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1
Profa. Ana Cristina Munaretto
Aula 1
Análise Matemática
Análise Matemática
����→� ���	 
 � ��
���
��
�
��
�� � ��
�
�
�� � 
 ����→�
� � � ���	
� � �
Viktor88/shutterstock
Conversa inicial
Naturais - �
Inteiros - �
Racionais - ℚ
Reais - �
Conjuntos, funções 
e relações de 
equivalência
Sejam � e � dois 
conjuntos
Fonte: Ana Cristina Munaretto
A B
2
Relações: � ⊂ � �
� 
 �, " � ∈ �, " ∈ �
��, "	 ∈ � ⇔ ��"
Relações de 
equivalência em �:
1. Reflexiva: ���, ∀� ∈ �
2. Simétrica: ��" ⇒ "��
3. Transitiva:
��"				eeee				"�) ⇒ ��)
� conjunto
� relação de 
equivalência em �
�* 
 � ∈ � ���
�* é a classe de 
equivalência do 
elemento � ∈ �
Classes de equivalência
�
"
)
a
b
�
"
)
a
b
Fonte: Ana Cristina Munaretto
Aplicações
Conjuntos numéricos
Naturais - �
Princípio da Indução 
Finita
Axiomas de Peano: 
�, +: � → �
1.1.1.1. / é injetiva
2.2.2.2. � � /��	 possui um 
único elemento: 1(um)
3. Se 1 ⊂ � é tal que:
	� ∈ 1 e /�2	 ∈ 1, ∀2 ∈ 1, 
então, 1 
 �
Números naturais
3
3 
 + �
4 
 + 3 
 + + �
5 
 + 4 
 + + 3
 + + + �
…
Adição em �:
Fixado � ∈ �, temos:
� 7 � 
 + �
� 7 3 
 � 7 � 7 �
 + � 7 �
 +�+ � 	
					…
� 78 
 +8��	
1. Associatividade e 
comutatividade da 
adição
2. Assoc. e 
comutatividade da 
multiplicação
Propriedades das operações
3. Distributividade
4. Leis de 
cancelamento
87 � 
 87 9 ⇒ � 
 9
8. 9 
 �. 9 ⇒ 8 
 �
Seja :��	 uma 
propriedade acerca dos 
números naturais tal 
que:
Princípio da Indução Finita
1. :��	 é verdadeira;
2. Se :��	 é verdadeira 
então :�� 7 �	 é 
verdadeira
Então :��	 é 
verdadeira para 
todo � ∈ �.
4
Exemplo: Mostre por 
indução que
� 7 3 7⋯7 � 
 �����	3 ,
para todo � ∈ �	Sol:
1. Para � 
 �, temos:
��� 7 �	
3 
��3	
3 
 �
2. Suponha que a 
propriedade é válida 
para �. Temos:
Portanto a propriedade é 
válida para todo � ∈ �
� 7 3 7⋯7 � 7 + � 
 � 7 3 7⋯7 � 7 � 7 �
 ��� 7 �	3 7 � 7 �
 � � 7 � 7 3�� 7 �	3
 � 7 � � 7 33
 � 7 � � 7 � 7 �3
 +��	�+ � 7 �	3
Conjuntos numéricos
inteiros e racionais
Números inteiros:
1. Definimos um 
elemento neutro 
para a adição em �,
< 
 < 7 �, ∀	� ∈ �.
2. Definimos uma 
relação de 
equivalência em 
�� ∪ < 	 �� ∪ < 	
8,� � 9, > ⇔ 87 >
 � 7 9
4, ? ��5, @	
< 
 <, < 
 A �, � , 3, 3 ,… B
� 
 ��, <	 
 A 3, � , 4, 3 ,… B
�� 
 <, � 
 A �, 3 , 3, 4 , … B
3 
 �3, <	 
 4, � , 5, 3 ,…
�3 
 <, 3 
 A �, 4 , 3, 5 , … B
5
Propriedades dos 
naturais
Grupo aditivo
Anel comutativo 
com unidade
Propriedades dos inteiros Conjunto dos racionais
Definimos a relação de 
equivalência em � �∗
�
" 	�
�
� ⇔ � · � 
 " · �
Definimos a operação
�
" 7
�
� 
��·�	���·"	
�"·�	
Definimos a operação
�
" ·
�
� 
�·�
"·�
Propriedades dos 
inteiros
Corpo ordenado
Propriedades dos racionais
Conjuntos numéricos 
reais
Corpo ordenado
Completo:
Todo subconjunto 
não vazio e limitado 
superiormente possui 
supremo
E 
 � ∈ �|� G <				eeee				�3 H 3
� G <
�3 H 3
� G < e �3 H 3
<<<
� 3� 3 33� 3 3
33<< 3<
Fonte: Ana Cristina Munaretto
6
E ⊆ �
E 
 � ∈ �|� G <				eeee				�3 H 3
J ⊆ ℚ
J 
 � ∈ ℚ|� G <				eeee				�3 H 3
33<< 3<
Cortes de Dedekind
EK ⊆ ℚ é um corte se:
1.1.1.1. EK L ∅ e EK L ℚ
2.2.2.2. EK contém todos os 
racionais menores 
que cada um de seus 
pontos
3.3.3.3. EK não possui 
máximo 
� 
 AEK|EK 				éééé				umumumum				corteBcorteBcorteBcorteB
Exemplos:
1.1.1.1. EV 
 � ∈ ℚ � H V
2.2.2.2. < 
 E< 
 � ∈ ℚ � H <
Número irracional:
EK 
 A� ∈ ℚ|� H <				eeee				�3 G 3B
Conjuntos 
enumeráveis e não 
enumeráveis
E é enumerável se é finito ou 
se existe uma bijeção
�:� → E
�� 
 ���	�3 
 � 3
...�� 
 � �
E 
 ��, �3, �4, … , ��, …
Exemplo 1: O conjunto dos números 
naturais é enumerável
W�: � → �
Exemplo 2: O conjunto dos números 
inteiros é enumerável
X:� → �
X � 
�
3, �	parparparpar� � �
3 , �	ímparímparímparímpar
� 
 A<, �, ��, 3, �3,… B
7
O conjunto dos números 
racionais é enumerável
ℚ 
 A<, �, �3 , ��,
�
4 ,
��
3 , 3,
�
5 ,
��
4 , �3, … B
Fonte: Ana Cristina Munaretto
Na prática
1. Seja �:E → J uma 
aplicação. Mostre 
que a relação 
��" ⇔ � � 
 � "
é uma relação de 
equivalência
2. Mostre que o 
produto cartesiano 
de conjuntos 
enumeráveis E e J
é enumerável
Sol.: �:� → E J bijeção?
\:� → E bijeção
X:� → J bijeção
]:� → � � bijeção
^:� � → E J
��,8	 → �\ � , X 8 	
^ é uma bijeção
∴ 	] ∘ ^:� → E J é uma 
bijeção
⇒ E J é enumerável
Finalizando
8
Conjuntos, relações 
de equivalência e 
funções
Construção dos 
conjuntos numéricos
Conjuntos 
enumeráveis e não 
enumeráveis
Referências
Lima, E. L; Análise 
Real, Coleção 
Matemática 
Universitária. Rio de 
Janeiro: IMPA, 2016
Gonçalves, A.; 
Introdução à Álgebra. 
Rio de Janeiro: IMPA, 
2016