Buscar

exemplo de equações diferenciais exatas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Exemplo 1 
 
Resolva a equação diferencial ( ) . 
 
(1) Verificando que se trata de uma equação exata. 
 
Já verificamos no exemplo anterior. 
 
(2) Utilizando a diferencial total 
 
 
 
{
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Integrando a equação (1) 
 
 
 em relação a x, precisando considerar y 
constante. 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) (3) 
 
Precisamos agora comparar essa equação com a equação (2). Assim, precisamos 
derivar ( ) com relação a y: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Comparando com (2) 
 
 
 , temos que: 
 
 ( ) 
 
Assim, 
 ( ) ∫ 
 ( ) 
 
Substituindo em (3): 
 
 ( ) 
 
 
Mas sabemos que U= constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Poderíamos resolver a mesma equação por separação de variáveis. 
 
 ( ) 
 
Dividindo a equação por ( ): 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando: 
 
∫
 
( )
 ∫
 
 
 
 | | | | 
 | || | 
| || | 
|( ) | 
( ) 
 
 
Exemplo 2: 
 
Resolva a equação diferencial ( ) ( ) . 
 
(1) Verificando que se trata de uma equação exata 
 
Observe que esta equação não é uma equação homogênea (verifique!). 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
Vamos agora verificar que 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Temos então que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Utilizando a diferencial total 
 
NdyMdxdU 
 
 
{
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Integraremos a equação (2) em relação a y e compararemos a equação (1): 
 
 
 
 
 ∫( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) (3) 
 
Derivando agora essa equação com relação a x e comparando com a equação (1): 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Integrando com relação a x, obtemos: 
 
 ( ) ∫( ) 
 
 
 
 
Ou ainda: 
 
 ( ) 
 
 
 
Substituindo em (3), temos: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Mas sabemos que U= constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )

Outros materiais