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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 1: Derivadas (parte 1) Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) PLANO DE ENSINO 1 DERIVADAS: CONCEITUAÇÃO 2 DERIVADAS: REGRAS BÁSICAS 3 DERIVADAS: ORDEM SUPERIOR 4 DERIVADAS: REGRA DA CADEIA 5 PRÓXIMOS PASSOS Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade I - DERIVADAS 1.1 Conceituação de Derivadas 1.2 Regras Básicas de Derivação 1.3 Derivadas de ordem superior 1.4 A Regra da Cadeia 1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas 1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 1.8 Derivação Implícita 1.9 Equação de reta tangente e normal Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.1 Taxas Relacionadas 2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 2.3 Modelagem e Otimização Unidade III - INTEGRAÇÃO 3.1 Integral Indefinida 3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 3.3 Integrais Definidas 3.3 Teorema Fundamental do Cálculo 3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento 4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 5.1 Procedimentos Algébricos 5.2 Integração por Partes 5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Bibliografia Básica BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015. FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo: Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v. LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v. Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Bibliografia Complementar AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998. HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995. MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v. Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Conceituação Taxa de variação Seja uma partícula em movimento segundo a função: 𝑠 𝑡 = −𝑡2 + 6𝑡 Determinar, a partir de s(t), uma função que fornece a variação instantânea do movimento da partícula em qualquer instante A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através do cálculo do limite Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Taxa de variação 𝒗 𝒕 = −𝟐𝒕 + 𝟔 Essa expressão é denominada derivada da função 𝑠(𝑡). Conceituação A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através do cálculo do limite Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 𝒗 𝒕 = −𝟐𝒕 + 𝟔 Agora, podemos determinar a velocidade da partícula no instante que quisermos. 𝑣 1 = −2 ∙ 1 + 6 = 4 m/s; 𝑣 2 = −2 ∙ 2 + 6 = 2 m/s 𝑣 2,5 = −2 ∙ 2,5 + 6 = 1 m/s 𝑣 3 = −2 ∙ 3 + 6 = 0; 𝑣 4 = −2 ∙ 4 + 6 = −2 m/s Taxa de variação Conceituação A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através do cálculo do limite Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) A derivada 𝑓′(𝑥) da função 𝑓(𝑥) é definida por: 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ sempre que esse limite existe. Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • determinar taxas de variações instantâneas; • obter máximos e mínimos de funções; • detalhar o comportamento de funções. Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse. Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções. PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS. Aplicações da derivada Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil; • O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa; • Algumas regras básicas facilitarão o processo. Regra 1: Derivada da função y = k Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é uma constante, então a sua derivada é: y′ = 0 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regra 1: Derivada da função y = k Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é uma constante, então a sua derivada é: y′ = 0 f 𝒙 = 𝟓 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =?; 𝒚 = −𝟎, 𝟎𝟐 ⇒ 𝒚′ =?; 𝒔 𝒕 = 𝟏 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 𝒔′ 𝒕 =? ; 𝒇 𝒙 = 𝒕𝟑 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =? Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Regra 2: Derivada da função y = xn Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑥𝑛, então a sua derivada é: 𝑦′ = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 , 𝑛 ∈ ℝ f 𝒙 = 𝒙𝟒 f 𝒙 = 𝒙𝟏 𝒈 𝒙 = 𝟏 𝒙𝟒 𝒉 𝒙 = 𝒙𝟓 𝟔 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟕 Regra 3: Derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), então a sua derivada é: 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙𝟑 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟓 𝟕 Regra 4: Derivada da função 𝒚 = 𝒌 ∙ 𝒇(𝒙) Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥), em que 𝑘 é constante, então a sua derivada é: 𝑦′ = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟓𝒙)(𝟑𝒙 + 𝟏) 𝒉(𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝒙) Regra 5: Derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥). Então a sua derivada é: 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 𝒕 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟕 −𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟒 Regra 6: Derivada da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) Seja uma função do tipo 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) , em que 𝑔(𝑥) ≠ 0, então a sua derivada é: 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 2 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) • Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo; • Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo; • Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t; • A derivada de uma função indica sua taxa de variação; • A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade. • Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instantet, é a derivada v’(t) de sua velocidade. Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração: A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t). )(')( tstv )(')( tvta )('')( tsta Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) ''y )('' xf 2 2 dx yd• derivada de segunda ordem: , ou '''y )(''' xf• derivada de terceira ordem: , ou 3 3 dx yd • derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou 4 4 dx yd • derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou n n dx yd Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Uma partícula desloca-se segundo a função horária s em metros e t em segundos, com 0 t 3. 2 23)( 3 2 tttts Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) )´()( tstv Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) )´´()´()( tstvta Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) )´´()´()( tstvta Posição, Velocidade, aceleração Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x. y é a função composta )(tfy )(xgt ))(( xgfy ))(( xgf Lê-se: “função f da g de x” Regra da Cadeia Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) DEFINIÇÃO: Se )(tfy )(xgt e são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é dada por: dx dy dx dt dt dy dx dy Regra da Cadeia Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 23 2 xt ty Regra da Cadeia Assuntos da próxima aula: 1. Derivadas: Funções Trigonométricas 2. Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas 3. Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas
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