Banda do sinal de informação 
FM estéreo: B=53kHz 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 43 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
· Receptor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise: 
 
- Após a demodulação FM, o sinal obtido (stereo multiplex) é separado por filtragem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f 53k 23k 
Stereo Multiplex  
-23k -53k 38k -38k 19k -19k 15k -15k 
f 15k -15k 
L(w)+R(w) „ 
f 
53k 23k 
 ‚ 
-23k -53k 38k -38k 
f 19k -19k 
tom piloto ƒ 
Demodulador 
FM 
23k 53k 38k 
f 
Passa-Faixas 
19k 
f 
Passa-Faixas 
banda estreita 
15k 
f 
Passa-Baixas 
X 15k f 
Passa-Baixas 
´2 
De-ênfase 
… 
+ 
+ 
+ 
+ 
- 
+ 
 
‚ 
Decodificador 
Matricial 
De-ênfase 
ƒ 
„ 
… 
† ‡ 
ˆ 
‰ 
l(t) 
r(t) 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 44 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
- O sinal diferença ( ) ( )l t r t- é transladado para sua posição original através da demodulação DSB-
SC usando detecção síncrona, pelo uso da sub-portadora de38kHz gerada a partir do tom piloto de 
19kHz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- decodificação matricial: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
l t r t l t r t l t
l t r t l t r t r t
+ + - =
+ - - =
 
 
 
- Após a decodificação matricial, os sinais l(t) e r(t) são de-enfatizados e amplificados 
separadamente, gerando os canais de áudio esquerdo e direito. 
 
 
Observações: 
 
- Se a recepção for monofônica, será reproduzido no alto falante o sinal soma l(t)+r(t), que é o sinal 
presente na banda de frequência de 0 a 15kHz. Logo os rádios monos podem receber transmissão 
estéreo. 
 
- Se a transmissão for monofônica, ambos os altos falantes reproduzirão o mesmo som, uma vez que 
o sinal l(t)-r(t) é igual a zero. Isto pode ser monitorado por um LED que acenda na presença do tom 
piloto de 19kHz. Logo os rádios estéreos podem receber transmissão monofônicas. 
 
 
f 
53k 23k 
 ‚ 
-23k -53k 38k -38k 
f 38k -38k 
sub-portadora … 
f 
† 
15k -15k 76k -76k 
f 
( ) ( )L Rw w- ‡ 
15k -15k 
Filtragem 
Passa-Baixas 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 45 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
PLL (Phase-Locked Loop) - Laço de Fase Amarrada 
 
Histórico: 
Os conceitos básicos empregados no circuito PLL foram desenvolvidos nos meados de 1930. Os 
circuitos eram caros e utilizados apenas em receptores de rádio de precisão. Com o avanço da 
microeletrônica, em 1960, surgiram os primeiros PLLs totalmente integrados, reduzindo seus custos 
e popularizando a técnica. 
 
Diagrama de Blocos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes: 
 
1) Comparador de Fase 
 
Circuito cuja saída é proporcional à diferença de fase 
entre os sinais de entrada.Tipos: 
 
a) Analógico: Circuito Multiplicador 
 
 
Análise: 
 Seja 1 1cos( )V tw f= + e 2 2cos( )V tw f= + 
 Saída será: 1 2 1 1cos( ) cos( )dV V V t tw f w f= ´ = + ´ + 
 [ ]1 2 1 2
1
cos( ) cos( ( ))
2d
V t t t tw f w f w f w f= + + + + + - + 
 [ ]1 2 1 2
1
cos(2 ) cos( )
2d
V tw f f f f= + + + - Filtrando PB 
 [ ]1 2
1
cos( )
2o
V f f= - Logo saída do PB proporcional à diferença de fase 
 
Comparador 
de fase 
Filtro 
Passa-Baixas 
 
VCO 
Vi 
fi 
Vd Vo 
Vosc 
fosc 
Comparador 
de fase 
V1 
V2 
Vd 
X V1 
V2 
Vd 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 46 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
 
b) Digital: Porta Lógica Ou-Exclusivo (XOR) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros: Comparador de Fase-Frequência – Ver Xerox 
 
 
 
2) Filtro Passa-Baixas 
 
Função: remover a alta frequência existente na saída do comparador de fase. 
 
 
Ex.: PB 1ª Ordem PB 2ª Ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Juntamente com o filtro pode ter um amplificador para adequar o sinal de saída deste 
ao nível de sinal necessário ao correto funcionamento do VCO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
V1 V2 Vd 
0 0 0 
1 0 1 
0 1 1 
1 1 0 
0
C1
1n
R1 75k
0
C1
1n
R1 75k
0
C1
1n
R1 75kVd Vd Vo Vo 
V1 
V2 
Vd Vo 
1
2
3 FPB
Vd 
V1 
V2 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 47 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
3) VCO – (Voltage Controlled Oscillator) – Oscilador Controlado por Tensão 
 
Função: Gerar, a partir de um sinal de tensão na sua 
entrada, uma sinal oscilatório de uma determinada 
frequência. 
 
Nada mais é do que um modulador FM, podendo ser usados os circuitos vistos anteriormente. 
 
 
Ex.: Modulador Digital com o Oscilador Astável. 
 
Finalidades Básicas do PLL: 
· Para um sinal de entrada Vi de frequência variável Þ Fazer com que o VCO produza um 
sinal Vosc cuja frequência siga a frequência de Vi, isto é, que mantenha i oscf f= 
 
· Para um sinal de entrada Vi de frequência fixa Þ Manter a diferença de fase de Vi e Vosc 
constante. 
 
Funcionamento Básico: 
 
· Supondo que o circuito esteja em regime permanente, isto é, i oscf f= e diferença de fase 
constante. Com i oscf f= , o sinal Vo é tal que mantém a saída do VCO “amarrada” com o 
sinal de entrada. 
 
· Se a frequência do sinal de entrada fi mudar, o comparador de fase “sente” a mudança e 
altera Vo de modo a manter i oscf f= . 
 
Logo, no funcionamento básico do PLL, o sinal Vo varia de acordo com a variação de frequência do 
sinal Vi. Assim , se ( )i FMV tj= teremos: ( )oV f t= 
Realizando naturalmente a Demodulação FM. 
 
 
Observação: 
A análise dinâmica do PLL envolve conceitos de Sistemas de 
Controle, e não será efetuada neste curso. 
 
A figura ao lado ilustra a resposta do PLL (frequência do VCO) à 
um salto na frequência de entrada (linha vermelha), para diversos 
fatores de amortecimento do filtro PB. 
 
 
 
 
 
 
VCO 
Vo Vosc 
fosc 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 48 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Devido à limitação de faixa de oscilação imposta pelo VCO, há 2 faixas de frequências importantes 
para o PLL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f0 : Frequência de oscilação livre do VCO. Frequência que o VCO oscila quando não há sinal 
aplicado. 
 
DfR : Faixa de Retenção. DfR=f4-f1 
 Faixa entorno da frequência f0, na qual o VCO pode manter-se em sincronismo com o sinal 
externo. 
 
DfR : Faixa de Captura. DfR=f3-f2 
 Faixa entorno da frequência f0, na qual o VCO é capaz de adquirir o sincronismo, quando da 
aplicação de um sinal externo na entrada do PLL. 
 
 
Exemplos e Aplicações: 
Os PLLs mais populares são os integrados 
CD4046(CMOS) e LM565(BIPOLAR). 
 
Ao lado é apresentado o diagrama interno do 
CD4046. Este chip possui internamente o 
VCO e 2 tipos diferentes de comparadores de 
fase. Sendo portanto necessária apenas a 
inclusão do Filtro Passa-Baixas e de 
componentes R e C para sintonizar o VCO na 
faixa de frequências desejada de trabalho. 
 
 
 
Ver Datasheets na página da disciplina. 
f1 f2 f0 f3 f4 fosc 
Faixa de Retenção: DfR 
Faixa de captura: DfC Vo 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 49 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
O PLL como Sintetizador de Frequências: 
 
Implementar um divisor de frequência, isto é, a partir de um sinal com uma determinada 
frequência (clock), gera-se um sinal cuja frequência é uma fração da frequência deste é uma tarefa 
relativamente fácil utilizando técnicas digitais (Flip-Flops e Contadores). 
Como implementar um multiplicador de frequências? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inserindo-se um divisor de frequências de M no sinal de entrada e um divisor de frequências por N 
no sinal de saída do VCO. 
 
Já vimos do funcionamento do PLL, que o mesmo mantém os sinais de entrada do comparador de 
fase com a mesma frequência. Isto é: M Nf f= 
 
Como: iM
f
f
M
= e oscN
f
f
N
= 
Temos que: i osc
f f
M N
= Logo: osc i
Nf f
M
= 
 
Podemos, a partir de um sinal de referência (clock) Vi , gerar qualquer múltiplo racional da 
frequência fi. 
 
O uso de sintetizadores de frequência com PLL, permite que sistemas digitais controlem a sintonia e 
memorização automática de estações de rádio, regeneração da portadora de 38kHz a partir do tom 
piloto de 19kHz. 
 
 
O PLL possui inúmeras aplicações em Telecomunicações e Instrumentação, tais como: 
- sintetizadores de frequência: Geração de diversas portadoras a partir de um único cristal, sintonia 
automática de rádio e TV. 
- Modulação FM pelo método indireto. 
- Demodulação de sinais FM e FSK (FM de sinais digitais) 
- Amplificador Lock-in, usado para realizar medidas em ambiente ruidoso 
- Regeneração da portadora local em sistemas de recepção DSB-SC e SSB (receptor síncrono) 
- Circuitos de sincronismo vertical de TV 
- Ajuste de frequência da portadora. Ex.: Satélites 
- .... 
 
Boa leitura: http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/pll.htm#comofunc 
Comparador 
de fase 
Filtro 
Passa-Baixas 
 
VCO 
Vi 
fi 
Vd 
Vosc 
fosc 
 
¸N 
VN 
fN 
 
¸M 
VM 
fM 
Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 50 
 
 
Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar 
 
Conclusões 
 
 
Vantagens do FM sobre o AM 
a) Os sistemas FM são mais imunes ao ruído 
- Pela faixa de frequência que operam (88-108MHz) 
- Por possibilitar o uso de limitadores que eliminam variações de amplitude introduzidas 
pelo ruído. 
b) Como trabalham na faixa de VHF e UHF, o alcance do FM fica limitado pela linha de 
visada direta, possibilitando a utilização de um mesmo canal por várias emissoras, que se 
distanciam pouco uma das outras. 
- Comunicações Móveis 
 
 
Desvantagens do FM sobre o AM 
a) Necessitam uma largura de banda maior para a transmissão do sinal modulado. 
b) Transmissores e receptores mais complexos. 
c) Menor alcance, devido à faixa de frequência que operam.