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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 1 AULA 12 – Integração Trigonométrica (Parte 2) Integração de Produtos de seno e cosseno com arcos diferentes As integrais do tipo sen x cos x dx , sen xsen x dx e cos x cos x dx podem ser encontradas usando as seguintes identidades trigonométrica 1 sen x cos x sen x sen x 2 (1a) 1 sen xsen x cos x cos x 2 (1b) 1 cos x cos x cos x cos x 2 (1c) Assim, as equações 1(a), 1(b) e 1(c) podem expressar o integrando como uma soma ou uma diferença de senos e cossenos. Exemplo 1. Calcule sen7x cos3x dx . Solução. Utilizando a identidade trigonométrica conveniente, é possível escrever 1 1 sen7x cos3x sen 7x 3x sen 7x 3x sen4x sen10x 2 2 Assim, 1 1 1 sen7x cos3x dx sen4x sen10x dx sen4x dx sen10x dx 2 2 2 o que implica em 1 1 sen7x cos3x dx cos 4x cos10x C 8 20 Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 2 Exemplo 2. Ache cos 2 x cos x dx 3 . Solução. Utilizando a identidade trigonométrica conveniente, tem-se 1 1 5 7 cos 2 x cos x cos 2 x cos 2 x cos x cos x 3 2 3 3 2 3 3 Assim, 1 5 1 7 cos 2 x cos x dx cos x dx cos x dx 3 2 3 2 3 3 5 3 7 cos 2 x cos x dx sen x sen x C 3 10 3 14 3 Integração de Potências de tangente e de secante O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os procedimentos para as de seno e de cosseno. Assim, tem-se, também, as seguintes fórmulas de redução apresentadas no Teorema 1. Teorema 1. Para as integrais de potências de tangente e seacnte tem-se n 1 n n 2tg xtg x dx tg x dx n 1 (2a) n 2 n n 2sec x tgx n 2sec x dx sec x dx n 1 n 1 (2b) para n 2 . É possível, no entanto, obter formas alternativas para a integração das potências de tangente e de secante utilizando para isso as identidades trigonométricas apropriadas. Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 3 Exemplo 3. Mostre que (a) tgx dx ln sec x C (b) sec x dx ln sec x tgx C Solução (a). Como a tangente pode ser expressa em função de seno e cosseno, tem-se senx tgx dx dx cos x Agora, fazendo u cos x , tem-se du senxdx senxdx du . Assim, senx du tgx dx dx ln u C ln cos x C cos x u Como 11 cos x sec x sec x , então, pode-se concluir que tgx dx ln sec x C Solução (b). Multiplicando e dividindo o integrando pela expressão secx tgx , tem-se: 2sec x tgx sec x sec x tgx sec x dx sec x dx sec x tgx sec x tgx Agora, fazendo, então, u tgx secx , tem-se 2du sec x sec x tgx dx , logo 2sec x sec x tgx du dx ln u C ln sec x tgx C sec x tgx u Exemplo 4. Calcule 2tg x dx . Solução. Como 2 2tg x sec x 1 , então, tem-se 2 2 2tg x dx sec x 1 sec x dx dx tgx x C Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 4 Exemplo 5. Ache. (a) 3sec x dx (b) 3tg x dx Solução (a). Do Teorema 1, desta aula, tem-se: 3 1 1 1 1sec x dx sec x tgx sec x dx sec x tgx ln sec x tgx C 2 2 2 2 Outra forma de resolver este item seria utilizando a método da integração por partes. Isto é, pode-se escrever 3 2sec x dx sec xsec x dx Fazendo u secx e 2dv sec x dx , tem-se du secx tgxdx e v tgx , portanto 3 2 2sec x dx sec x tgx sec x tg x dx sec x tgx sec x sec x 1 dx 3 3sec x dx sec x tgx sec x dx sec x dx 32 sec xdx sec x tgx sec x dx resultando em 3 1 1sec x dx sec x tgx ln sec x tgx C 2 2 Solução (b). Do teorema 1, tem-se: 3 2 21 1tg x dx tg x tgx dx tg x ln sec x C 2 2 Outra forma de resolver este item seria usando o fato de que 2 2tg x sec x 1 , como o seguinte procedimento Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 5 3 2 2 2tg x dx tgx tg x dx tgx sec x 1 dx tgxsec x dx tgx dx resultando em 3 21tg x dx tg x ln sec x C 2 Exemplo 6. Ache 6sec x dx . Solução. Pode-se escrever a integral da seguinte forma 2 2 6 2 2 2 2sec x dx sec x sec x dx tg x 1 sec x dx Fazendo u tgx , tem-se 2du sec xdx . Assim, 2 2 2 2 2 4 2 5 31 2tg x 1 sec x dx u 1 du u 2u 1 du u u u C 5 3 Como u tgx , então, implica que 6 5 31 2sec x dx tg x tg x tgx C 5 3 Integração de produtos de tangentes e secantes Se m e n são inteiros positivos, então a integral: m ntg xsec x dx (3) pode ser calculada por um dos três procedimentos apresentados na Tabela 1 dependendo de m e n serem pares ou ímpares. Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 6 Tabela 1 m ntg xsec x dx Procedimento Identidade Relevante n par Separa-se um fator 2sec x Usa-se a identidade relevante Faz-se a substituição u tgx 2 2sec x tg x 1 m ímpar Separa-se um fator secxtgx Usa-se a identidade relevante Faz-se a substituição u secx 2 2tg x sec x 1 m par n ímpar Usa-se a identidade relevante para reduzir o integrando somente às potências de secx Agora use a fórmula de redução para potências de secx 2 2tg x sec x 1 Exemplo 7. Ache 4 6tg xsec x dx . Solução. Como a potência da secante é par, então 2 2 4 6 4 2 2 4 2 2tg xsec x dx tg x sec x sec x dx tg x tg x 1 sec x dx Fazendo, então, u tgx tem-se 2du sec xdx . Assim, 2 2 4 2 2 4 2 4 4 2tg x tg x 1 sec x dx u u 1 du u u 2u 1 du 8 6 4 9 7 51 2 1u 2u u du u u u C 9 7 5 Como u tgx , então, pode-se concluir que: 4 6 9 7 51 2 1tg xsec x dx tg x tg x tg x C 9 7 5 Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 7 Exemplo 8. Calcule 2tg x sec x dx . Solução. Uma vez que a potência da tangente é par e a da secante é ímpar, então, pode-se reduzir o integrando a somente potências de secante. Daí, 2 2 3tg xsec x dx sec x 1 sec x dx sec x dx sec x dx 2 1 1tg xsec x dx sec x tgx ln sec x tgx C 2 2
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