Capítulo 10 Regras de derivação

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Capítulo 10 – Regras de derivação
Introdução
Já aprendemos como encontrar a derivada de uma função por meio do gráfico (calculando a inclinação do gráfico em cada ponto) e como avaliar a derivada de uma função dada por uma tabela (encontrando a taxa de variação da função entre os dados apresentados). Vamos, neste capítulo, investigar regras que nos permitem achar derivadas de funções definidas por fórmulas. Para isso, usaremos a definição de função derivada
e teremos sempre em mente que a derivada representa uma inclinação e é também uma taxa de variação. Neste capítulo estudaremos a derivação das funções algébricas – as lineares, as potências, as polinomiais e as racionais.
 O que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada
Ao estabelecer as regras de derivação, apelaremos para a análise do gráfico de cada função. Isso nos permitirá imaginar como deve ser a derivada antes mesmo de encontrá-la e nos ajudará a avaliar se o resultado encontrado é ou não o esperado. Com um exemplo, relembraremos o que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada e, como conseqüência, o que nos diz a derivada a respeito da função.
A Figura 10.1 mostra o gráfico da função . À esquerda de 0, essa função é decrescente e as tangentes estão inclinadas para baixo (têm inclinação negativa); à direita de 0, a função é crescente e as tangentes estão inclinadas para cima (têm inclinação positiva); no ponto 0, a tangente é horizontal. 
Figura 10.1
Como a derivada é a inclinação da tangente em cada ponto do gráfico, podemos afirmar que o sinal da derivada nos diz se a função está crescendo ou decrescendo.
	
Se em um intervalo, então, é crescente nesse intervalo.
Se em um intervalo, então, é decrescente nesse intervalo.
Se em um intervalo, então, é constante nesse intervalo.
O módulo da derivada nos fornece o módulo da taxa de variação da função. Assim, quando o módulo de for grande, o gráfico de f será muito inclinado para cima (se for positiva) ou muito inclinado para baixo (se for negativa). Também, quando o módulo de for pequeno, o gráfico de f será levemente inclinado, para cima ou para baixo, de acordo com o sinal de .
10.2 Derivada de uma função constante
O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal, ou seja, uma reta paralela ao eixo x e sua inclinação é sempre igual a 0. Portanto, a derivada é igual a 0 em todos os pontos e podemos escrever: 
Se
 
,
 
então, 
.
Na Figura 10.2, está o gráfico da função constante e o de sua derivada .
Figura 10.2
Usando a definição de derivada e considerando, temos:
Exemplo 1
A derivada de é .
Notação usual: 
Escrevemos para indicar a derivada de em relação à variável x. 
Usando essa notação, e =0. 
10.3 Derivada de uma função linear
O gráfico de uma função linear é uma reta e a inclinação de uma reta é constante. Isso significa que a derivada de uma função linear é uma constante. Como a inclinação de uma reta é o coeficiente da variável independente, podemos escrever:
Se 
, então, 
.
Na Figura 10.3, está o gráfico da função e o de sua derivada .
Figura 10.3
Exemplo 2 
a) ; b) se , então, ; c) .
Podemos deduzir essa regra algebricamente. Sendo , temos:
Observação: A simplificação dos termos da fração é possível porque .
10.4 Derivada de uma constante multiplicada por uma função
A Figura 10.4 traz o gráfico da função e o gráfico de um múltiplo de f, a função . Quando multiplicamos f por uma constante c, os zeros permanecem inalterados e os picos e vales ocorrem para os mesmos valores de x. O que muda é a inclinação da curva em cada ponto. Se a constante c for maior do que 1, o gráfico ficará esticado e suas ladeiras mais inclinadas; em outros termos, as inclinações do gráfico ficam ampliadas por um mesmo fator de escala. 
Figura 10.4
Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, podemos escrever:
	
Se , então, .
Exemplo 3
Se a derivada de é , podemos a firma que a derivada de é .
Sabendo que a derivada de é , podemos afirmar que a derivada de é .
Se a derivada de é , então, a derivada de é .
A Figura 10.5 traz o gráfico da função e o gráfico de um múltiplo de f, a função . Aqui, multiplicamos f por uma constante , que está no intervalo . Também nesse caso, os zeros permanecem inalterados e os picos e vales ocorrem para os mesmos valores de x; o que muda é a inclinação da curva em cada ponto. Como , o gráfico fica encolhido e suas ladeiras menos inclinadas; em outros termos, as inclinações do gráfico ficam reduzidas por um mesmo fator de escala.
Figura 10.5
Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, chegamos à mesma conclusão anterior e podemos escrever:
	
Se , então, .
Exemplo 4
Sabendo que a derivada de é , podemos afirmar que a derivada de é .
Se a derivada de é , podemos a firma que a derivada de é .
Na Figura 10.6 estão os gráficos de e de . Multiplicando por uma constante negativa, o gráfico sofre uma rotação em torno do eixo x.
Figura 10.6
O que era subida vira descida e o que era descida vira subida; de modo semelhante, o que era pico passa a ser vale e vice-versa, enquanto os zeros permanecem os mesmos. Conseqüentemente, as inclinações mudam de sinal. Ainda assim, podemos escrever:
	
Se , então, .
Exemplo 5
Se a derivada de é , podemos afirma5 que a derivada de é .
.
.
Se , então, .
A derivada do produto de uma constante por uma função pode ser obtida algebricamente:
10.5 Derivadas de somas e de diferenças
Na Tabela 10.1 estão listados os valores das funções e ; também nela aparecem os valores da soma .
	x
	
	
	
	0
	10
	0
	10
	1
	11
	2
	13
	2
	13
	4
	17
	3
	16
	6
	22
	4
	20
	8
	28
	5
	25
	10
	35
	6
	31
	12
	43
	7
	38
	14
	52
Tabela 10.1
Quando somamos os incrementos de e , obtemos os incrementos de . Assim, por exemplo, quando x varia de 2 até 3, o valor da função passa de 13 para 16, ficando acrescido de 3; por sua vez, a função vai de 4 para 6 e sofre um aumento de 2; enquanto isso, a soma tem um acréscimo de 
A análise da Tabela 10.1 nos possibilita afirmar que a taxa de crescimento de é a soma da taxa de crescimento de com a taxa de crescimento de . Como a derivada é uma taxa de crescimento, podemos escrever:
	
De modo análogo, a taxa de variação de é a diferença entre as taxas de variação de e de . Usando a notação de derivada, que é uma taxa de variação, escrevemos:
	
Exemplo 6
Se , e , determine .
Solução
Podemos resolver o problema de duas maneiras:
Usando a regra de derivação de uma soma:
Determinando uma fórmula para e, depois, calculando :
 
Usando a definição de derivada, justificaremos, a seguir, a regra de derivação da diferença:
 
 
10.6 Derivada de funções potências
As funções potências são dadas pela fórmula . Vamos mostrar que a derivada dessas funções é . Aplicando essa regra, temos, por exemplo: 
, e .
Mostraremos primeiro, que essa regra é válida para n inteiro e positivo, utilizando a definição de derivada:
Precisamos aqui da expansão binomial:
Usando a expansão binomial, temos:
 Essa regra permanece válida quando o expoente é um inteiro negativo ou uma fração. A prova disso será apresentada em outra oportunidade.
	
A regra é válida para toda constante n pertencente aos reais.
Exemplo 7
Determinar a derivada da função . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de f e o gráfico de e, comparando esses gráficos, verificar se tem as características esperadas.
Solução
Cálculo da derivada: .
Na Figura 10.7 está o esboçodos gráficos de f e de :
Figura 10.7
Para , a função é decrescente e a função é negativa. Para 
, a tangente ao gráfico de é horizontal e, nesse ponto, o valor da derivada é . Para , a função é crescente e a função é positiva. Essas três características da derivada eram esperadas, a partir da análise do gráfico da função.
Exemplo 8	
Determinar a derivada da função . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de f e o gráfico de e, comparando esses gráficos, verificar se tem as características esperadas.
Solução
Cálculo da derivada: .
Na Figura 10.8 está o esboço do gráfico de e de .
Figura 10.8
Conforme esperado, a derivada é positiva para todo , fato que indica que a função é estritamente crescente. Como , o gráfico de tem inclinação 0 para .
10.7 Derivadas de polinômios
Aprendemos a derivar potências, funções multiplicadas por uma constante, somas e diferenças. Por exemplo: 
Utilizando simultaneamente essas regras, podemos derivar qualquer polinômio e mesmo expressões que não sejam polinômios.
Exemplo 9
Encontre a derivada de cada uma das funções:
 
 
Solução
 
 
 
 
 
 
10.8 Derivadas de produtos
À primeira vista, parece que a derivada de um produto deveria ser o produto da derivada de cada um dos fatores. Assim, para , teríamos:
.
Contudo, se antes de derivar, efetuarmos o produto, teremos:
 
 e 
 , um resultado completamente diferente do obtido antes.
Mostraremos, por meio de um exemplo, que a derivada da função é a função . Nessa fórmula e são funções da variável ; é a derivada de f em relação a x; indica a derivada de u em relação a x e é a derivada de v em relação a x.
Observação:
Até aqui utilizamos a notação para indicar a derivada da função e ainda a notação para caracterizar a derivada de em relação a . Se , ou seja, se a variável depende da variável , também é usual escrever:
Essa notação é devida ao alemão G. W. Leibnitz (1646-1716), um dos matemáticos que trabalharam no desenvolvimento do Cálculo no século XVII. É uma notação que nos lembra que a derivada é o limite de quocientes da forma
Assim, podemos pensar que . A notação nos permite determinar facilmente a unidade da derivada: a unidade de é a unidade de dividida pela unidade de . Por exemplo, se é a posição de um objeto em movimento, no instante t, então é a velocidade do objeto no instante t, já que esse quociente sugere uma distância, , dividida por um tempo, . De modo análogo, podemos reconhecer como a inclinação do gráfico de , lembrando que a inclinação é o incremento vertical, , sobre o incremento horizontal, .
Para analisar como deve ser a derivada de um produto, vamos estudar o seguinte problema:
A quantidade q de vendas de certo tipo de tênis depende do preço p. Por sua vez, p varia de acordo com x, o custo unitário de produção desse calçado. A receita total, R, obtida com a venda dos tênis é dada por . 
A Tabela 10.2 traz alguns possíveis valores para 
,, 
 
	x
	p
	q
	
	10
	110
	600
	60 000
	11
	110
	550
	60 500
	12
	120
	500
	60 000
	13
	130
	450
	58 500
	14
	140
	400
	56 000
	15
	150
	350
	52 500
Tabela 10.2
Usaremos , o incremento de , para indicar uma diferença entre valores de . Com essa notação, .
O incremento, , é obtido como a seguir exposto:
Como , temos:
 
Por exemplo, quando x varia de 12 para 13, no caso em questão, temos:
 
 
 
Dividindo os dois membros da igualdade por , temos:
	
Para calcular o limite quando , vamos examinar separadamente cada um dos termos dessa igualdade:
Considerando esses limites, podemos escrever:
 
 
 ou
 
	Regra do produto
Em palavras:
A derivada de um produto é a derivada do primeiro fator multiplicada pelo segundo, mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo.
Exemplo 9
Uma partícula move-se segundo a equação da posição , sendo t medido em segundos e s em metros. Determine a velocidade dessa partícula no instante .
Solução
Cálculo da função velocidade, :
 
 
Cálculo de , que é a velocidade no instante :
 
 
10.10 Derivadas de quocientes
Para derivar a função , podemos usar a regra do produto. Como , temos: . Resolvendo para , obtemos:
	Regra do quociente
 
Em palavras:
A derivada de um quociente é igual à derivada do numerador vezes o denominador,
menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.
Exemplo 10
Determine a equação da tangente à curva no ponto .
Solução
Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer:
 
 
Cálculo da inclinação da tangente no ponto :
 
Equação da tangente:
 ou 
10.11 A regra da cadeia
Consideremos a função composta , sendo f a função de fora e g a de dentro. Supondo , podemos escrever que . A análise dessas funções nos permite afirmar que uma pequena variação de x, denotada por , provoca uma pequena variação em z, indicada por . Por sua vez, gera uma pequena variação na variável y. Em outros termos, podemos dizer que uma pequena variação em x provoca uma cadeia de variações nas outras variáveis. Como e não são iguais a zero, podemos afirmar:
No limite, quando , e ficam cada vez menores, temos:
	 
	Regra da cadeia
Se , então, 
Em palavras:
A derivada de uma função composta é igual a derivada da função de fora, composta com a de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro.
Exemplo 11
Determinar a inclinação da curva no ponto de abscissa .
Solução
Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer.
 Aqui, é a função de dentro e é a função de fora. 
Como e , podemos escrever:
Cálculo da inclinação da curva no ponto de abscissa .
 
Exemplo 12
O comprimento , em centímetros, de uma barra de metal depende da temperatura ambiente, , que, por sua vez, depende do tempo , medido em horas. Supondo que o comprimento aumente para todo aumento de e que a temperatura esteja aumentando a uma taxa de por hora, determine a que taxa o comprimento está variando.
Solução
De acordo com os dados do problema, temos:
Queremos calcular a taxa segundo a qual o comprimento, L, está aumentado em relação ao tempo, ou seja, . Como o comprimento, L, é uma função da temperatura T e Como T é uma função do tempo t, podemos escrever, pela regra da cadeia:
Assim, o comprimento da barra de metal está aumentando a uma taxa de .
Questionário 10
As regras de derivação devem ser decoradas. Para adquirir bom manejo dessas regras, precisamos praticá-las até que elas nos sejam bem familiares. Estude esse assunto no seu livro de Cálculo. Em geral, os livros têm muitos exercícios de derivação; faça o maior número que você puder. Certamente, isso lhe garantirá maior agilidade mental, o que implicará em melhor eficiência nas atividades do seu Curso.
Escreva as regras de derivação das seguintes funções, em símbolos matemáticos e em palavras:
Função constante.
Função resultante do produto de uma constante por uma função.
Função soma.
Função diferença.
Função produto.Função quociente.
Função composta. (Regra da cadeia.)
Dê um exemplo para cada uma das seguintes regras de derivação, sendo u e v funções da variável x, a uma constante e n um número real não-nulo:
Exercícios 10
Suponha que . Calcule os valores de:
Suponha que . Calcule os valores de:
Calcule a derivada de cada uma das funções:
			b) 			c) 
d) 			e) 			f) 
g) 			h) 			i) 
Calcule a derivada de cada uma das funções:
	b) 		c) 
d) 	e) 	f) 
f) g) 
h) i) 
j) 			l) 
m) 			n) 
Primeiramente, esboce o gráfico da função . A seguir: (a) determine a função derivada ; (b) escreva a equação da tangente ao gráfico de no ponto de abscissa ; (c) estude a variação de sinal da derivada; (d) escreva as coordenadas do ponto do gráfico de em que a tangente é horizontal. 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde .
Ache os pontos sobre a curva nos quais a tangente é horizontal.
Determine a equação das retas que passam pelo ponto e que são tangentes à parábola .
Ache uma parábola com equação cuja reta tangente em (1,1) tenha por equação .
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa .
Dada a função : (a) determine o intervalo em que é crescente e o intervalo em que é decrescente; (b) determine em que ponto do gráfico de a tangente é nula; (c) a partir dos resultados encontrados nos itens (a) e (b), esboce o gráfico da função .
A partir do sinal de , esboce o gráfico de cada uma das funções dadas a seguir:
A temperatura em um forno varia com o tempo de acordo com a expressão , sendo o valor de medido em e , em minutos. Determine a taxa de variação de em relação a no instante .
Determine a equação da tangente ao gráfico de cada função no ponto dado:
O gráfico da função tem inclinação 5 em dois de seus pontos. Encontre as coordenadas destes pontos.
Uma partícula move-se segundo a lei do movimento , sendo t medido em segundos e a distância, em metros. Determine:
A velocidade dessa partícula no instante .
Em que momento(s) a partícula está em repouso.
Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido positivo.
A distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.
Uma partícula move-se segundo a lei do movimento , sendo t medido em segundos e a distância em metros. Determine:
A velocidade dessa partícula no instante .
Em que momento(s) a partícula está em repouso.
Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo.
A distância total percorrida durante os 10 primeiros segundos.
 A função posição de uma partícula é dada por , com t medido em segundos e a distância em metros. Determine o instante em que a partícula atinge a velocidade de .
Uma partícula move-se segundo a lei do movimento , sendo t medido em segundos e a distância, em metros. Determine:
A velocidade dessa partícula no instante .
Em que momento a partícula está em repouso.
Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo.
A distância total percorrida durante os 6 primeiros segundos.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Se , determine o valor de .
Encontre os intervalos nos quais , sendo . 
Uma bola é largada de um balão que está a de altura. A altura da bola acima do solo é dada pela função , sendo t medido em segundos e h em metros. Com base nessas informações:
Determine a velocidade da bola em um instante t. Qual é o sinal dessa velocidade? Por que isto já era esperado?
Verifique que a aceleração da bola é constante. Qual é o valor desta constante?
Em que instante a bola bate no solo e qual é a sua velocidade neste instante? Dê sua resposta em metros por segundo e em quilômetros por hora.