APRESENTACAO DA AULA 9

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Aula 9: Cálculo de Áreas 
Unidade III: Integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 9: CÁLCULO DE ÁREAS 
CÁLCULO DE ÁREAS 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Unidade III: Integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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A área está dividida em duas sub-regiões, A1 e A2. 
 
Como f(x) é negativa para valores de x entre 0 e 3, a sua integral definida 
nesse intervalo, ou em um seu subintervalo, também será negativa. 
 
Portanto, a integral referente a área A1 terá valor negativo 
 
 
A1 
A2 
Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝒙2 − 𝟑𝒙 entre x = 1 e x = 5 pelo eixo x 
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A1 
A2 
ou 
Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝒙2 − 𝟑𝒙 entre x = 1 e x = 5 pelo eixo x 
𝐴1 = − 𝑥
2 − 3𝑥 𝑑𝑥
3
1
 𝐴1 = 𝑥
2 − 3𝑥 𝑑𝑥
1
2
 
𝐴2 = 𝑥
2 − 3𝑥 𝑑𝑥
5
3
 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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A1 
A2 
Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝒙2 − 𝟑𝒙 entre x = 1 e x = 5 pelo eixo x 
𝐴1 = 𝑥
2 − 3𝑥 𝑑𝑥
1
3
 
=
𝑥3
3
−
3𝑥2
2
3
1
 
=
13
3
−
3 12
2
−
33
3
−
3 32
2
 
=
1
3
−
3
2
−
27
3
+
27
2
=
10
3
 
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A1 
A2 
Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝒙2 − 𝟑𝒙 entre x = 1 e x = 5 pelo eixo x 
𝐴2 = 𝑥
2 − 3𝑥 𝑑𝑥
5
3
 
=
𝑥3
3
−
3𝑥2
2
3
5
 
=
53
3
−
3 52
2
−
33
3
−
3 32
2
 
=
125
3
−
75
2
−
27
3
+
27
2
=
26
3
 
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A1 
A2 
Somando as áreas A1 e A2 obtemos o valor total da área A 
Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝒙2 − 𝟑𝒙 entre x = 1 e x = 5 pelo eixo x 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 =
10
3
+
26
3
= 12 
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A1 
A2 
Observe que a função: 
• é positiva para valores de x entre −
𝜋
2
 e 
𝜋
2
 
• é negativa entre 
𝜋
2
 e 𝜋 . 
Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 no intervalo 
−𝝅
𝟐
, 𝝅 e o eixo x 
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Cálculo da área definida pela função 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 no intervalo 
−𝝅
𝟐
, 𝝅 e o eixo x 
A1 
A2 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
= 2 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
+ 2 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
2
= 2 sen
𝜋
2
− 2 sen −
𝜋
2
− 2 sen𝜋 − 2 sen
𝜋
2
= 2 1 − 2 −1 − 2 0 − 2 1
= 4 + 2 = 6 
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Para determinar os limites é preciso, além de esboçar seus gráficos, determinar os pontos de interseção 
entre as curvas. 
Deve-se igualá-las e resolver a equação resultante: 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 e 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 
𝑥2 − 𝑥 + 2 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
𝑥1 − −1 𝑜𝑢 𝑥2 = 2 
𝑓 −1 = 𝑔 −1 = 1 
𝑓 2 = 𝑔 2 = 4 
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A 
g(x) = x + 2 
f(x) = x2 
Como calcular a 
área demarcada? 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 e 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 
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Basta subtrair de 
A 
g(x) = x + 2 
A área de interesse, em destaque, pode ser calculada 
através da diferença entre a área definida pela reta e 
o eixo x e a área definida pela parábola e o eixo x 
f(x) = x2 
g(x) = x + 2 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 e 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 
 𝑥2𝑑𝑥
2
−1
 𝑥 + 2 𝑑𝑥
2
−1
 
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A 
g(x) = x + 2 
f(x) = x2 
g(x) = x + 2 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 e 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 
𝐴 = 𝑥 + 2 𝑑𝑥
2
−1
− 𝑥2𝑑𝑥
2
−1
 
=
𝑥2
2
+ 2𝑥
−1
2
−
𝑥3
3
−1
2
=
22
2
+ 2 2 −
−1 2
2
+ 2 −1
−
23
3
−
−1 3
3
= 6 +
3
2
−
8
3
+
1
3
= 4,5 
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Cálculo das interseções igualando as expressões 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 entre -1 e 3 
−𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2 − 4 
−2𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 
𝑥1 = −1 𝑜𝑢 𝑥1 = 2 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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g(x) = x2 – 4 
A2 
f(x) = –x2 + 2x 
A1 
Nota-se que a construção dos gráficos é fundamental 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 entre -1 e 3 
𝐴1 = 𝑓 𝑥
2
−1
𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
 
𝐴2 = 𝑔 𝑥
3
2
𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
3
2
 
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g(x) = x2 – 4 
A2 
f(x) = –x2 + 2x 
A1 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 entre -1 e 3 
𝐴1 = 𝑓(𝑥 
2
−1
𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
= −𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 −
2
−1
 (𝑥2
2
−1
− 4 𝑑𝑥
= −𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2 − 4 𝑑𝑥
2
−1
= −𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2 + 4 𝑑𝑥
2
−1
 
= −2𝑥2 + 2𝑥 + 4 𝑑𝑥
2
−1
 
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g(x) = x2 – 4 
A2 
f(x) = –x2 + 2x 
A1 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 entre -1 e 3 
𝐴1 = −2𝑥
2 + 2𝑥 + 4
2
−1
𝑑𝑥 
= −2
𝑥3
3
+ 𝑥2 + 4𝑥
−1
2
= −2
23
3
+ 22 + 4(2 
− −2
−1 3
3
+ −1 2 + 4 −1
= −
16
3
+ 4 + 8 −
2
3
+ 1 − 4
=
20
3
− −
7
3
= 9 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 9: CÁLCULO DE ÁREAS 
g(x) = x2 – 4 
A2 
f(x) = –x2 + 2x 
A1 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 entre -1 e 3 
𝐴2 = 2𝑥
2 − 2𝑥 − 4
3
2
𝑑𝑥 
= 2
𝑥³
3
− 𝑥2 − 4𝑥
2
3
= 2
3³
3
− 32 − 4(3 − 2
23
3
− 22 − 4 2
=
54
3
− 9 − 12 −
16
3
− 4 − 8
= −3 − −
20
3
=
11
3
 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 9: CÁLCULO DE ÁREAS 
Cálculo da área definida pela funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 e 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 entre -1 e 3 
g(x) = x2 – 4 
A2 
f(x) = –x2 + 2x 
A1 
Logo, a área A que se quer determinar é dada por: 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
= 9 +
11
3
 
=
38
3
 
Assuntos da próxima aula: 
1. Teorema Fundamental do Cálculo; 
2. Integral definida.