1a_Lista_de_Exercicios_Probabilidade_e_Estatistica

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Universidade Federal de São Paulo – UNIFESP 
Instituto de Ciência e Tecnologia – São José dos Campos 
 
Probabilidade e Estatística 
Lista 1 de Exercícios 
 
Prof. Jean Faber 
 
 
1) Considere uma população X formada pelos cinquenta números naturais de 1 a 50. Ou seja, X = {1, 2, 
3, 4,..., 48,49, 50}: Extraia 10 amostras (amostragem) com cinco elementos cada (n=5), com reposição 
(ou seja, retornando a amostra retirada para a população novamente, de modo que a cada 
amostragem a população tenha sempre 50 elementos). 
 
a) Escolha um critério de amostragem (critério de retirada) e justifique porque o adotou. 
b) Calcule a média de cada amostra. 
c) Calcule a média das médias amostrais. 
d) Calcule a média da população e compare esse valor com os valores calculados nas letras (c) e (b). 
e) Calcule a mediana da população e compare esse valor com o valor calculado na letra (d). 
OBS.: Para comparação calcule o modulo da diferença dos dois valores e discuta o resultado. 
f) Descreva duas situações em que os procedimentos usados nesse exercício poderiam ser aplicados. 
Descreva 5 variáveis (situações, parâmetros, grandezas físicas ou biológicas) de interesse no campo das 
Engenharias ou Ciência Básica, que poderiam substituir os dados desse exercício. 
OBS.: Basta apresentar os nomes das situações, não precisa dos valores. 
g) Descreva uma situação real onde é melhor o uso da mediana como medida de tendência central que 
a média. 
h) Por que não usamos sempre a média como medida de tendência central? Que outras medidas de 
tendência central, poderíamos usar? 
 
 
2) Usando os dados do exercício anterior. Retire duas amostras, de forma aleatória, contendo 5 
elementos (n=5) cada. 
 
a) Seja W a variável aleatória associada à uma dessas amostras, usando a média e o desvio padrão 
amostrais, como poderíamos criar uma nova variável aleatória X, cuja média e desvio padrão seja igual a 
0 (zero) e 1 (um), respectivamente? (Construa X e mostre que possui média 0 e desvio 1). 
b) Usando a equação | ̅ | √ . Assuma “m” como uma variável desconhecida da equação 
e calcule seu valor em cada uma das 2 amostragens. A partir dos 2 valores de m calculados, qual 
amostra você diria ser a mais representativa de sua população? (justifique) 
Dica: interprete o que significa a diferença | ̅ | e a partir daí interprete os valores de m. 
 
 
 3) Usando ainda os dados do exercício 1, faça. 
 
a) O gráfico de barras do histograma da população X. Usando √ e . 
Onde L é a amplitude de X e h é o tamanho de cada classe e k a quantidade de classes. 
c) A tabela completa dos histogramas calculados no exercício de (a), contendo a frequência, frequência 
relativa e frequência acumulada. 
d) Calcule a média e o desvio padrão dos dados agrupados dos histogramas de (a). 
 
 
4) Lança-se 4 moedas. Seja X o numero de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de X. 
Escreva o espaço amostral e todos os eventos associados. 
 
a) Calcule o valor médio e a variância de X. 
 
b) Moedas são representantes físicos de variáveis aleatórias discretas binárias. Dê dois exemplos de 
situações em engenharia ou ciência básica, em que variáveis desse tipo aparecem. 
c) Para esse mesmo fenômeno (lançamento de 4 moedas) seria possível associarmos outra variável 
aleatória? Se sim, de um outro exemplo e faça o mesmo apontado no item (a). 
 
 
5) Suponha que uma variável X tenha distribuição de probabilidade dada por: 
 ( ) 
( ) 
 
 
 Calcule 
a) Calcule o valor de r. b) P(X ser impar) c) P(X≥3) 
 
6) Suponha duas espécies quaisquer, X e Y, num determinado território disputando recursos 
(alimento, território...). A probabilidade de encontrarmos um indivíduo da espécie X é p, e de 
encontrarmos um individuo da espécie Y é q = 1 – p. Supondo que a espécie X seja bem mais agressiva 
que a espécie Y, e que todo o recurso disponível esteja todo com os indivíduos da espécie X. Criando 
uma escala de escala de sobrevivência, variando de -10 a +10 unidades de sobrevivência (us); 
podemos propor um modelo de conflito mostrando os ganhos e prejuízos da relação entre essas 
espécies: 
 
Quando um indivíduo de X encontra um individuo de Y, X provoca uma injuria à Y e esse sempre foge, 
sem recurso algum. Em nossa escala de sobrevivência, X ganha +1 us e Y ganha -1 us. Quando um 
indivíduo de Y encontra outro de Y ninguém sofre qualquer injúria, contudo não ganha nada, pois os 
recursos estão todos com os indivíduos de X. Assim Y ganha 0 quando encontra com outro Y. Quando 
uma espécie de X encontra com outra de X injuriam-se até morrer. Desse modo, X ganha -10 us. Veja a 
tabela dos encontros: 
 
 Encontro com X Encontro com Y 
X ganha -10 +1 
Y ganha -1 0 
 
a) Calcule o valor médio em us, em função de p, que cada espécie ganha nessa relação. 
b) Faça um gráfico do valor médio de X, para os valores de p = [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 ]. 
b) Para que valor de p, teríamos um equilíbrio nos valores médios dos ganhos? 
c) Como interpretar esse valor de p? 
 
 
7) Um macaco tem uma árvore a sua frente. Essa árvore sempre apresenta, nessa época do ano, 2 
frutos. Além disso, cada fruto pode estar em 3 estados: verde, maduro e podre. Para o macaco subir 
na árvore ele gasta 100kcal. Sabe-se ainda que uma fruta madura tem 200kcal, uma fruta podre tem -
50kcal e uma verde tem 100kcal. 
 
a) Calcule o ganho liquido médio em kcal que o macaco ganha em uma subida. 
b) Calcule a variância a partir desse valor médio. 
c) Baseado nas suas respostas encontradas você diria que vale a pena o empenho do macaco para se 
alimentar dessa maneira? 
OBS.: considere os eventos independentes e revise o teorema da soma e produto de probabilidades. 
 
 
8) Dada a distribuição conjunta de probabilidades das variáveis X e Y, representada pela tabela 
 
 Y 0 2 4 6 
X 
0 1/8 2/8 1/8 0 
1 0 1/8 2/8 1/8 
Calcule: 
 
a) E[(3X - 4Y)/2] b) VAR[(2X + Y)/3] c)E(Y|X=1) d) COV(X,Y) 
 
 
9) Sabendo que A1, A2 e A3 são eventos que formam uma partição do espaço amostral Ω, e que B é um 
evento qualquer desse espaço Ω, faça uma representação gráfica (Diagrama de Venn) desse enunciado 
e mostre que: 
 ( ) ∑ ( ) ( | )
 
 
 
b) Se a probabilidade do evento A1 é x, a probabilidade do evento A2 é y e a probabilidade de A3 é z. 
b.1) calcule a probabilidade da interseção entre o complemento de A1 e do complemento de A2. 
b.2) calcule a probabilidade da união do complemento de A1 com A2. 
b.3) Calcule a probabilidade da interseção entre o complemento de A1 e A2. 
 
 
10) Três prisioneiros, Astolfo, Bastião e Cesário, estão em celas separadas e condenados à morte. O 
governador escolheu um deles ao acaso para ser perdoado (sem nenhuma preferência por nenhum 
prisioneiro). Depois da escolha, o governador diz ao diretor do presídio quem foi o escolhido. Ou seja, o 
diretor sabe quem será perdoado, mas não lhe é permitido dizer aos prisioneiros. O prisioneiro Astolfo 
faz uma proposta ao diretor. Ele pede que ele lhe diga a identidade de um dos prisioneiros que será 
executado. 
Diz ele: "Se Bastião é quem vai ser perdoado, dá-me o nome de Cesário. Mas se Cesário for o perdoado, 
dá-me o nome de Bastião. E se for eu, Astolfo, o perdoado pelo governador, jogue uma moeda honesta 
para decidir se vai me dar o nome de Bastião ou Cesário." 
O diretor topa a proposta e diz a Astolfo que Bastião será executado. Astolfo então fica muito feliz, pois 
ele acredita que a probabilidade de sobreviver agora subiu de 1/3 para 1/2, já que agora chance é entre 
ele e Cesário. 
 
Astolfo não resiste e secretamente conta para Cesário a notícia. Cesário então começa a rir e diz a 
Astolfo: “Como você é burro! Você continua com 1/3 de ser perdoado, mas agora,sabendo disso, sou 
eu quem aumentou a chance de ser perdoado para 2/3”. 
Quem está certo? (Responda utilizando formalismo matemático de probabilidade)