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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aula 13: Cálculo do comprimento de curvas planas Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS 1 PRÓXIMOS PASSOS Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS O cálculo do comprimento de uma curva plana descrita por uma função matemática é um recurso importante para a Engenharia: • Trajetória percorrida por um móvel; • Cálculo de área de superfícies complexas; • Topografia (descrição de relevo); • Projeto de estradas e ferrovias etc. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Qual é o comprimento da curva? Podemos imaginar que, da mesma forma vista para o cálculo de áreas, podemos dividir a curva em um grande número de segmentos retos e somá-los. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Dividir a curva em um grande número de segmentos retos e somá-los à hipotenusa de cada um dos “quase” triângulos formados tem comprimento que se aproxima do respectivo setor do gráfico. ix iy ip if Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Aproximação do comprimento da curva: Hipotenusa: 𝑝1 = ∆𝑥1 2 + ∆𝑦1 2 ix iy ip if Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Aproximação do comprimento da curva: Hipotenusa: 𝑝1 = ∆𝑥1 2 + ∆𝑦1 2 por ∆𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖 𝑝1 = ∆𝑥𝑖 2 + ∆𝑦𝑖 2. ∆𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖 = 1 + ∆𝑦𝑖 2 ∆𝑥𝑖 2 . ∆𝑥𝑖 𝑝1 == 1 + ∆𝑦𝑖 ∆𝑥𝑖 . ∆𝑥𝑖 ix iy ip if Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Aproximação do comprimento da curva: 𝐶 = 𝑝𝑖 𝑛 𝑖=1 𝐶 = 1+ ∆𝑦𝑖 ∆𝑥𝑖 2 . ∆𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ix iy ip if A expressão pode ser considerada uma soma de Riemann. Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS . Aproximação do comprimento da curva: 𝐶 = 1+ ∆𝑦𝑖 ∆𝑥𝑖 2 . ∆𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 Cálculo do comprimento: 𝐶 = lim 𝑛→∞ 1+ ∆𝑦𝑖 ∆𝑥𝑖 2 . ∆𝑥𝑖 ix iy ip if Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS ix iy ip if Cálculo do comprimento: 𝐶 = lim 𝑛→∞ 1+ ∆𝑦𝑖 ∆𝑥𝑖 2 . ∆𝑥𝑖 𝐶 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS ix iy ip if Cálculo do comprimento: 𝐶 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Expressão que representa 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 6𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥 + 6 Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS ix iy ip if C = 6,1257 u. c. Qual é o comprimento da curva 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 𝐶 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 4 1 = 1 + −2𝑥 + 6 2𝑑𝑥 4 1 = 4𝑥2 − 24𝑥 + 37𝑑𝑥 4 1 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Qual é o comprimento da curva 𝒈 𝒙 = 𝟓 𝒙³ no intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 𝑦 = 5 3 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 15𝑥 1 2 2 𝐶 = 1 + 15𝑥 1 2 2 2 𝑑𝑥 4 0 𝐶 = 1 + 225𝑥 4 2 𝑑𝑥 = 4 + 225𝑥 4 𝑑𝑥 4 0 4 0 𝐶 = 1 2 4 + 225𝑥𝑑𝑥 4 0 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Qual é o comprimento da curva 𝒈 𝒙 = 𝟓 𝒙³ no intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 4 + 225𝑥𝑑𝑥 método da substituição, considerando 𝑢 = 4 + 225𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 225 → 𝑑𝑥 = 1 225 𝑑𝑢 4 + 225𝑥𝑑𝑥 = 𝑢 1 225 𝑑𝑢 = 1 225 𝑢 𝑑𝑢 = 1 225 𝑢 1 2 𝑑𝑢 = 2𝑢 3 2 675 + 𝐶 = 2(4 + 225𝑥) 3 2 675 + 𝐶 = 2 (4 + 225𝑥)3 675 + 𝐶 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS Qual é o comprimento da curva 𝒈 𝒙 = 𝟓 𝒙³ no intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 𝐶 = 1 2 2 4 + 225𝑥 3 675 0 4 = 1 675 4 + 225𝑥 3 0 4 = 1 675 4 + 225 . 4 3 − 4 + 225 . 0 3 ≅ 40,2551 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 13: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE CURVAS PLANAS O software GeoGebra permite o cálculo do comprimento de uma curva com o comando comprimento: Comprimento[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] www.geogebra.org . Dicas, textos, vídeos e cursos: Assuntos da próxima aula: 1. Técnicas de integração: procedimentos algébricos; 2. Técnicas de integração: por partes; 3. Técnicas de Integração: frações parciais.
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