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Cálculo numérico 6 a 10

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Aula 6
	
		1.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	
	
	y=x2+x+1
	
	 
	y=2x-1
	
	 
	y=2x+1
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=2x
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
	
	
	
	
	 
	grau 31
	
	
	grau 15
	
	
	grau 20
	
	
	grau 32
	
	 
	grau 30
	
	
	
		3.
		Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a:
	
	
	
	
	 
	(x2 + 3x + 3)/2
	
	 
	(x2 - 3x + 2)/2
	
	
	(x2 - 3x - 2)/2
	
	
	(x2 + 3x + 2)/3
	
	
	(x2 + 3x + 2)/2
	
	
	
		4.
		Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que:
	
	
	
	
	 
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem negativos.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem negativos.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem positivos.
	
	 
	f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem positivos.
	
	
	
		5.
		Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a:
	
	
	
	
	
	-2x2 + 3x
	
	 
	-x2 + 2x
	
	
	x2 + 2x
	
	
	-x2 + 4x
	
	
	-3x2 + 2x
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	 
	o método de Raphson
	
	 
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Euller
Aula 7
		1.
		O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	20,0
	
	 
	73,3
	
	 
	293,2
	
	
	146,6
	
	
	220
	
	
	
		2.
		A literatura especializada oferece diversos métodos para cálculo de área sob a curva, sendo a Regra dos Trapézios de fácil execução, fornecendo bons resultados quanto a precisão. Considerando que a integral definida de uma função f(x) no intervalo [a,b] neste método é dada por h/2 [f(x1)+ 2.f(x2)+ 2.f(x3)+.... f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes, obtenha a integral da função f(x)=2x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	
	
	
	12,3
	
	 
	22,5
	
	 
	45,0
	
	
	20,0
	
	
	10,0
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
		
	
	
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	n + 1
	
	 
	menor ou igual a n
	
	
	n
	
	
	menor ou igual a n + 1
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
		
	
	
	
	
	terceiro
	
	 
	primeiro
	
	
	quarto
	
	
	nunca é exata
	
	 
	segundo
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor?
		
	
	
	
	 
	0,025
	
	 
	0,100
	
	
	0,050
	
	
	0,250
	
	
	0,500
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que:
		
	
	
	
	 
	Os trapézíos se ajustarem a curva da função
	
	
	O melhor é utilizar uma calculadora para o calculo
	
	
	Os trapézios não terem uma boa aplicação de calculo de integrais
	
	
	Esta regra não leva a erro.
	
	 
	Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função
Aula 8
		1.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	 
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	
	 
	0,725
	
	 
	0,351
	
	
	1,053
	
	
	0,382
	
	
	1,567
	
	
	
		3.
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	 
	Método de Romberg.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	
		4.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	
	 
	1/21/4
	
	 
	0
	
	
	1/5
	
	
	1/3
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, comEXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	 
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x3, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	
	
	0,625
	
	
	1,313
	
	
	1,230
	
	 
	0,939
	
	 
	0,313
Aula 9
	
		1.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	22
	
	
	25
	
	 
	21
	
	 
	23
	
	
	24
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada.
	
	
	
	
	
	1
	
	
	2
	
	 
	7
	
	
	4
	
	 
	3
	
	
	
		3.
		Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição inicial dada, considerando duas divisões do intervalo entre x0 e xn.
	y'=x-yx
	y(1)=2,5
	y(2)=?
 
	
	
	
	
	 
	1,7776
	
	
	15555
	
	
	1,0000
	
	
	1,5000
	
	 
	1,6667
	
	
	
		4.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	 
	1,34
	
	 
	2,54
	
	
	3,00
	
	
	1,00
	
	
	2,50
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	 
	2
	
	
	0
	
	 
	-1
	
	
	1
	
	
	-2
	
	
	
		6.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	-2
	
	 
	0
	
	
	1
	
	
	-3
	
	 
	3
Aula 10
		1.
		Em relação ao método de Runge - Kutta de ordem "n" são feitas três afirmações:
I - é de passo um;
II - não exige o cálculo de derivada;
III - utiliza a série de Taylor.
É correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
	 
	todas estão corretas
	
	
	todas estão erradas
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
	
		2.
		Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	
	
	
	
	
	1
	
	
	0,25
	
	
	0
	
	
	0,5
	
	 
	2
	
	
	
		3.
		Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral desta EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição.
	
	
	
	
	
	1/5
	
	 
	5
	
	 
	2
	
	
	4
	
	
	1/2
	
	
	
		4.
		Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para esta condição.
	
	
	
	
	
	0
	
	 
	2
	
	
	1
	
	
	1/2
	
	
	3
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a opção que encontra uma raiz desta equação.
	
	
	
	
	 
	y = ln(x) -3
	
	
	y = ex + 3
	
	
	y = ex + 2
	
	 
	y = ex - 3
	
	
	y = ex -  2
Av1

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