Princípios de Mecânica e Resistência dos Materiais

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Princípios de Mecânica 
e Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
 
 
PROFESSOR MARCUS DE OLIVEIRA FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversa Inicial 
Olá, aluno! Seja bem-vindo à terceira aula da disciplina “Princípios de Mecânica 
e Resistência dos Materiais! 
Neste encontro, serão apresentadas algumas propriedades geométricas de 
interesse para o estudo da Mecânica, como posição de centroide e momento de 
inércia. Veremos também como reduzir um carregamento distribuído simples. 
Por fim, estudaremos as treliças, que são estruturas comumente utilizadas pela 
construção civil e engenharia de estruturas. Usando o método dos nós e das 
seções, poderemos calcular as forças nestes componentes estruturais. 
Bons estudos! 
 
Antes de começar, confira no vídeo a seguir as considerações iniciais do 
professor Marcus Oliveira Filho. Acesse o material on-line e assista! 
 
 
 
 
 
 
Contextualizando 
Você já reparou como algumas situações do nosso cotidiano parecem desafiar 
o equilíbrio? 
 
Para entender porque isso acontece, precisamos aprender o que é centro de 
gravidade, centro de massa e centroide de um corpo, analisando também como 
aplicar esses conhecimentos técnicos em problemas concretos de Engenharia. 
Você sabe o que são treliças? Tratam-se de estruturas empregadas 
corriqueiramente em prédios, pontes, parques de diversões, telhados, torres etc. 
Importantes cartões postais mundiais são feitos de treliças, como a Golden Gate 
e a Torre Eiffel. 
Vamos aprender um pouco mais sobre esses conceitos e essas estruturas a 
partir de agora.
 
 
 
 
 
 
 
 
Problematização 
Um balde está carregado com 𝟓 𝑳 de água. Para determinar a força necessária 
para elevá-lo, devemos: 
a. Desconsiderar a distribuição da água dentro do balde. 
b. Encontrar um vetor de força equivalente ao peso da água. 
c. Este problema não pode ser resolvido por equilíbrio de forças, já que se 
trata de pressão da água sobre o balde. 
Tente resolver a atividade e, em seguida, veja a resolução. 
 
 
A alternativa correta é a letra “b”. Como veremos durante essa aula, encontrar 
um vetor de força equivalente ao carregamento distribuído da água é o método 
mais simples para resolver o problema. 
A alternativa “a” está errada, porque não é possível desconsiderar a distribuição 
(geometria do balde e quantidade de água). A alternativa “c” também está errada, 
porque o problema pode ser resolvido através de um diagrama de corpo livre e 
equilíbrio de forças. 
 
 
 
 
 
 
Tema 1: Centro de gravidade e de massa 
Um corpo é composto de uma série infinita de partículas com tamanhos 
diferenciados. Dessa forma, se ele estiver localizado dentro de um campo 
gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso 𝑑𝑊 (Figura 1). A 
resultante desse sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto, 
chamado centro de gravidade, 𝐺 (Figura 2). 
 Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento da resultante 𝑊 em relação ao eixo x é igual à soma dos momentos, 
em relação ao mesmo eixo, das forças gravitacionais 𝑑𝑊 atuando em todas as 
partículas do corpo, tratadas como elementos infinitesimais. Se 𝑑𝑊 estiver 
localizado no ponto (�̃�, �̃�, �̃�), então: 
𝑀𝑥 = 𝑑𝑊. 𝑦 ∑𝑀𝑥 = ∫ �̃� 𝑑𝑊 𝑊�̅� = ∫ �̃� 𝑑𝑊 
Como 𝑊 = ∫ 𝑑𝑊, temos: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 
 
De forma análoga para os outros eixos, tem-se: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 𝑧̅ =
∫ �̃� 𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
 (1) 
 
Na equação 1: 
�̅�, �̅�, 𝑧̅ são as coordenadas do centro de gravidade 𝐺. 
�̃�, �̃�, �̃� são as coordenadas de cada partícula no corpo. 
 
 
 
 
Centro de massa de um corpo 
Para estudar a resposta dinâmica ou o movimento acelerado de um corpo, é 
importante localizar seu centro de massa 𝐶𝑚. Para isso, deve-se substituir 𝑑𝑊 =
𝑔 𝑑𝑚 nas equações (1). Como 𝑔 é constante, ele é cancelado. Tem-se, então: 
Equação 1: 
 
Substituindo 𝑑𝑊 por e considerando que a gravidade 𝑔 é cancelada, temos: 
 
Equação 2: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 𝑧̅ =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 (2) 
 
Centroide de volume 
Se um corpo é feito de um material homogêneo, então sua densidade 𝜌 será 
constante. Portanto, um elemento diferencial de volume 𝑑𝑉 tem uma massa 
𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉. Substituindo essa massa nas equações (2) e cancelando 𝜌, obtemos 
as fórmulas que localizam o centroide 𝐶 ou centro geométrico do corpo: 
Equação 2: �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 𝑧̅ =
∫ 𝑧 𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo dm por dV e cancelando a densidade p, temos: 
Equação 3: �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝑑𝑉𝑉
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝑑𝑉𝑉
 𝑧̅ =
∫ 𝑧 𝑑𝑉𝑉
∫ 𝑑𝑉𝑉
 (3) 
Centroide de uma área 
Considere uma área que se encontra no plano 𝑥-𝑦 e está contornada pela curva 
𝑦 = 𝑓(𝑥): 
 
 
O centroide desta área estará nesse plano e pode ser determinado a partir de 
integrais semelhantes às equações (3): 
 
 
 
 
 
 
 
Centroide de uma linha 
Considere um segmento de linha (ou barra) que está dentro do plano 𝑥-𝑦 e pode 
ser descrito por uma curva fina 𝑦 = 𝑓(𝑥): 
 
O centroide desta linha é determinado por: 
�̅� =
∫ �̃� 𝑑𝐿
𝐿
∫ 𝑑𝐿
𝐿
 �̅� =
∫ �̃� 𝑑𝐿
𝐿
∫ 𝑑𝐿
𝐿
 (5) 
Sobre o que vimos nesse primeiro tema, é importante destacar alguns pontos: 
 O centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto 
coincide com o centro de massa somente se o material que compõe o corpo for 
uniforme e homogêneo. 
 As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centroide 
simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas 
as partes do sistema e o momento da “resultante” para o sistema. 
 Em alguns casos, o centroide está localizado em um ponto fora do objetivo 
analisado (como no caso de um anel). 
 O centroide estará sobre qualquer eixo de simetria, se houver simetria no 
corpo. 
 
 
 
 
 
Leitura obrigatória: 
Para aprender mais sobre o cálculo das integrais necessárias para encontrar o 
valor dos centroides de volume, de área e de linha, clique no botão a seguir e 
procure o livro “Estática – Mecânica para Engenharia”, de R. C. Hibbeler (12ª 
edição). Nas páginas 339 a 340 você encontra informações importantes sobre 
os conteúdos desse tema! 
Vá até o material on-line e faça a leitura sugerida! 
 
Assista ao vídeo do professor Marcus Oliveira Filho. Ele vai resolver dois 
exemplos do livro base dessa disciplina! Confira no material on-line! 
 
Corpos compostos 
Um corpo composto consiste de uma série de corpos, de formas mais simples, 
conectados. Ele normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes 
e componentes e, desde que o peso e a localização do centro de gravidade de 
cada uma dessas partes sejam conhecidos, elimina-se a necessidade de 
integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro. 
Pode-se encontrar as coordenadas de �̅�, �̅� e 𝑧̅ do centro de massa do corpo 
composto por meio das seguintes fórmulas: 
�̅� =
∑𝑚𝑖𝑥𝑖
∑𝑚𝑖
 �̅� =
∑𝑚𝑖𝑦𝑖
∑𝑚𝑖
 𝑧̅ =
∑𝑚𝑖𝑧𝑖
∑𝑚𝑖
 
A fórmula para cálculo do centroide de área de umcorpo composto é a seguinte: 
�̅� =
∑𝐴𝑖𝑥𝑖
∑𝐴𝑖
 �̅� =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
 
Para entender como aplicá-la, clique no botão e acesse novamente o livro 
“Estática”, de Hibbeler. O exemplo 9.10 das páginas 357 e 358 apresenta os 
passos para solução de forma detalhada. 
 
Tema 2: Momento de inércia 
Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua 
intensidade varia linearmente, o cálculo do momento da distribuição de carga em 
relação a um eixo envolverá uma quantidade chamada momento de inércia de 
área. 
Por definição, os momentos de inércia de uma área diferencial 𝑑𝐴 em relação 
aos eixos 𝑥 e 𝑦 são 𝑑𝐼𝑥 = 𝑦²𝑑𝐴 e 𝑑𝐼𝑦 = 𝑥²𝑑𝐴, respectivamente. 
Para a área inteira 𝐴, os momentos de inércia são determinados por integração: 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦²
𝐴
𝑑𝐴 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥²
𝐴
𝑑𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível, também, formular essa quantidade para 𝑑𝐴 em relação ao “polo” 𝑂 
ou eixo 𝑧. Isso é conhecido como momento de inércia polar. Ele é definido 
como 𝑑𝐽𝑜 = 𝑟
2𝑑𝐴, onde 𝑟 é a distância perpendicular do polo (eixo 𝑧) até o 
elemento 𝑑𝐴. Para a área inteira, o momento de inércia polar é: 
𝐽𝑜 = ∫ 𝑟²
𝐴
𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
 
 Essa relação entre 𝐽𝑜 e 𝐼𝑥, 𝐼𝑦 é possível porque 𝑟
2 = 𝑥2 + 𝑦². 
 𝐼𝑥, 𝐼𝑦 e 𝐽𝑜 serão sempre positivos, pois envolvem o produto da distância 
ao quadrado e área. As unidades para momento de inércia envolvem o 
comprimento elevado à quarta potência (𝑚4 ou 𝑚𝑚4, por exemplo). 
 
Teorema dos eixos paralelos para uma área 
 Pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma área em relação 
a qualquer eixo, o qual seja paralelo a um eixo passando pelo centroide, e em 
relação ao momento de inércia que é conhecido. Considere a área sombreada 
mostrada na figura: 
 
 
É possível demonstrar que o momento de inércia em relação ao eixo 𝑥 é dado 
pela equação a seguir. Veja o que cada incógnita representa: 
𝐼𝑥 = 𝐼�̅�′ + 𝐴𝑑𝑦
2 
𝐼�̅�′ - momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal 𝑥
′. 
𝐴 - área total. 
𝑑𝑦 - distância entre os eixos paralelos 𝑥 e 𝑥
′. 
 
De forma semelhante, podemos escrever uma expressão para 𝐼𝑦: 
𝐼𝑦 = 𝐼�̅�′ + 𝐴𝑑𝑥
2 
E, finalmente, para o momento de inércia polar: 
𝐽𝑂 = 𝐽�̅� + 𝐴𝑑² 
 
A forma de cada uma dessas três equações indica que o momento de inércia 
para uma área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em 
relação a um eixo paralelo passando pelo centroide da área, mais o produto da 
área e o quadrado da distância perpendicular entre os eixos. 
 
 
 
 
 
Procedimento para análise 
Na maior parte dos casos, o momento de inércia pode ser determinado usando 
uma única integração. A seguir e confira como encontrá-lo com base no exemplo 
abaixo: 
 
 
1. Se a curva definindo o limite da área for expressa como 𝑦 = 𝑓(𝑥), então 
selecione um elemento diferencial retangular de modo que ele tenha 
comprimento finito e largura diferencial. 
2. O elemento deverá estar localizado de modo que cruze a curva em um 
ponto arbitrário (𝑥, 𝑦). 
3. Oriente o elemento de modo que seu tamanho seja paralelo ao eixo sobre 
o qual o momento de inércia é calculado. Essa situação ocorre quando o 
elemento retângulo mostrado na figura (a) é usado para determinar 𝐼𝑥 para a 
área. Aqui, o elemento inteiro está a uma distância 𝑦 do eixo 𝑥, pois tem uma 
espessura 𝑑𝑦. Assim, 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦²𝑑𝐴. 
Para achar 𝐼𝑦, o elemento é orientado como mostra a figura (b). Esse elemento 
se encontra à mesma distância 𝑥 do eixo 𝑦, de modo que 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥²𝑑𝐴. 
 
 
 
No vídeo do professor Marcus Oliveira Filho, ele resolve dois exemplos 
do livro base dessa disciplina. Confira com atenção lá no material on-line! 
 
 
Da mesma forma que a área ou a posição do centroide, o momento de 
inércia de área é uma propriedade geométrica. Em problemas práticos de 
Engenharia, é comum que se recorra a tabelas para encontrar as 
equações prontas de momentos de inércia. 
Consulte e utilize a tabela do apêndice do livro base dessa aula (página 
459) quando for necessário. Repare como o momento de inércia de área 
de um retângulo é condizente ao encontrado no exemplo resolvido em 
vídeo. 
Acesse o material on-line para realizar a consulta! 
 
Momento de inércia para áreas compostas 
Uma área composta consiste em uma série de partes ou formas mais simples 
conectadas, como retângulos, triângulos e círculos. 
Se o momento de inércia de cada uma dessas partes for conhecido ou puder ser 
determinado em relação a um eixo comum, então o momento de inércia da área 
composta em relação ao eixo é igual à soma algébrica dos momentos de inércia 
de todas as suas partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir você confere o procedimento para análise. 
1. Divida a área em partes. 
2. Estabeleça um eixo de referência. 
3. Se o eixo centroidal de cada parte não coincide com o eixo de referência, 
o teorema dos eixos paralelos deve ser utilizado para determinar o momento de 
inércia em relação ao eixo de referência. 
4. O momento de inércia da área inteira em relação ao eixo de referência é 
igual à soma dos momentos de inércia das partes em relação a esse eixo. 
5. Se uma parte composta tem um “furo”, seu momento de inércia é 
encontrado subtraindo o momento de inércia do furo do momento de inércia da 
parte inteira, incluindo o furo. 
 
 
 
 
Tema 3: Redução de um carregamento distribuído simples 
Algumas vezes, um corpo pode estar sujeito a um carregamento distribuído 
sobre sua superfície. A seguir você confere alguns exemplos: 
 
Carregamento uniforme ao longo de um único eixo 
 O tipo mais comum de carga distribuída encontrado na prática de Engenharia é 
geralmente uniforme ao longo de um único eixo. Considere, por exemplo, a viga 
da figura abaixo, que possui uma largura constante e está sujeita a um 
carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo 𝑥: 
 
 
 
 
 
 
 
Este carregamento pode ser descrito pela função 𝑝 = 𝑝(𝑥)𝑁/𝑚². Ele é uma 
função somente de 𝑥 e, por isso, também podemos representá-lo como um 
carregamento distribuído coplanar. 
 
Onde 𝑤(𝑥) = 𝑝(𝑥)𝑏 𝑁/𝑚, sendo 𝑏 a largura da viga. 
Podemos substituir esse sistema de forças paralelas coplanares por uma 
única força resultante equivalente 𝑭𝑅 que age em uma posição específica 
sobre a viga: 
 
 
 
Intensidade da força resultante 
Já sabemos que a intensidade da força resultante é equivalente à soma de todas 
as forças do sistema. Nesse caso, precisamos usar a integração porque existe 
um número infinito de forças paralelas 𝑑𝐹 agindo sobre a viga. Como 𝑑𝐹 está 
agindo sobre um elemento do comprimento 𝑑𝑥 e 𝑤(𝑥) é uma força por unidade 
de comprimento, então 𝑑𝐹 = 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝐴. Portanto: 
𝑭𝑹 = ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
= ∫ 𝑑𝐴 = 𝐴
𝐴
 
Logo, a intensidade da força resultante é igual à área total 𝑨 sob o diagrama 
de carregamento. 
 
Posição da força resultante 
É possível determinar a posição �̅� da força resultante igualando os momentos da 
força resultante e os da distribuição das forças paralelas em relação ao ponto 𝑂. 
A partir deste procedimento, encontraremos: 
�̅� =
∫ 𝑥𝑤(𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
=
∫ 𝑥 𝑑𝐴
𝐴
∫ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
O ponto geométrico �̅� localizado nesta equação é o centroide da área sob o 
carregamento distribuído, como já vimos anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a resolução de problemas práticos, nem sempre é necessário aplicar a 
equaçãoda página anterior para obter o centroide de áreas. Quando o diagrama 
de carregamento distribuído está na forma de um triângulo, retângulo ou outra 
forma geométrica simples, a posição de seu centroide pode ser obtida 
diretamente através de tabelas, como as que estão no apêndice C.4 do livro base 
dessa disciplina (que vimos no tema anterior). 
 
É prático imprimir este apêndice, ou manter uma versão digital que você 
possa acessar facilmente quando estiver resolvendo exercícios! 
 
Resumindo: 
 Carregamentos distribuídos coplanares são definidos usando uma função 
de carregamento 𝑤 = 𝑤(𝑥) [𝑁/𝑚] que indica a intensidade do carregamento ao 
longo da extensão de um membro. 
 Os efeitos externos causados por um carregamento distribuído coplanar 
atuando sobre um corpo podem ser representados por uma única força 
resultante. 
 Essa força resultante é equivalente à área sob o diagrama do 
carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro 
geométrico dessa área. 
 
 
No vídeo do tema 3, o professor Marcus Oliveira Filho resolve dois 
exemplos do livro base dessa aula. Confira no material on-line! 
 
 
 
Tema 4: Treliças – método dos nós 
Treliças são estruturas de membros esbeltos conectados entre si em suas 
extremidades. Os membros normalmente usados em construções consistem de 
escoras de madeira ou barras de metal. 
Uma treliça é dita plana quando todos os elementos do conjunto pertencem a um 
único plano. 
 
 
O elemento básico de uma treliça plana é o triângulo, cujas arestas são barras 
e os vértices são nós, como você pode ver ao lado: 
 
 
 
 
 
 
Unir dois ou mais membros e conectá-los a um novo nó 𝐷 forma uma treliça 
maior: 
 
 
 
 
Este procedimento pode ser repetido tantas vezes quando desejado para formar 
uma treliça ainda maior. Se uma treliça pode ser construída expandindo a treliça 
básica triangular, ela é chamada treliça simples. 
 
Hipóteses de projeto 
Para projetar os membros e as conexões de uma treliça, é necessário primeiro 
determinar a força desenvolvida em cada membro quando a treliça está sujeita 
a um determinado carregamento. Para isso, assumiremos algumas hipóteses. 
Clique e veja quais são elas: 
Essas hipóteses nos permitem admitir que cada elemento de treliça atua como 
um elemento de duas forças (forças normais) e, consequentemente, as forças 
em suas extremidades devem ser direcionadas ao longo do seu próprio eixo. 
Se a força tende a alongar o membro, é uma força de tração (T). Se ela tende 
a encurtar o membro, é uma força de compressão (C). 
 
 
 
 
 
 
O método dos nós é uma das maneiras de analisar ou projetar uma treliça. Este 
método baseia-se no fato de que a treliça inteira está em equilíbrio, então cada 
um de seus nós também está em equilíbrio. Desenhamos o diagrama de corpo 
livre do nó e utilizamos as 
equações de equilíbrio de 
força para obter as forças do 
membro agindo sobre cada 
nó. 
Como os membros de uma treliça plana são membros retos de duas forças 
situados em um único plano, cada nó está sujeito a um sistema de forças 
coplanar e concorrente. Como resultado, apenas ∑𝐹𝑥 = 0 e ∑𝐹𝑦 = 0 precisam 
ser satisfeitos. 
Vamos considerar, por exemplo, a treliça abaixo: 
 
Três forças atuam sobre o pino no nó 𝐵: a força de 500 𝑁 e as forças exercidas 
pelos membros 𝐵𝐴 e 𝐵𝐶. 
Vejamos o DCL deste nó: 
 
 
 
 
 
Repare que 𝐹𝐵𝐴 está puxando o pino, o que significa que o membro 𝐵𝐴 está 
em tração. Já 𝐹𝐵𝐶 está empurrando o pino, portanto o membro 𝐵𝐶 está em 
compressão. Esses efeitos são demonstrados isolando o nó com pequenos 
segmentos dos membros conectados ao pino: 
 
Ao usar o método dos nós, sempre comece em um nó que tenha pelo menos 
uma força conhecida e, no máximo, duas forças incógnitas. Assim, a 
aplicação das equações de equilíbrio de forças nos dois eixos produz um 
sistema de duas equações algébricas com duas incógnitas. 
 
 
É preciso ter uma atenção especial com o sentido de uma força do membro 
incógnito, isto é, se a força é de tração ou compressão. O sentido correto da 
direção de uma força do membro incógnito pode, muitas vezes, ser determinado 
por observação. Entretanto, em casos mais complexos, o sentido de uma força 
do membro incógnito pode ser assumido. 
Após aplicar as equações de equilíbrio, podemos verificar o sentido assumido da 
seguinte forma: 
 Se o resultado for positivo, o sentido está correto; 
 Se o resultado for negativo, o sentido mostrado no diagrama de corpo 
livre precisa ser invertido. 
 
 
 
 
 
 
A análise de esforços internos de treliças, através do método dos nós, segue o 
seguinte procedimento: 
 Desenhe o DCL de um nó tendo pelo menos uma força conhecida e 
no máximo duas forças incógnitas (se esse nó estiver em um dos 
apoios, então pode ser necessário primeiro calcular as reações 
externas no apoio); 
 Use o método descrito anteriormente para estabelecer o sentido de 
uma força incógnita; 
 Oriente os eixos 𝑥 e 𝑦 de modo que as forças no DCL possam ser 
facilmente decompostas em suas componentes 𝑥 e 𝑦 e, depois, 
aplique as equações de equilíbrio de forças. Resolva para as duas 
forças do membro incógnitos e verifique seu sentido correto; 
 Usando os resultados calculados, continue a analisar cada um dos 
outros nós. 
 
 
Na videoaula do tema 4, o professor Marcus Oliveira Filho resolve dois 
exemplos do livro base. Dessa vez será o 6.1 da página 199 e o 6.3 da página 
201. Confira no material on-line! 
 
E também acesse novamente o livro base e confira o exemplo 6.2 na página 200. 
 
 
 
 
 
 
Tema 5: Treliças – método das seções 
 
Quando precisamos encontrar a força em apenas alguns membros de uma 
treliça, podemos analisá-la usando o método das seções, que se baseia no 
princípio de que se uma treliça está em equilíbrio, então qualquer segmento dela 
também está em equilíbrio. 
O método consiste em usar seções imaginárias que cortam membros de treliças 
em duas partes, expondo a força interna como externa no DCL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O método das seções também pode ser usado para seccionar os membros de 
uma treliça inteira. Se a seção passar pela treliça e o DCL de qualquer das duas 
partes é desenhado, podemos aplicar as equações de equilíbrio a essa parte 
para determinar as forças do membro na seção do corte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a seguinte treliça, por exemplo. Se quisermos determinar as forças 
nos membros 𝐵𝐶, 𝐺𝐶 e 𝐺𝐹, a seção 𝑎𝑎 mostra-se apropriada: 
 
Para utilizar o método das seções, são usadas três equações de equilíbrio 
independentes, que são: 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝑀𝑂 = 0 
 
A última equação traz que o somatório de momentos em relação a qualquer 
ponto escolhido deve ser zero. É importante escolher uma seção que, em 
geral, não passe por mais do que três membros em que as forças são 
incógnitas. 
Os DCL dos dois segmentos são mostrados a seguir: 
 
 
As três forças do membro incógnito 𝑭𝑩𝑪, 𝑭𝑮𝑪 e 𝑭𝑮𝑭 podem ser obtidas aplicando 
as três equações de equilíbrio ao DCL da figura à esquerda. 
Se, no entanto, o DCL da figura à direita for considerado, as três reações de 
apoio 𝑫𝒙, 𝑫𝒚 e 𝑬𝒙 precisarão ser conhecidas, porque apenas três equações de 
equilíbrios estão disponíveis, e teremos mais equações do que incógnitas. Isto é 
feito considerando um DCL da treliça inteira (como vimos em um exemplo do 
tema anterior). 
Ao aplicar as equações de equilíbrio, devemos considerar cuidadosamente 
maneiras de escreveras equações a fim de produzir uma solução direta para 
cada uma das incógnitas, ao invés de ter que resolver sistemas de equações. 
Isto facilita o trabalho, diminui a chance de erro e nos faz ganhar tempo. 
Voltando ao nosso exemplo, vamos determinar as forças utilizando a seção 
esquerda da treliça: Aplicando as equações de equilíbrio, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑𝐹𝑦 = 0 𝐹𝐺𝐶 𝑠𝑒𝑛 45
𝑜 − 1000 𝑁 = 0
𝑭𝑮𝑪 = 1414,21 𝑁 
∑𝑀𝐺 = 0 1000 𝑁 (2 𝑚) − 𝐹𝐵𝐶(2 𝑚) = 0
𝑭𝑩𝑪 = 1000 𝑁 
∑𝐹𝑥 = 0 𝐹𝐵𝐶 − 𝐹𝐺𝐹 + 𝐹𝐺𝐶 cos 45
𝑜 = 0
𝑭𝑮𝑭 = 2000 𝑁 
No exemplo, as equações de equilíbrio foram aplicadas de forma a produzir 
soluções diretas. A equação do equilíbrio de momentos foi aplicada no ponto 𝐺 
para facilitar os cálculos (ela poderia, entretanto, ser aplicada a qualquer ponto, 
como o ponto 𝐶). 
De forma similar ao método dos nós, é preciso ter uma atenção com o sentido 
de uma força do membro incógnito, se a força é de tração ou compressão. 
O sentido correto da direção de uma força do membro incógnito pode, muitas 
vezes, ser determinado por observação. 
Entretanto, em casos mais complexos, ele pode ser assumido. Após aplicar as 
equações de equilíbrio. Podemos verificar o sentido assumido da seguinte forma: 
 Se for positivo, o sentido está correto 
 Se o for negativo, o sentido no diagrama de corpo livre precisa ser 
invertido 
 
As forças nos membros de uma treliça podem ser determinadas pelo método das 
seções usando o procedimento que você confere na próxima página: 
 Decida como cortar ou seccionar a treliça através dos membros onde as 
forças devem ser determinadas; 
 Antes de isolar a seção apropriada, pode ser necessário primeiro 
determinar as reações de apoio da treliça; 
 Desenhe o DCL do segmento da treliça seccionada que possui o menor 
número de forças agindo; 
 Use o método descrito anteriormente para estabelecer o sentido das 
forças de um membro incógnito; 
 Os momentos devem ser somados em torno de um ponto situado na 
interseção das linhas de ação de duas forças incógnitas, de modo que a terceira 
força incógnita possa ser determinada diretamente pela equação de momento 
(∑𝑀𝑂 = 0). 
 
No vídeo do tema 5, o professor Marcus Oliveira Filho vai resolver 
mais alguns exemplos. Confira no material on-line! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trocando ideias 
Aprendemos como analisar forças em membros de treliças através de dois 
métodos: dos nós e das seções. Na prática, existem algumas configurações de 
treliças consagradas, tendo, inclusive, nomes próprios. No artigo do blog de 
arquitetura você aprende um pouco mais sobre os tipos de treliças comumente 
utilizados. Clique aqui: https://miliauskasarquitetura.wordpress.com/tag/trelica-
warren/ 
Você consegue identificar construções que utilizam estas treliças? Entre no 
fórum e compartilhe essa informação com seus colegas. Aproveite também e 
veja o que eles têm a dizer! Esse é o momento de compartilhar informações, não 
deixe de participar! 
 
Na prática 
Considere o caminhão da figura, cuja caçamba está carregada com cascalho. 
Se você fosse o engenheiro responsável pelo projeto da suspensão do 
caminhão, como procederia para determinar os esforços que o peso da carga 
(cascalho) provoca sobre o sistema de suspensão? Quais são as hipóteses do 
seu modelo? 
 
 
Considere que as dimensões da caçamba 
são: 4000 𝑚𝑚 × 2200 𝑚𝑚 × 575 𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chegou a hora de praticar! Resolva em seu caderno o problema 
apresentado na página anterior! Temos algumas dicas para você: 
 
 
É necessário utilizar os conhecimentos apresentados no Tema 3 desta aula, para 
estimar o peso que o cascalho provoca sobre a suspensão do caminhão. 
Pesquise qual a densidade do cascalho comum e, com as informações da 
geometria da caçamba, é possível saber o peso total da carga. Utilizando 
hipóteses adequadas, é possível determinar o ponto de atuação desta carga, 
reduzindo o peso do cascalho (carregamento distribuído) em um vetor de força 
equivalente. 
 
Terminado o exercício, a seguir você confere o comentário sobre a 
atividade. Aproveite e compare com o que você elaborou! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma busca rápida na internet, encontra-se que o valor da densidade do 
cascalho é de 1,8 𝑡𝑜𝑛/𝑚³. Esse valor pode variar um pouco, mas o importante é 
que se utilize um valor que represente uma situação real de uso. 
Determinando a massa total de cascalho contida na caçamba, tem-se: 
𝑚 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 1,8
𝑡𝑜𝑛
𝑚3
× (4 𝑚 × 2,2 𝑚 × 0,575 𝑚) = 9,108 𝑡𝑜𝑛 
Sabendo que o a massa do cascalho é de 9108 𝑘𝑔, determina-se o peso desta 
carga: 
𝑃 = 9108 𝑘𝑔 × 9,81
𝑚
𝑠2
= 89349,48 𝑁 ≈ 89,3 𝑘𝑁 
 
Uma hipótese a ser assumida é a de que o cascalho se distribui uniformemente 
em toda a caçamba. Outra hipótese é a de que a caçamba é perfeitamente 
simétrica. Desta forma, o ponto de aplicação da carga equivalente é o ponto 
médio do retângulo que compõe a parede inferior da caçamba (localizado a 2 𝑚 
de comprimento e 1,1 𝑚 de largura). 
 
 
 
 
 
 
 
A partir destas considerações, mais análises poderiam ser feitas para 
determinar as forças de reação da suspensão em relação a esta carga. 
 
 
 
 
 
 
Síntese 
Nesta aula, vimos as equações que permitem os cálculos do centro de 
gravidade, do centroide e dos momentos de inércia de corpos. Aprendemos 
como reduzir um carregamento distribuído simples. Vimos também que existem 
tabelas que permitem o acesso rápido a algumas das soluções destes tipos de 
problemas – os mais encontrados na prática de engenharia. 
 
É importante que você não fique com dúvidas sobre esses temas, porque 
eles são necessários para os estudos que virão na sequência. 
 
 
Por fim, aprendemos a calcular forças em membros de treliças através do 
método das seções e dos nós. Como em várias outras áreas da Mecânica, a 
melhor forma de solidificar os conceitos aprendidos é através da prática. Por 
isso, faça os exercícios propostos no livro para treinar e se familiarizar com os 
problemas! 
 
 
 
Referências 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2011. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica - Estática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC - 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2004.