3 Quadripolos 2017

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31/07/2017
1
Teoria de Quadripolos
Quadripolo é um circuito eléctrico com dois terminais de entrada e dois
terminais de saída. Neste dispositivo são determinadas as correntes e
tensões nos terminais de entrada e saída e não no interior do mesmo.
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 1
CZ1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 2
Classificação dos quadripolos
Lineares – quando contém apenas elementos lineares.
Não Lineares – quando contém pelo menos um elemento não linear
Activo – quando contém fontes de tensão ou de corrente ou ambas.
Passivo – quando não contém nenhuma fonte.
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017
3
A
Quadripolo activo
P
Os quadrípolos podem ser simétricos e não simétricos. Um quadrípolo
designa-se simétrico se aos trocarmos o posicionamento da fonte e da
carga, as respectivas tensões e correntes não mudarem.
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 4
CZ1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
CZ1E 1U  2U 
1I  2I 
m
n
p
q
Para o quadrípolo simétrico:
2222
1111
;
;
UUII
UUII


31/07/2017
2
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 5
Descrição Matemática dos quadripolos
Para um quadrípolo pode-se determinar o número de
combinações possíveis aplicando a relação:
6
)24(!2
!42
4 
C





2221212
2121111
UYUYI
UYUYI1. Modelo Y
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 6
2. Modelo Z





2221212
2121111
IZIZU
IZIZU
3. Modelo A





2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
4. Modelo H





2221212
2121111
UHIHI
UHIHU
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 7
5. Modelo G





2221212
2121111
IGUGU
IGUGI
6. Modelo B





1221212
1121112
IBUBI
IBUBU
Nas equações (modelos) apresentadas Y, Z, A, H, G e B são
parâmetros gerais do quadrípolo e dependem:
a) Do modo como os elementos estão ligados no interior do
quadrípolo;
b) Dos valores das impedâncias e da frequência
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 8
Para qualquer quadrípolo estes coeficientes podem ser calculados ou
determinados experimentalmente.
Pressupõe-se que tanto a carga como as tensões de entrada podem
variar, enquanto que as configurações das ligações internas e as
impedâncias permanecem inalteradas.
No estudo que faremos vamo-nos basear no modelo de parâmetros A
Na obtenção do modelo A, foi suposto que
qpCnm UZIUUUE  2211 ;
Pelo teorema da compensação, a impedância de carga pode ser
substituída por uma fem com sentido contrário ao da corrente na carga
e numericamente igual a tensão na carga.
31/07/2017
3
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 9
1E 1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
CZIE 22 
Escrevamos as expressões das correntes em função das fem e das
admitâncias.





)2(
)1(
2221212
2121111
EYEYI
EYEYI
Obtenção dos parâmetros do modelo A
Nestas equações e são admitâncias
próprias e e são admitâncias de
transferências e .
11Y 22Y
12Y 21Y
2112 YY 
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 10
De (2) pode-se escrever: )3(1 2
12
2
12
22
1 IY
E
Y
YE 
Substituindo (3) em (1): )4(2
12
11
2
12
2
122211
1 IY
YE
Y
YYYI 
12
11
22
12
2
122211
21
12
12
12
22
11 ;;
1;
Y
YA
Y
YYYA
Y
A
Y
YA 
Subistituindo as fem pelas respectivas tensões, os paramentros
A resultantes são:
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 11
Teoria de Quadripolos
Consideremos o caso em que trocarmos o posicionamento da fonte e da
carga





)6(
)5(
1222211
1122112
EYEYI
EYEYI
CZ1E 1U  2U 
1I  2I 
m
n
p
q
De (5) pode-se escrever: )7(1 2
12
2
12
11
1 IY
E
Y
YE 
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 12
Teoria de Quadripolos
Substituindo (7) em (6): )8(2
12
22
2
12
2
122211
1 IY
YE
Y
YYYI 
Substituindo as fem pelas respectivas tensões, o modelo de
parâmentros A resultantes, neste é:





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
Os parâmentros lineares A são relacionados por: 121122211  AAAA
No caso de um quadrípolo simétrico: 2211 AA 
31/07/2017
4
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 13
Teoria de Quadripolos
Determinação dos coeficientes de quadripolos
Os coeficientes complexos do modelo A podem ser determinados :
1. Analiticamente conhecendo a configuração do esquema das ligações
internas e parâmetros dos elementos;
2. Analiticamente usando os regimes de marcha em vazio e curto-
circuito;
3. Experimentalmente usando os regimes de marcha em vazio e curto-
circuito;
4. Analiticamente usando as configurações equivalentes em T ou em Π;
5. Analiticamente representando um quadrípolo complexo por meio de
quadrípolos simples, com ligações em série, em cascata ou em
paralelo.
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 14
Teoria de Quadripolos
21
11
10
10
10
202110
201110
A
A
I
UZ
UAI
UAU






1. O método analítico no caso em que se conhecem a configuração do
esquema das ligações internas e os parâmetros dos elementos será
analisado na aula prática.
2. Método da marcha em vazio e curto-circuito
1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
a) Terminais p e q em vazio, isto é, 02 I
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 15
Teoria de Quadripolos
22
12
1
1
1
2221
2121
A
A
I
UZ
IAI
IAU
cc
cc
cc
cccc
cccc 






2U 1U
2I 1I
m
n
p
q





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
11
12
1
1
2
2111
2121
A
A
I
UZ
IAI
IAU
cc
cc
cc
cccc
cccc 






c) Terminais m e n em curto-circuito, isto é, 02 U
b) Terminais p e q em curto-circuito, isto é, 02 U
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 16
Teoria de Quadripolos














121122211
11
12
2
22
12
1
21
11
10
AAAA
A
AZ
A
AZ
A
AZ
cc
cc
Pode-se formar o sistema de quatro
equações com quatro incógnitas:
De onde podem ser obtidos os valores
dos parâmetros:
cc
cc
cc
cc
cccc
cc
Z
ZA
Z
AA
Z
AAZAA
ZZZ
ZZA
1
211
1
12
22
10
11
2121112
1102
110
11 ;;;)(




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5
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 17
Teoria de Quadripolos
3. Método experimental da marcha em vazio e curto-circuito
m
n
p
q
AW
V
Neste método, os valores anteriormente calculados analiticamente são
obtidos experimentalmente, recorrendo-se ao esquema apresentado no
qual são medidos três valores: tensão, corrente e potência.
O mesmo esquema é utilizado no caso de curto-circuito dos terminais p
e q e m e n.
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 18
Teoria de Quadripolos
No caso do esquema apresentado, por exemplo, são medidos os valores:
101010 ,, PIU
101010
1010
10
10
10
10
10 arccos;   ZZIU
P
I
UZ 
Com base nestes valores são obtidos :
O mesmo procedimento é feito nos casos de curto-circuito dos terminais p
e q e curto-circuito dos terminais m e n.
Para a identificação do tipo de carga, há necessidade de se oscilografar a
corrente e tensão nos terminais e determinar qual das duas grandezas
avança ou atrasa.
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 19
Teoria de Quadripolos
Impedância característica de um quadrípolo
Num quadrípolo, o quociente da tensão de entrada pela
corrente de entrada designa-se impedância de entrada en
Z
CZ1U 2U
1I 2I
m
n
p
q
222221
212211
1 IAUA
IAUAZen 


Como:
2222 ZIZIU C 
22221
12211
1 AZA
AZAZen 


ELECTROTECNIATEÓRICA 2017 20
Teoria de Quadripolos
1Z 2U 1U
2I 1I
m
n
p
q





2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
)(;)(
;
1221
122
11121
12122
1
1
2
ZfZZfZ
ZIU
AZA
AZA
I
UZ
enen
en





31/07/2017
6
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 21
Teoria de Quadripolos
Estabelece-se que para um
quadrípolo não simétrico
existem tais valores
caractcaract ZZZZ 1122 , 
caracten ZZ 11  Quando nos terminais pq está ligada a impedância
de carga
caractac ZZZ 22arg 
Quando nos terminais mn está ligada a impedância
de carga
caracten ZZ 22 
caractac ZZZ 11arg 
Teoria de Quadripolos
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 22
As impedâncias caractcaract ZZ 21 , São designadas impedâncias
características.
22221
12211
11 AZA
AZA
ZZ
caract
caract
encaract 


11121
12122
22 AZA
AZA
ZZ
caract
caract
encaract 


2221
1211
1 AA
AAZ caract 
1121
1222
2 AA
AAZ caract 
Para um quadrípolo simétrico:
21
12
21 A
AZZ caractcaract 
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 23
Teoria de Quadripolos
4. Método Analítico usando as configurações equivalentes 
em T ou em Π
3Z


1U 2U
1I
3I
2I
2Z1Z
321
2222211
2122111 ; III
IAUAI
IAUAU






3
2
22
3
21
2
3
2
2
3
1
3
222
333222
1
1
;)1(1
0
Z
ZA
Z
A
I
Z
ZU
Z
I
Z
UZIIZIUZI





ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 24
Teoria de Quadripolos
21
3
21
22
2
21
11
1
3
21
2112
3
1
11
2
3
21
212
3
1
222111
1;1;1
;1
)()1(
A
Z
A
AZ
A
AZ
Z
ZZZZA
Z
ZA
I
Z
ZZZZU
Z
ZUZIZIU







31/07/2017
7
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 25
1Z


1U 2U
1I 2I


2Z 3Z
1

I
Teoria de Quadripolos
112
3
1
11
212
3
1
212
3
2
1
2
3
2
12111
;1
)1()(
;
ZA
Z
ZA
IZU
Z
ZUZI
Z
UU
I
Z
UIUZIU



2
1
22
32
321
212
2
1
2
32
321
1
2
3
2
212
3
1
2
1
2
1
1
1;;)1(
])1[(1
Z
ZA
ZZ
ZZZAI
Z
ZU
ZZ
ZZZI
I
Z
UIZU
Z
Z
Z
I
Z
UI






1 11 2 12 2
1 21 2 22 2
U A U A I
I A U A I
  

 
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 26
Teoria de Quadripolos
5. Acoplamento de quadrípolos
a) Cascata
aI1 aI2 bI1 bI2aU1 aU2 bU2b
U1
1U 2U1I 2I
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 27
Teoria de Quadripolos




































a
a
b
b
b
b
a
a
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1 ;;








































































2
2
2221
1211
2
2
2221
1211
2221
1211
1
1
2
2
2221
1211
1
1
2
2
2221
1211
1
1 ;
I
U
AA
AA
I
U
AA
AA
AA
AA
I
U
I
U
AA
AA
I
U
I
U
AA
AA
I
U
ba
bbbaaa
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 28
Teoria de Quadripolos
b) Série
aI1 aI2aU1 aU 2
bI1 bI2 bU2bU1
1U
1I 2I
2U
1U 2U1I 2I
31/07/2017
8
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017
29
Teoria de Quadripolos














































































































2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1
;;
;
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
U
U
U
U
U
U
U
U
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ZZ
ZZ
U
U
I
I
ZZ
ZZ
U
U
ba
baaba
bbbaaa
No caso do acoplamento em série o modelo prárico para se utilizar é o Z:
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 30
Teoria de Quadripolos
c) Paralelo
aU1 aI1 a
U 2
aI2
bI1bU1 bU2bI2
1U 1I
2U
2I 1U 2U1I 2I
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 31
Teoria de Quadripolos


































































































2
1
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
2221
1211
2
1 ;
U
U
YY
YY
YY
YY
I
I
I
I
I
I
U
U
U
U
U
U
U
U
YY
YY
I
I
U
U
YY
YY
I
I
baba
ba
bbbaaa
No caso do acoplamento em paralelo a obtenção do quadrípolo resultante
torna-se efectivo com o modelo Y:
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 32
Teoria de Quadripolos
Transformacao do modelo A em outros e vice-versa
a) A em Z e vice-versa






























2
21
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31/07/2017
9
ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017
33
Teoria de Quadripolos
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ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 34
Teoria de Quadripolos
b) A em Y e vice-versa
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ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 35
Teoria de Quadripolos
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ELECTROTECNIA TEÓRICA 2017 36Teoria de Quadripolos
Concordância de um quadrípolo instalado entre uma 
fonte de CA e a carga para obtenção de potência 
máxima na carga
CZ1E
m
n
p
q
1entZ 2entZ
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