Aula 5 CEP - qualidade e controle estatisco

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Controle Estatístico de Qualidade 
 
 Professor: 
Rafael Ferreira Gregolin 
 
 Instituição: 
UFGD 
 
 
 
Dourados, 2015 
Análise de Desempenho dos Gráficos de 
Controle Xbarra e R 
Desempenho dos Gráficos de Controle 
Capacidade de detectar perturbações no processo 
 
É importante para: 
 
• Determinação do Plano de Amostragem 
(tamanho amostral e intervalo entre amostras) 
 
• Estabelecimento dos Limites de Controle 
Capítulo 3: Gráficos de Controle por Variáveis
3.2 Análise de Sensibilidade
Hipótese 
0H
 
Decisão 
Aceitar 
0H
 
Probabilidade 
Rejeitar 
0H
 
Probabilidade 
Verdadeira Decisão Correta 1- Erro do Tipo I 
Falsa Erro do Tipo II  Decisão Correta 1-
 
0H : Réu inocente (3.34)
1H : Réu culpado (3.35)
Teste de Hipóteses do Gráfico de Xbarra 
 
H0 : μ = μ0 vs. H1 : μ ≠ μ0 
 
H0: 
Processo em controle 
Processo ajustado 
Processo centrado no valor-alvo 
Processo livre de causas especiais 
 
Não se rejeita H0 toda vez em que Xbarra cai dentro 
dos limites de controle 
Erros de Decisão 
 
• ALARME FALSO (Erro tipo I): 
considerar erroneamente o processo fora de controle 
conseqüência: intervir na hora errada 
 
• NÃO DETECÇÃO (Erro tipo II) 
 
considerar erroneamente o processo em controle 
conseqüência: não intervir na hora certa 
3.2.1 Gráfico de Controle de X 
]LICXou LSCXPr[ 0XX  
] LSCXLICPr[ 0XX  
(3.46) 
(3.47) 
H0
: 
  0
 (3.44) 
H1
: 
  0
 (3.45) 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
Figura 3.7: Gráfico de X – ocorrência de um alarme falso
 15 30 45 60 75 90 105 Minutos
)n/;(N~);(N~X 00XX 
LM   0
n/3LSC 00 
Alarme falso
n/3LIC 00 
Figura 3.9: Determinação do Risco de Alarme Falso
 
 
 
 
 
 
LM  0 )n/;(N);(N~X 00XX  
)1;0(~ N
X
Z
X
X


 
n/kLIC 00  
-k 
n/kLSC 00  
0 k 
 / 2  / 2 
Tradicionalmente k=3,00 
Xa. v. 
Za. v. 
 
Alarme Falso no Gráfico de Xbarra 
 
• Para uma grande variedade de distribuições, Xbarra 
tenderá para uma Normal mesmo para n pequeno. 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
Tabela A1: Área em caudas simétricas da
distribuição Normal Padrão
0
Z ~ N ( 0 , 1 )
- z z
z 0,00 0,01 0,02
2,9 0,00373 0,00361 0,00350
3,0 0,0027 0,00261 0,00253
3,1 0,00194 0,00187 0,00181
3,2 0,00137 0,00133 0,00128
3,3 0,00097 0,00093 0,00090
Alarme Falso no Gráfico de Xbarra 
 
• L: Qte de amostras antes de um alarme falso 
 
• NMAF: número médio de amostras antes de 
alarme falso 
 
NMAF = E(L) = 1/α 
 
• Para limites 3σ, E(L)=370,4 
Poder do Gráfico de Xbarra 
 
• Quando o processo estiver sob influência da causa especial 
(H1 verdadeira) o ideal seria o primeiro ponto cair na zona de 
ação do gráfico; 
 
• Seja: 
μ1 = μ0 + δσ0 
δ = (μ1 − μ0)/σ0 
 
• Se δ ≥ 1,5 o valor de Xbarra cairá na zona de ação 
rapidamente 
• Se δ < 1,5 haverá uma certa inércia para o ponto cair na 
zona de ação. 
 
 
 15 30 45 60 75 90 Minutos 
n/3LSC 00  
)n/;(N~);(N~X 000XX  
LM  0 
Alarme verdadeiro 
00  
n/3LIC 00  
 
Figura 3.10: Gráfico de X – ocorrência de um alarme verdadeiro
Poder do gráfico Xbarra 
0LM  )n/;(N~X 000  
)1;0(N~
X
Z
X
X



n/kLIC 00  
n/kLSC 00  
 0
00X
 
nk nk 
Pd
Xa. v. 
Za. v. 
n
Figura 3.11: Determinação do Poder do Gráfico de Controle (Pd)
]nkZPr[]nkZPr[Pd   (3.56)
]nkZPr[]nkZPr[Pd  
Alarme Verdadeiro no Gráfico de Xbarra 
 
• M: Qte de amostras antes de um alarme verdadeiro 
• NMA: número médio de amostras antes de alarme 
NMA = E(M) = 1/Pd 
 
• São necessárias em média 6,3 amostras de tamanho 4 
para detectar um deslocamento de 1 desvio-padrão da 
média para k=3 e Pd=0,1587. 
 
• Se amostra for de tamanho 9, o poder será Pd = 0,5, 
necessitando-se, em média, 2 amostras para detectar o 
mesmo deslocamento. 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
]nkZPr[]nkZPr[Pd   (3.56)
Tabela A2: Distribuição Normal Padrão Acumulada
Z~N(0,1) z
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 z
0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 0,00820 -2,4
0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 0,01072 -2,3
0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 0,01390 -2,2
0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 0,01786 -2,1
0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 0,02275 -2,0
n
2 3 4 5 9
 z Pd z Pd z Pd z Pd z Pd
0,25 2,646 0,004 2,567 0,005 2,5 0,006 2,441 0,007 2,25 0,012
0,50 2,293 0,011 2,134 0,016 2 0,023 1,882 0,030 1,5 0,067
0,75 1,939 0,026 1,701 0,044 1,5 0,067 1,323 0,093 0,75 0,227
1,00 1,586 0,056 1,268 0,102 1 0,159 0,764 0,222 0 0,500
1,25 1,232 0,109 0,835 0,202 0,5 0,309 0,205 0,419 -0,75 0,773
1,50 0,879 0,19 0,402 0,344 0 0,500 -0,354 0,638 -1,5 0,933
2,00 0,172 0,432 -0,464 0,679 -1 0,841 -1,472 0,930 -3 0,999
3,00 -1,243 0,893 -2,196 0,986 -3 0,999 -3,708 1,000 -6 1,000
Tabela 3.7: Valores de Pd para Diferentes Combinações de n e de 
3.2.1 Gráfico de Controle de X
]nkZPr[]nkZPr[Pd   k=3,00
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
 (deslocamento)
Pd
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
Figura 3.12: Curvas de Pd versus  (k=3,00)
3.2.1 Gráfico de Controle de X
1
10
100
0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
 (deslocamento)
NMA
n=2
n=3
n=4
n=5
n=9
n=16
Figura 3.13: Curvas de NMA versus  (k=3,00)
3.2.1 Gráfico de Controle de X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número da Amostra
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
(%
)
delta=1,0 delta=1,5
Figura 3.14: Curva de Probabilidades de Não-Detecção (n=4)
3.2.1 Gráfico de Controle de X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número da Amostra
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
(%
)
n=9 n=4
Figura 3.15: Curva de Probabilidades de Não-Detecção (=1,0)
3.2.1 Gráfico de Controle de X
Comentários: 
 
• Deslocamento da média da ordem de 1,5σ será 
detectado com certeza até a 7a amostra de 4 itens; 
 
• Deslocamento de δ = 1 tem cerca de 30% de 
probabilidade de não ser percebido após retirada da 7a 
amostra de 4 itens; 
 
• Os gráficos de Xbarra são ágeis na detecção de 
grandes deslocamentos da média (δ > 1, 5) e lentos no 
caso de deslocamentos moderados. 
 
• Com grandes amostras, os gráficos de Xbarra são 
ágeis na detecção de deslocamentos moderados; 
Fazer exercício 3.1 e 3.2 do livro 
Controle estatístico de qualidade 
página 101 e 102. Para Entrega