Relações, Funções e Sistemas de Equações

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Unidade II
MATEMÁTICA
Prof. Me. Antônio Palmeira
Conteúdo da Unidade II
 Relações.
 Funções.
 Sistemas de Equações.
Plano Cartesiano
 O plano cartesiano é formado por duas retas reais 
perpendiculares, denominadas eixo x e y. 
 O ponto de cruzamento dessas retas é denominado origem dos 
eixos, pois representa o início da contagem dos eixos x 
e y e tem o zero como marcador.
 Os eixos x e y dividem o plano em quatro áreas, os quadrantes, 
que são organizados no sentido anti-horário e numerados em 
ordem crescente, com início em 1.
Plano Cartesiano
Fonte: Livro-texto.
Par ordenado
 Um par ordenado (a;b) representa um único ponto no plano 
cartesiano e vice-versa. 
O par ordenado pode ser representado matematicamente da 
seguinte forma:
Fonte: Livro-texto.
Pontos representados no plano cartesiano
Fonte: Livro-texto.
Produto cartesiano (AxB)
 O produto cartesiano de AxB é o conjunto de todos os pares 
ordenados (x;y), tal que x pertença ao conjunto A e y ao B, 
sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios.
 A notação matemática que representa o produto cartesiano é: 
A x B = {x |x ∈ A e y ∈ B}.
 Existem diversas formas de representar o produto cartesiano, 
tais como a notação de conjuntos, o diagrama de flechas e o 
próprio plano cartesiano. 
Exemplos de produto cartesiano (AxB)
A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Fonte: Livro-texto.
Exemplos de produto cartesiano (BxA)
A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Fonte: Livro-texto.
Exemplos de produto cartesiano (AxA)
A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Fonte: Livro-texto.
Relações
 A relação de A em B é qualquer subconjunto do produto 
cartesiano AxB, sendo que A e B não podem ser dois 
conjuntos vazios. Uma relação R de A em B é denotada pelo 
símbolo R: A → B.
 Dados os conjuntos 
A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos:
 AxB = {(-2;0), (-2;1), (-2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}
 Podemos ter:
 R1= {(-2;0), (-2;1), (-2;3)}
 R2= {(-2;3), (3;0)}
 R3= {(-2;0), (-2;1), (3;1), (3;3)}
Domínio e imagem de uma Relação
 Domínio de R ou D(R) é o conjunto de todos os elementos de 
A que estão associados a pelo menos um elemento de B: D(R) 
= {1, 2, 4};
 Imagem de R ou Im(R) é o conjunto de todos os elementos de 
B que são imagens de pelo menos um elemento de A: Im(R) = 
{0, 4, 6, 8}.
Fonte: Livro-texto.
Interatividade
Dados os conjuntos A = {5;3} e B = {0;1;2}, qual dos itens a 
seguir não é um par ordenado do produto cartesiano AxB?
a) (5;0)
b) (5;1)
c) (5;2)
d) (3;0)
e) (0;3)
Funções
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, definida por 
uma regra (ou lei) de formação f, na qual cada elemento de A é 
relacionado com apenas um elemento de B. A função é 
denotada por f: A  B. Exemplos:
 R1 não é função.
Fonte: Livro-texto.
Exemplos
R2 não é função.
R3 é função.
Fonte: Livro-texto.
Função do 1º grau (função linear ou afim)
 Função do 1º grau é toda função definida pela regra (ou lei) 
y = ax + b, com a e b  R e a  0.
Principais características da função do 1º grau:
 O gráfico da função do 1º grau é sempre uma reta.
 Quando a > 0, a função é crescente.
 Quando a < 0, a função é decrescente.
 A constante b, denominada por coeficiente linear da reta, 
é o intercepto do gráfico no eixo y.
Função do 1º grau
 A raiz da função é o valor de x para o qual y = 0. Ela indica o 
intercepto do eixo horizontal.
 Para se obter o gráfico de uma função do 1º grau, basta obter 
a raiz e o intercepto do eixo y, dado pelo coeficiente b. 
Exemplo 1: y = 2x + 6 
Raiz: 0 = 2x + 6 
2x = -6 
x = -3
 O intercepto do eixo y ocorre em y = 6
 A função é crescente pois a > 0.
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Exemplo
 Exemplo 2: y = -2x + 6
Cálculo da raiz: 
0 = -2x + 6
2x = 6
x = 3
 O intercepto do eixo y ocorre em y = 6
 A função é decrescente, pois a < 0
Gráfico:
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Exemplo
 Exemplo 3: y = 2x
 Nesse caso, o intercepto do eixo y é 0, que também coincide 
com a raiz. 
Para traçar o gráfico, vamos atribuir um valor para x, 
digamos x = 1:
 y = 2.1 = 2
 Agora podemos traçar o gráfico, que passa pela origem e pelo 
ponto (1,2).
 A função é crescente.
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Interatividade
Sobre a função y = 4x + 12 , podemos afirmar que:
a) É uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical em 12.
b) É uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal em -12.
c) É uma parábola que intercepta o eixo vertical em 12.
d) É uma reta crescente que intercepta o eixo vertical em 12.
e) É uma reta crescente que intercepta o eixo vertical em -12.
Função do 2º grau
 Função do 2º grau é toda função definida pela regra (ou lei) 
y = ax² + bx + c, com a, b e c  R e a ≠ 0. 
 A função poderá ter 0, 1 ou 2 raízes, conforme o sinal do 
discriminante .
 O seu gráfico é uma curva denominada parábola.
 Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima, e se 
a < 0 a concavidade será voltada para baixo.
 A parábola tem um ponto de inflexão, denominado vértice. 
Função do 2º grau
O vértice da parábola é dado pelas coordenadas:
 Toda parábola tem um trecho crescente e um trecho 
decrescente, separados pelo xV.
 Toda parábola tem um extremante, dado pelo yV. Se ela for 
voltada para cima, o extremante é um ponto de mínimo. Se ela 
for voltada para baixo, o extremante é um ponto de máximo.
 O intercepto do eixo y é dado pelo coeficiente c.
a
b
xV
2


a
yV
4


Exemplo
 y = x² – 4x – 5
  = (-4)² - 4.1.(-5) = 16 + 20 = 36
Raízes: 
 x1 = 5 e x2 = -1
Vértice: 
 O intercepto do eixo y é -5.
 A concavidade é voltada para cima.
2
64
1.2
36)4( 


x
2
2
4
1.2
)4(


Vx 9
1.4
36


Vy
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Exemplo
 A função é decrescente para x < 2 e crescente para x > 2.
 A função atinge ponto de mínimo em y = -9.
Exemplo 2: y = -x² + 6x – 9
 = 6² - 4.(-1).(-9) = 36 – 36 = 0
Raiz: 
Vértice: 
 O intercepto do eixo y é -9.
3
2
6
)1.(2
06






x
3
)1.(2
6



Vx
0Vy
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Exemplo
 Observe a concavidade voltada para baixo, pois a < 0.
 A função é crescente para x < 3 e decrescente para x > 3.
 A função atinge ponto de máximo em y = 0.
Função exponencial
 Uma função exponencial dada pela regra (ou lei) y = ax , 
em que a é um número real positivo e diferente de 1.
 Essa função será crescente se a > 1 e decrescente se a < 1.
 Seu gráfico é uma curva denominada exponencial, 
que corta o eixo vertical no ponto y = 1.
 O gráfico não corta o eixo horizontal, ou seja, a função 
não tem raiz.
Exemplo
1. y = 2x (2 elevado a x)
Para construir o gráfico, fazemos uma tabela na qual atribuímos 
alguns valores para x e calculamos cada y correspondente:
x y
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Exemplo
2. y = (1/2)x
x y
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Interatividade
Sobre o gráfico da função do 2° grau y = -x2 -1, podemos afirmar 
que se trata de:
a) Reta decrescente que intercepta o eixo horizontal em -1.
b) Parábola com concavidade para baixo e que intercepta o eixo 
vertical em 1.
c) Parábola com concavidade para cima e ponto de vértice (0,-1).
d) Parábola com concavidade para baixo e ponto de vértice (0,-1).e) Reta decrescente que intercepta o eixo vertical em -1.
Logaritmo
Definição:
Exemplos:
Função logarítmica
 A função logarítmica de base a é uma função dada pela regra 
(lei) sendo a número real positivo e diferente de 1.
 Se a < 1, a função é decrescente.
 Se a > 1, a função é crescente.
 A função corta o eixo horizontal em x = 1
Exemplo:
1.
Construímos uma tabela na qual atribuímos alguns valores 
convenientes para x e calculamos cada y correspondente:
Exemplos 
x y = log2x
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Gráfico
Fonte: Livro-texto.
Sistema de equações
 É um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas.
 Se o sistema tiver mais incógnitas do que equações, ele será 
indeterminado.
 Se não houver uma solução comum para todas as equações, 
o sistema será impossível.
 Se houver uma única solução para o sistema, então ele será 
possível e determinado.
Sistema 2x2
 A solução pode ser obtida isolando-se uma incógnita em uma 
equação e substituindo-a na outra.
Exemplo:
Isolando y na 1ª equação, temos:
 y = 11 – 10x
Substituindo na 2ª equação:
 5x – 3.(11 – 10x) = 2
 5x – 33 + 30x = 2
 35x = 35  x = 1
 y = 11 – 10.1 = 1





235
1110
yx
yx
Sistema 3x3
 É resolvido por meio da regra de Cramer.
 Calcula-se o determinante do sistema (D) e os determinantes 
das incógnitas (Dx, Dy e Dz). 
 A solução é dada por x = Dx/D, y = Dy/D e z = Dz/D
 O determinante do sistema (D) é formado pelos coeficientes 
das incógnitas.
 O determinante Dx é formado com base em D, substituindo os 
coeficientes de x pelos termos independentes.
 Construímos Dy e Dz de forma análoga.
Exemplo 
Assim, temos: x = 20/4 = 5
y = 12/4 = 3 e z = 8/4 = 2
4
111
111
111


D
20
110
114
1110


Dx
12
101
141
1101


Dy 8
011
411
1011


Dz
Interatividade
A solução do sistema é:
a) x = -1 e y = 6
b) x = 3 e y = 2
c) x = 1 e y = 4
d) x = 6 e y = -1
e) x = 4 e y = 1 
ATÉ A PRÓXIMA!