Aula 12 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
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AULA 12 – Integração Trigonométrica (Parte 2) 
Integração de Produtos de seno e cosseno com arcos diferentes 
As integrais do tipo 
sen x cos x dx 
, 
sen xsen x dx 
 e 
cos x cos x dx 
 
podem ser encontradas usando as seguintes identidades trigonométrica 
   
1
sen x cos x sen x sen x
2
       
 (1a) 
   
1
sen xsen x cos x cos x
2
       
 (1b) 
   
1
cos x cos x cos x cos x
2
       
 (1c) 
Assim, as equações 1(a), 1(b) e 1(c) podem expressar o integrando como uma 
soma ou uma diferença de senos e cossenos. 
 
Exemplo 1. Calcule 
sen7x cos3x dx
. 
 
Solução. Utilizando a identidade trigonométrica conveniente, é possível escrever 
     
1 1
sen7x cos3x sen 7x 3x sen 7x 3x sen4x sen10x
2 2
       
 
 Assim, 
 
1 1 1
sen7x cos3x dx sen4x sen10x dx sen4x dx sen10x dx
2 2 2
      
 
o que implica em 
1 1
sen7x cos3x dx cos 4x cos10x C
8 20
  
 
 
 
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Exemplo 2. Ache 
cos 2 x cos x dx
3


. 
 
Solução. Utilizando a identidade trigonométrica conveniente, tem-se 
1 1 5 7
cos 2 x cos x cos 2 x cos 2 x cos x cos x
3 2 3 3 2 3 3
          
            
      
 
 Assim, 
1 5 1 7
cos 2 x cos x dx cos x dx cos x dx
3 2 3 2 3
  
    
 
3 5 3 7
cos 2 x cos x dx sen x sen x C
3 10 3 14 3
  
   
 
 
 
Integração de Potências de tangente e de secante 
O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue 
paralelamente os procedimentos para as de seno e de cosseno. Assim, tem-se, também, as 
seguintes fórmulas de redução apresentadas no Teorema 1. 
 
Teorema 1. Para as integrais de potências de tangente e seacnte tem-se 
n 1
n n 2tg xtg x dx tg x dx
n 1

 
 
 (2a) 
n 2
n n 2sec x tgx n 2sec x dx sec x dx
n 1 n 1

 
  
 (2b) 
para 
n 2
. 
É possível, no entanto, obter formas alternativas para a integração das potências 
de tangente e de secante utilizando para isso as identidades trigonométricas apropriadas. 
 
 
 
 
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Exemplo 3. Mostre que 
(a) 
tgx dx ln sec x C 
 (b) 
sec x dx ln sec x tgx C  
 
 
Solução (a). Como a tangente pode ser expressa em função de seno e cosseno, tem-se 
senx
tgx dx dx
cos x
 
 
Agora, fazendo 
u cos x
, tem-se 
du senxdx senxdx du  
. Assim, 
senx du
tgx dx dx ln u C ln cos x C
cos x u
       
 
Como 
 
11
cos x sec x
sec x

 
, então, pode-se concluir que 
tgx dx ln sec x C 
 
 
Solução (b). Multiplicando e dividindo o integrando pela expressão 
secx tgx
, tem-se: 
2sec x tgx sec x sec x tgx
sec x dx sec x dx
sec x tgx sec x tgx
 
 
   
 
Agora, fazendo, então, 
u tgx secx 
, tem-se 
 2du sec x sec x tgx dx 
, logo 
2sec x sec x tgx du
dx ln u C ln sec x tgx C
sec x tgx u

     
 
 
 
Exemplo 4. Calcule 
2tg x dx
. 
 
Solução. Como 
2 2tg x sec x 1 
, então, tem-se 
 2 2 2tg x dx sec x 1 sec x dx dx tgx x C         
 
 
 
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Exemplo 5. Ache. 
(a)
3sec x dx
 (b) 
3tg x dx
 
 
Solução (a). Do Teorema 1, desta aula, tem-se: 
3 1 1 1 1sec x dx sec x tgx sec x dx sec x tgx ln sec x tgx C
2 2 2 2
      
 
Outra forma de resolver este item seria utilizando a método da integração por 
partes. Isto é, pode-se escrever 
3 2sec x dx sec xsec x dx 
 
Fazendo 
u secx
 e 
2dv sec x dx
, tem-se 
du secx tgxdx
 e 
v tgx
, portanto 
 3 2 2sec x dx sec x tgx sec x tg x dx sec x tgx sec x sec x 1 dx      
 
3 3sec x dx sec x tgx sec x dx sec x dx    
 
32 sec xdx sec x tgx sec x dx  
 
resultando em 
3 1 1sec x dx sec x tgx ln sec x tgx C
2 2
   
 
 
Solução (b). Do teorema 1, tem-se: 
3 2 21 1tg x dx tg x tgx dx tg x ln sec x C
2 2
     
 
Outra forma de resolver este item seria usando o fato de que 
2 2tg x sec x 1 
, 
como o seguinte procedimento 
 
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 3 2 2 2tg x dx tgx tg x dx tgx sec x 1 dx tgxsec x dx tgx dx        
 
resultando em 
3 21tg x dx tg x ln sec x C
2
  
 
 
Exemplo 6. Ache 
6sec x dx
. 
 
Solução. Pode-se escrever a integral da seguinte forma 
   
2 2
6 2 2 2 2sec x dx sec x sec x dx tg x 1 sec x dx    
 
Fazendo 
u tgx
, tem-se 
2du sec xdx
. Assim, 
     
2 2
2 2 2 4 2 5 31 2tg x 1 sec x dx u 1 du u 2u 1 du u u u C
5 3
           
 
Como 
u tgx
, então, implica que 
6 5 31 2sec x dx tg x tg x tgx C
5 3
   
 
 
Integração de produtos de tangentes e secantes 
 Se 
m
 e 
n
 são inteiros positivos, então a integral: 
m ntg xsec x dx
 (3) 
pode ser calculada por um dos três procedimentos apresentados na Tabela 1 dependendo de 
m
 e 
n
 serem pares ou ímpares. 
 
 
 
 
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Tabela 1 
m ntg xsec x dx
 Procedimento Identidade Relevante 
n
 par 
 Separa-se um fator 2sec x 
 Usa-se a identidade relevante 
 Faz-se a substituição 
u tgx
 
2 2sec x tg x 1 
 
m
 ímpar 
 Separa-se um fator 
secxtgx
 
 Usa-se a identidade relevante 
 Faz-se a substituição 
u secx
 
2 2tg x sec x 1 
 
m
 par 
 
n
 ímpar 
 Usa-se a identidade relevante 
para reduzir o integrando somente 
às potências de 
secx
 
 Agora use a fórmula de redução 
para potências de 
secx
 
2 2tg x sec x 1 
 
 
Exemplo 7. Ache 
4 6tg xsec x dx
. 
 
Solução. Como a potência da secante é par, então 
   
2 2
4 6 4 2 2 4 2 2tg xsec x dx tg x sec x sec x dx tg x tg x 1 sec x dx    
 
Fazendo, então, 
u tgx
 tem-se 
2du sec xdx
. Assim, 
     
2 2
4 2 2 4 2 4 4 2tg x tg x 1 sec x dx u u 1 du u u 2u 1 du       
 
 8 6 4 9 7 51 2 1u 2u u du u u u C
9 7 5
     
 
Como 
u tgx
, então, pode-se concluir que: 
4 6 9 7 51 2 1tg xsec x dx tg x tg x tg x C
9 7 5
   
 
 
 
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Exemplo 8. Calcule 
2tg x sec x dx
. 
 
Solução. Uma vez que a potência da tangente é par e a da secante é ímpar, então, pode-se 
reduzir o integrando a somente potências de secante. Daí, 
 2 2 3tg xsec x dx sec x 1 sec x dx sec x dx sec x dx      
 
2 1 1tg xsec x dx sec x tgx ln sec x tgx C
2 2
   