APRESENTACAO DA AULA 7

Prévia do material em texto

CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 7: Integrais imediatas e por substituição 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
INTEGRAIS IMEDIATAS 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
INTEGRAIS POR SUBSTITUÇÃO 
2 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
 
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) 
 Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 
 
. 
 
Ckxdxk  
C
n
x
dxx
n
n 



 1
1
Cxdxx  cos sen 
Cxdxx  sen cos 
, para todo n real diferente de – 1. 
 
(i) 
 
(ii) 
 
(iii) 
 
(iv) 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
. 
 
(v) 
 
(vi) 
 
(vii) 
 
(viii) 
Cxdxx  tg sec 
2
Cxdxx  cotg csc 
2
Cxdxxx  csc cotg csc
Cxdxxx  sec tgsec
 
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) 
 Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 
 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
. 
 
(ix) 
 
(x) 
 
(xi) 
 
(xii) 
Cxdx
x


 cotg 
1
1
2
Cxdx
x


 sen arc 
1
1
2
Cxdx
x


 cos arc 
1
1
2
Cxdx
x


 tgarc 
1
1
2
 
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) 
 Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 
 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
. 
 
(xiii) 
 
(xiv) 
 
(xv) 
 
(xvi) 
Cxdx
xx


 csc arc 
1
1
2
Cxdx
xx


 sec arc 
1
1
2
Cxdx
x


 cotg arc
1
1
2
Cadxaa xx  ln
 
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) 
 Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 
 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
. 
 
(xvii) 
 
(xviii) 
 
(xiv) 
 
 
Cedxe xx 
Cxdx
ax
a 

log 
ln
1
Cxdx
x
 ln 
1
 
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) 
 Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 
 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
 
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO 
     
dx
xgd
dx
xfd
dx
xgxfd )()()()(


     dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(
Como 
 
 
 
então 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
 
Seja F(x) uma antiderivada de f(x). Então, a integral de uma função da 
forma é dada por 
 
 
 
Considerando e , então podemos reescrever a 
expressão acima na forma 
 
Método da substituição 
  )(')( xgxgf 
    CxgFdxxgxgf  )()(')(
)(xgu  dxxgdu )('
CuFdufu  )( 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
  dxx 5
5)(  xxf






5
2
1
xu
uf
dxdu
dx
du
1
  duudxx 5 2
1
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
  dxx 5
C
u
C
u
duu






2
3
1
2
1
 
2
3
1
2
1
2
1
C
uu

3
2
 
5 xu
C
xx
C
xx
dxx






3
5)102(
3
5)5(2
 5
sabendo que 
podemos concluir que 
 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
X’ 
  x dxx
42 )73(
. 
 
Note que, para realizar a substituição, é preciso dividir a expressão por 6 
 
Portanto 
73 2  xu
xdxdux
dx
du
66 
duxdx
6
1

Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
  x dxx
42 )73(
C
u
C
u
duu
duux dxx






30
56
1
6
1
6
1
)73(
5
5
4
442
73 2  xu
C
x
x dxx 

 30
)73(
)73(
52
42
Como , então podemos concluir 
que 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
 dxx)3cos(
xu 3
dudxdxdu
3
1
3 
.sen 
3
1
cos
3
1
3
1
cos)3cos(
Cu
u du
 duu dxx





.)3(sen 
3
1
)3cos( Cx dxx 
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
 

dx
xx
x
53
1
3
2
533  xxu
).1(3
33
2
2


x
x
dx
du dxxdu )1(3 2 
Cu
du
u
du
u
dx
xx
x







ln
3
1
1
3
1
3
11
53
1
3
2
Unidade III: Integrais indefinidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO 
 

dx
xx
x
53
1
3
2
533  xxu
Cu
du
u
du
u
dx
xx
x







ln
3
1
1
3
1
3
11
53
1
3
2
Cxxdx
xx
x



 53ln3
1
53
1 3
3
2
Assuntos da próxima aula: 
1. Teorema Fundamental do Cálculo; 
2. Integral definida.