aulas produto interno

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Álgebra Linear
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 1 / 29
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Esse arquivo contém uma continuidade da
Primeira Parte do Curso de Álgebra Linear
Aulas 12 - 14
Espaços vetoriais com produto interno.
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AULA 12
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 3 / 29
Objetivos
• Veremos tipos especiais de espaços vetoriais que possuem uma
estrutura refinada que nos proporcionará desenvolver alguns
aspectos geométricos, tais como: norma de um vetor e ângulo e
distância entre vetores. O ápice será atingido com o conceito de
bases ortonormais e suas propriedades.
• Veremos futuramente que o estudo de transformações lineares
nesses espaços se torna bastante enriquecido.
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Objetivos
• Veremos tipos especiais de espaços vetoriais que possuem uma
estrutura refinada que nos proporcionará desenvolver alguns
aspectos geométricos, tais como: norma de um vetor e ângulo e
distância entre vetores. O ápice será atingido com o conceito de
bases ortonormais e suas propriedades.
• Veremos futuramente que o estudo de transformações lineares
nesses espaços se torna bastante enriquecido.
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Objetivos
• Veremos tipos especiais de espaços vetoriais que possuem uma
estrutura refinada que nos proporcionará desenvolver alguns
aspectos geométricos, tais como: norma de um vetor e ângulo e
distância entre vetores. O ápice será atingido com o conceito de
bases ortonormais e suas propriedades.
• Veremos futuramente que o estudo de transformações lineares
nesses espaços se torna bastante enriquecido.
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Objetivos
• Veremos tipos especiais de espaços vetoriais que possuem uma
estrutura refinada que nos proporcionará desenvolver alguns
aspectos geométricos, tais como: norma de um vetor e ângulo e
distância entre vetores. O ápice será atingido com o conceito de
bases ortonormais e suas propriedades.
• Veremos futuramente que o estudo de transformações lineares
nesses espaços se torna bastante enriquecido.
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Objetivos
• Veremos tipos especiais de espaços vetoriais que possuem uma
estrutura refinada que nos proporcionará desenvolver alguns
aspectos geométricos, tais como: norma de um vetor e ângulo e
distância entre vetores. O ápice será atingido com o conceito de
bases ortonormais e suas propriedades.
• Veremos futuramente que o estudo de transformações lineares
nesses espaços se torna bastante enriquecido.
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno
Definição
Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → R que a cada par (u, v) ∈ V × V associa um número
real denotado por 〈u, v〉 satisfazendo as seguintes propriedades:
1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 para todos u, v ,w ∈ V ,
2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 para todos u, v ∈ V ,
3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R,
4 〈u,u〉 > 0 se u 6= 0.
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de
espaço euclideano (ou espaço com produto interno).
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Produto interno - propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
1 〈0,u〉 = 0 para todo u ∈ V , pois 〈0,u〉 = 〈0+ 0,u〉 = 〈0,u〉+ 〈0,u〉
e o resultado segue adicionando −〈0,u〉 em ambos os lados.
2 〈u, v + αw〉 = 〈u, v〉+ α〈u,w〉 para todos u, v ∈ V , pois basta
usar, em ordem, os item 3), 1) e 2) da definição de produto
interno.
Ao apresentar a expressão que define uma função que tem a
propriedade de ser um produto interno, pode-se dizer que “a
expressão define um produto interno” ao invés do formalismo
completo “a função dada por tal expressão define um produto interno”.
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Produto interno - propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
1 〈0,u〉 = 0 para todo u ∈ V , pois 〈0,u〉 = 〈0+ 0,u〉 = 〈0,u〉+ 〈0,u〉
eo resultado segue adicionando −〈0,u〉 em ambos os lados.
2 〈u, v + αw〉 = 〈u, v〉+ α〈u,w〉 para todos u, v ∈ V , pois basta
usar, em ordem, os item 3), 1) e 2) da definição de produto
interno.
Ao apresentar a expressão que define uma função que tem a
propriedade de ser um produto interno, pode-se dizer que “a
expressão define um produto interno” ao invés do formalismo
completo “a função dada por tal expressão define um produto interno”.
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Produto interno - propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
1 〈0,u〉 = 0 para todo u ∈ V , pois 〈0,u〉 = 〈0+ 0,u〉 = 〈0,u〉+ 〈0,u〉
e o resultado segue adicionando −〈0,u〉 em ambos os lados.
2 〈u, v + αw〉 = 〈u, v〉+ α〈u,w〉 para todos u, v ∈ V , pois basta
usar, em ordem, os item 3), 1) e 2) da definição de produto
interno.
Ao apresentar a expressão que define uma função que tem a
propriedade de ser um produto interno, pode-se dizer que “a
expressão define um produto interno” ao invés do formalismo
completo “a função dada por tal expressão define um produto interno”.
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Produto interno - propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
1 〈0,u〉 = 0 para todo u ∈ V , pois 〈0,u〉 = 〈0+ 0,u〉 = 〈0,u〉+ 〈0,u〉
e o resultado segue adicionando −〈0,u〉 em ambos os lados.
2 〈u, v + αw〉 = 〈u, v〉+ α〈u,w〉 para todos u, v ∈ V , pois basta
usar, em ordem, os item 3), 1) e 2) da definição de produto
interno.
Ao apresentar a expressão que define uma função que tem a
propriedade de ser um produto interno, pode-se dizer que “a
expressão define um produto interno” ao invés do formalismo
completo “a função dada por tal expressão define um produto interno”.
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Produto interno - propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
1 〈0,u〉 = 0 para todo u ∈ V , pois 〈0,u〉 = 〈0+ 0,u〉 = 〈0,u〉+ 〈0,u〉
e o resultado segue adicionando −〈0,u〉 em ambos os lados.
2 〈u, v + αw〉 = 〈u, v〉+ α〈u,w〉 para todos u, v ∈ V , pois basta
usar, em ordem, os item 3), 1) e 2) da definição de produto
interno.
Ao apresentar a expressão que define uma função que tem a
propriedade de ser um produto interno, pode-se dizer que “a
expressão define um produto interno” ao invés do formalismo
completo “a função dada por tal expressão define um produto interno”.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n =3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
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Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 7 / 29
Produto interno - exemplo fundamental
• Considere o espaço vetorial Rn. Se, para
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, definirmos
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
então essa função é um produto interno. Esse produto interno é
chamado de produto interno canônico do Rn.
Para ver isso, é necessário verificar a validade das propriedades
1)-4): sejam
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn. Então,
1 〈x + y , z〉 =∑ni=1(xi + yi)zi =∑ni=1 xizi +∑ni=1 yizi = 〈x , z〉+ 〈y , z〉,
2 〈αx , y〉 =∑ni=1(αxi)yi =∑ni=1 α(xiyi) = α∑ni=1 xiyi = α〈x , y〉,
3 〈x , y〉 =∑ni=1 xiyi =∑ni=1 yixi = 〈y , x〉,
4 〈x , x〉 =∑ni=1 xixi =∑ni=1 x2i > 0 se (x1, . . . , xn) 6= (0, . . . ,0).
Em particular,
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1, . . . ,en} de Rn.
2) Suponha n = 3 e calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
3) Suponha n = 2 e calcule 〈(cosθ, senθ), (cosα, senα)〉.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 7 / 29
Produto interno - exercício
• Considere o espaço vetorial R3. Para
X = (x , y , z),Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3, verifique que
〈X ,Y 〉 = 1
2
xx ′ +
1
3
yy ′ +
1
4
zz ′
define um produto interno em R3.
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1,e2,e3} de R3.
2) Calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
• Se f ,g ∈ C([a,b],R), verifique que
〈f ,g〉 =
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define um produto interno em C([a,b],R), chamado de produto
interno canônico do espaço C([a,b],R).
Calcule 〈sen(x), cos(x)〉 considerando [a,b] = [0,2pi].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 8 / 29
Produto interno - exercício
• Considere o espaço vetorial R3. Para
X = (x , y , z),Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3, verifique que
〈X ,Y 〉 = 1
2
xx ′ +
1
3
yy ′ +
1
4
zz ′
define um produto interno em R3.
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1,e2,e3} de R3.
2) Calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
• Se f ,g ∈ C([a,b],R), verifique que
〈f ,g〉 =
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define um produto interno em C([a,b],R), chamado de produto
interno canônico do espaço C([a,b],R).
Calcule 〈sen(x), cos(x)〉 considerando [a,b] = [0,2pi].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 8 / 29
Produto interno - exercício
• Considere o espaço vetorial R3. Para
X = (x , y , z),Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3, verifique que
〈X ,Y 〉 = 1
2
xx ′ +
1
3
yy ′ +
1
4
zz ′
define um produto interno em R3.
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1,e2,e3} de R3.
2) Calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
• Se f ,g ∈ C([a,b],R), verifique que
〈f ,g〉 =
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define um produto interno em C([a,b],R), chamado de produto
interno canônico do espaço C([a,b],R).
Calcule 〈sen(x), cos(x)〉 considerando [a,b] = [0,2pi].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 8 / 29
Produto interno - exercício
• Considere o espaço vetorial R3. Para
X = (x , y , z),Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3, verifique que
〈X ,Y 〉 = 1
2
xx ′ +
1
3
yy ′ +
1
4
zz ′
define um produto interno em R3.
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1,e2,e3} de R3.
2) Calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
• Se f ,g ∈ C([a,b],R), verifique que
〈f ,g〉 =
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define um produto interno em C([a,b],R), chamado de produto
interno canônico do espaço C([a,b],R).
Calcule 〈sen(x), cos(x)〉 considerando [a,b] = [0,2pi].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 8 / 29
Produto interno - exercício
• Considere o espaço vetorial R3. Para
X = (x , y , z),Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3, verifique que
〈X ,Y 〉 = 1
2
xx ′ +
1
3
yy ′ +
1
4
zz ′
define um produto interno em R3.
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1,e2,e3} de R3.
2) Calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
• Se f ,g ∈ C([a,b],R), verifique que
〈f ,g〉 =
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define um produto interno em C([a,b],R), chamado de produto
interno canônico do espaço C([a,b],R).
Calcule 〈sen(x), cos(x)〉 considerando [a,b] = [0,2pi].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 8 / 29
Produto interno - exercício
• Considere o espaço vetorial R3. Para
X = (x , y , z),Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3, verifique que
〈X ,Y 〉 = 1
2
xx ′ +
1
3
yy ′ +
14
zz ′
define um produto interno em R3.
1) Calcule 〈ei ,ej〉 para a base canônica {e1,e2,e3} de R3.
2) Calcule 〈(1,−1,1), (0,2,4)〉.
• Se f ,g ∈ C([a,b],R), verifique que
〈f ,g〉 =
∫ b
a
f (x)g(x)dx
define um produto interno em C([a,b],R), chamado de produto
interno canônico do espaço C([a,b],R).
Calcule 〈sen(x), cos(x)〉 considerando [a,b] = [0,2pi].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 8 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exemplo
• Sejam A = (aij),B = (bij) ∈ Mm×n. A função
〈A,B〉 =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijbij
define um produto interno em Mm×n, pois, para para
A = (aij),B = (bij),C = (cij) ∈ Mm×n, temos
1 〈A+ B,C〉 =∑mi=1∑nj=1(aij + bij)cij =∑m
i=1
∑n
j=1 aijcij +
∑m
i=1
∑n
j=1 bijcij = 〈A,C〉+ 〈B,C〉,
2 〈αA,B〉 =∑mi=1∑nj=1(αaij)bij = α∑mi=1∑nj=1 aijbij = α〈A,B〉,
3 〈A,B〉 =∑mi=1∑nj=1 aijbij =∑mi=1∑nj=1 bijaij = 〈B,A〉,
4 〈A,A〉 =∑mi=1∑nj=1 aijaij =∑mi=1∑nj=1 a2ij > 0 se algum aij 6= 0, que
é o caso quando A 6= 0.
Esse produto interno é chamado de produto interno canônico do
espaço Mm×n.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 9 / 29
Produto interno - exercício
• Relembre que o traço de uma matriz quadrada A = (aij) é a soma
dos elementos de sua diagonal principal, i.e
∑n
i=1 aii , e é
denotado por tr(A). Mostre que, se A,B ∈ Mn, então
〈A,B〉 = tr(BtA) define um produto interno em Mn.
• Verifique se a função 〈·, ·〉definida em P3 ×P3 (assumindo valores
em R) dada por 〈p,q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3, para todo
p = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,q = b0 + b1x + b2x2 + b3x3, define
um produto interno em P3.
• Verifique se as funções abaixo definem um produto interno em R3:
(1) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′,
(2) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′ − zz ′,
para todos X = (x , y , z), Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 10 / 29
Produto interno - exercício
• Relembre que o traço de uma matriz quadrada A = (aij) é a soma
dos elementos de sua diagonal principal, i.e
∑n
i=1 aii , e é
denotado por tr(A). Mostre que, se A,B ∈ Mn, então
〈A,B〉 = tr(BtA) define um produto interno em Mn.
• Verifique se a função 〈·, ·〉definida em P3 ×P3 (assumindo valores
em R) dada por 〈p,q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3, para todo
p = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,q = b0 + b1x + b2x2 + b3x3, define
um produto interno em P3.
• Verifique se as funções abaixo definem um produto interno em R3:
(1) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′,
(2) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′ − zz ′,
para todos X = (x , y , z), Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 10 / 29
Produto interno - exercício
• Relembre que o traço de uma matriz quadrada A = (aij) é a soma
dos elementos de sua diagonal principal, i.e
∑n
i=1 aii , e é
denotado por tr(A). Mostre que, se A,B ∈ Mn, então
〈A,B〉 = tr(BtA) define um produto interno em Mn.
• Verifique se a função 〈·, ·〉definida em P3 ×P3 (assumindo valores
em R) dada por 〈p,q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3, para todo
p = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,q = b0 + b1x + b2x2 + b3x3, define
um produto interno em P3.
• Verifique se as funções abaixo definem um produto interno em R3:
(1) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′,
(2) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′ − zz ′,
para todos X = (x , y , z), Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 10 / 29
Produto interno - exercício
• Relembre que o traço de umamatriz quadrada A = (aij) é a soma
dos elementos de sua diagonal principal, i.e
∑n
i=1 aii , e é
denotado por tr(A). Mostre que, se A,B ∈ Mn, então
〈A,B〉 = tr(BtA) define um produto interno em Mn.
• Verifique se a função 〈·, ·〉definida em P3 ×P3 (assumindo valores
em R) dada por 〈p,q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3, para todo
p = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,q = b0 + b1x + b2x2 + b3x3, define
um produto interno em P3.
• Verifique se as funções abaixo definem um produto interno em R3:
(1) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′,
(2) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′ − zz ′,
para todos X = (x , y , z), Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 10 / 29
Produto interno - exercício
• Relembre que o traço de uma matriz quadrada A = (aij) é a soma
dos elementos de sua diagonal principal, i.e
∑n
i=1 aii , e é
denotado por tr(A). Mostre que, se A,B ∈ Mn, então
〈A,B〉 = tr(BtA) define um produto interno em Mn.
• Verifique se a função 〈·, ·〉definida em P3 ×P3 (assumindo valores
em R) dada por 〈p,q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3, para todo
p = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,q = b0 + b1x + b2x2 + b3x3, define
um produto interno em P3.
• Verifique se as funções abaixo definem um produto interno em R3:
(1) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′,
(2) 〈X ,Y 〉 = xx ′ + yy ′ − zz ′,
para todos X = (x , y , z), Y = (x ′, y ′, z ′) ∈ R3.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 10 / 29
Norma
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Para cada u ∈ V
o número ‖u‖ =√〈u,u〉 é chamado de norma de u.
Observação: Note que
√〈u,u〉 está bem definido pois 〈u,u〉 ≥ 0.
Exemplo fundamental
Em Rn, com o produto interno definido por
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
para x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, temos
‖x‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n .
Note que, para n = 1,2,3, a norma do vetor x representa o
comprimento de x tal como visto na Geometria Analítica.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 11 / 29
Norma
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Para cada u ∈ V
o número ‖u‖ =√〈u,u〉 é chamado de norma de u.
Observação: Note que
√〈u,u〉 está bem definido pois 〈u,u〉 ≥ 0.
Exemplo fundamental
Em Rn, com o produto interno definido por
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
para x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, temos
‖x‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n .
Note que, para n = 1,2,3, a norma do vetor x representa o
comprimento de x tal como visto na Geometria Analítica.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 11 / 29
Norma
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Para cada u ∈ V
o número ‖u‖ =√〈u,u〉 é chamado de norma de u.
Observação: Note que
√〈u,u〉 está bem definido pois 〈u,u〉 ≥ 0.
Exemplo fundamental
Em Rn, com o produto interno definido por
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
para x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, temos
‖x‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n .
Note que, para n = 1,2,3, a norma do vetor x representa o
comprimento de x tal como visto na Geometria Analítica.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 11 / 29
Norma
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Para cada u ∈ V
o número ‖u‖ =√〈u,u〉 é chamado de norma de u.
Observação: Note que
√〈u,u〉 está bem definido pois 〈u,u〉 ≥ 0.
Exemplo fundamental
Em Rn, com o produto interno definido por
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
para x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, temos
‖x‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n .
Note que, para n = 1,2,3, a norma do vetor x representa o
comprimento de x tal como visto na Geometria Analítica.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 11 / 29
Norma
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Para cada u ∈ V
o número ‖u‖ =√〈u,u〉 é chamado de norma de u.
Observação: Note que
√〈u,u〉 está bem definido pois 〈u,u〉 ≥ 0.
Exemplo fundamental
Em Rn, com o produto interno definido por
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
para x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, temos
‖x‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n .
Note que, para n = 1,2,3, a norma do vetor x representa o
comprimento de x tal como visto na Geometria Analítica.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 11 / 29
Norma
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Para cada u ∈ V
o número ‖u‖ =√〈u,u〉 é chamado de norma de u.
Observação: Note que
√〈u,u〉 está bem definido pois 〈u,u〉 ≥ 0.
Exemplo fundamental
Em Rn, com o produto interno definido por
〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
para x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, temos
‖x‖ =
√
x21 + · · ·+ x2n .
Note que, para n = 1,2,3, a norma do vetor x representa o
comprimento de x tal como visto na Geometria Analítica.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 11 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma - Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
Norma -Propriedades
Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então,
Proposição
1 ‖αu‖ = |α| ‖u‖, para todos u ∈ V e α ∈ R.
2 ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V .
3 ‖u‖ = 0 se, e somente se, u = 0.
4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
5 (Desigualdade Triangular)
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 12 / 29
De volta aos exemplos...
1 Observe que a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada ao
produto interno canônico do Rn nos diz que
(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2n )(y21 + · · ·+ y2n ).
2 A mesma desigualdade aplicada ao produto interno canônico de
C([a,b],R) fornece(∫ b
a
f (x)g(x)dx
)2
≤
∫ b
a
f (x)2dx
∫ b
a
g(x)2dx .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 13 / 29
De volta aos exemplos...
1 Observe que a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada ao
produto interno canônico do Rn nos diz que
(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2n )(y21 + · · ·+ y2n ).
2 A mesma desigualdade aplicada ao produto interno canônico de
C([a,b],R) fornece(∫ b
a
f (x)g(x)dx
)2
≤
∫ b
a
f (x)2dx
∫ b
a
g(x)2dx .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 13 / 29
De volta aos exemplos...
1 Observe que a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada ao
produto interno canônico do Rn nos diz que
(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2n )(y21 + · · ·+ y2n ).
2 A mesma desigualdade aplicada ao produto interno canônico de
C([a,b],R) fornece(∫ b
a
f (x)g(x)dx
)2
≤
∫ b
a
f (x)2dx
∫ b
a
g(x)2dx .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 13 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Identidades
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v ∈ V . Então,
1 (Identidade do Paralelogramo)
‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
2 (O produto interno a partir das normas)
‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 = 4 〈u, v〉 .
Exercício Resolvido
Calcule 〈u, v〉 sabendo-se que ‖u + v‖ = ‖u − v‖.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 14 / 29
Exercícios
1
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 15 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Define-se a distância entre dois vetores u, v ∈ V como
d(u, v) := ‖u − v‖ .
Como consequência das propriedades da norma, temos:
Proposição
1 d(u, v) ≥ 0, para todos u, v ∈ V .
2 d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
3 d(u, v) = d(v ,u), para todos u, v ∈ V .
4 d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w , v), para todos u, v ,w ∈ V .
Observação: No caso de Rn com n = 1,2,3, essa noção de
distância coincide com a distância no sentido prático definido na G.A..
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 16 / 29
Distância - exercícios
1 Com relação ao produto interno canônico do R4, calcule a
distância entre os pontos u = (1,1,3,2) e v = (2,2,1,0).
Resposta: d(u, v) =
√
10.
2 Com relação ao produto interno canônico do espaço C([0,2pi],R),
calcule a distância entre as funções sen e cos.
Resposta: d(sen, cos) =
√
2pi.
3 Com relação ao produto interno 〈M,N〉 = tr(N tM) do espaço M3,
calcule a distância entre as matrizes
M =
1 2 34 5 6
1 1 1
 e N =
1 2 10 0 1
2 2 2
 .
Resposta: d(M,N) =
√
51.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 17 / 29
Distância - exercícios
1 Com relação ao produto interno canônico do R4, calcule a
distância entre os pontos u = (1,1,3,2) e v = (2,2,1,0).
Resposta: d(u, v) =
√
10.
2 Com relação ao produto interno canônico do espaço C([0,2pi],R),
calcule a distância entre as funções sen e cos.
Resposta: d(sen, cos) =
√
2pi.
3 Com relação ao produto interno 〈M,N〉 = tr(N tM) do espaço M3,
calcule a distância entre as matrizes
M =
1 2 34 5 6
1 1 1
 e N =
1 2 10 0 1
2 2 2
 .
Resposta: d(M,N) =
√
51.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 17 / 29
Distância - exercícios
1 Com relação ao produto interno canônico do R4, calcule a
distância entre os pontos u = (1,1,3,2) e v = (2,2,1,0).
Resposta: d(u, v) =
√
10.
2 Com relação ao produto interno canônico do espaço C([0,2pi],R),
calcule a distância entre as funções sen e cos.
Resposta: d(sen, cos) =
√
2pi.
3 Com relação ao produto interno 〈M,N〉 = tr(N tM) do espaço M3,
calcule a distância entre as matrizes
M =
1 2 34 5 6
1 1 1
 e N =
1 2 10 0 1
2 2 2
 .
Resposta: d(M,N) =
√
51.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 17 / 29
Distância - exercícios
1 Com relação ao produto interno canônico do R4, calcule a
distância entre os pontos u = (1,1,3,2) e v = (2,2,1,0).
Resposta: d(u, v) =
√
10.
2 Com relação ao produto interno canônico do espaço C([0,2pi],R),
calcule a distância entre as funções sen e cos.
Resposta: d(sen, cos) =
√
2pi.
3 Com relação ao produto interno 〈M,N〉 = tr(N tM) do espaço M3,
calcule a distância entre as matrizes
M =
1 2 34 5 6
1 1 1
 e N =
1 2 10 0 1
2 2 2
 .
Resposta: d(M,N) =
√
51.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 17 / 29
AULA 13
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 18 / 29
Ângulo
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e u, v ∈ V \ {0}.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
−‖u‖ ‖v‖ ≤ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ ,
ou ainda,
−1 ≤ 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ≤ 1.
Desta forma, existe um único número real θ ∈ [0, pi] tal que
cosθ =
〈u, v〉
‖u‖ ‖v‖ .
Definição
Esse número θ é chamado de ângulo entre os vetores u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 19 / 29
Ângulo
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e u, v ∈ V \ {0}.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
−‖u‖ ‖v‖ ≤ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ ,
ou ainda,
−1 ≤ 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ≤ 1.
Desta forma, existe um único número real θ ∈ [0, pi] tal que
cosθ =
〈u, v〉
‖u‖ ‖v‖ .
Definição
Esse número θ é chamado de ângulo entre os vetores u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 19 / 29
Ângulo
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e u, v ∈ V \ {0}.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
−‖u‖ ‖v‖ ≤ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ ,
ou ainda,
−1 ≤ 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ≤ 1.
Desta forma, existe um único número real θ ∈ [0, pi] tal que
cosθ =
〈u, v〉
‖u‖ ‖v‖ .
Definição
Esse número θ é chamado de ângulo entre os vetores u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 19 / 29
Exercício
Exercício
1 Dados dois vetores x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, calcule
o ângulo entre x e y .
2 Calcule o ângulo entre as funções seno e coseno definidas em
[0,2pi] com o produto interno canônico de C([0,2pi],R).
3 Sabe-se que ‖u‖ = ‖v‖ = 1 e ‖u − v‖ = 2. Calcule o ângulo
entre u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 20 / 29
Exercício
Exercício
1 Dados dois vetores x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, calcule
o ângulo entre x e y .
2 Calcule o ângulo entre as funções seno e coseno definidas em
[0,2pi] com o produto interno canônico de C([0,2pi],R).
3 Sabe-se que ‖u‖ = ‖v‖ = 1 e ‖u − v‖ = 2. Calcule o ângulo
entre u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 20 / 29
Exercício
Exercício
1 Dados dois vetores x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, calcule
o ângulo entre x e y .
2 Calcule o ângulo entre as funções seno e coseno definidas em
[0,2pi] com o produto interno canônico de C([0,2pi],R).
3 Sabe-se que ‖u‖ = ‖v‖ = 1 e ‖u − v‖ = 2. Calcule o ângulo
entre u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 20 / 29
Exercício
Exercício
1 Dados dois vetores x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, calcule
o ângulo entre x e y .
2 Calcule o ângulo entre as funções seno e coseno definidas em
[0,2pi] com o produto interno canônico de C([0,2pi],R).
3 Sabe-se que ‖u‖ = ‖v‖ = 1 e ‖u − v‖ = 2. Calcule o ângulo
entre u e v .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 20 / 29
Ortogonalidade
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais se 〈u, v〉 = 0 e, neste caso,
denotaremos u ⊥ v .
• Dizemos que um conjunto S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é ortogonal se
ui ⊥ uj quando i 6= j .
• Dizemos que um conjunto ortogonal S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é
ortonormal se ‖ui‖ = 1 para i = 1, . . . ,n
• Dizemos que u ∈ V é ortogonal a um subconjunto não vazio
S ⊂ V se for ortogonal a todos os elementos de S. Neste caso
usaremos a notação u ⊥ S.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 21 / 29
Ortogonalidade
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais se 〈u, v〉 = 0 e, neste caso,
denotaremos u ⊥ v .
• Dizemos que um conjunto S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é ortogonal se
ui ⊥ uj quando i 6=j .
• Dizemos que um conjunto ortogonal S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é
ortonormal se ‖ui‖ = 1 para i = 1, . . . ,n
• Dizemos que u ∈ V é ortogonal a um subconjunto não vazio
S ⊂ V se for ortogonal a todos os elementos de S. Neste caso
usaremos a notação u ⊥ S.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 21 / 29
Ortogonalidade
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais se 〈u, v〉 = 0 e, neste caso,
denotaremos u ⊥ v .
• Dizemos que um conjunto S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é ortogonal se
ui ⊥ uj quando i 6= j .
• Dizemos que um conjunto ortogonal S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é
ortonormal se ‖ui‖ = 1 para i = 1, . . . ,n
• Dizemos que u ∈ V é ortogonal a um subconjunto não vazio
S ⊂ V se for ortogonal a todos os elementos de S. Neste caso
usaremos a notação u ⊥ S.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 21 / 29
Ortogonalidade
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais se 〈u, v〉 = 0 e, neste caso,
denotaremos u ⊥ v .
• Dizemos que um conjunto S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é ortogonal se
ui ⊥ uj quando i 6= j .
• Dizemos que um conjunto ortogonal S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é
ortonormal se ‖ui‖ = 1 para i = 1, . . . ,n
• Dizemos que u ∈ V é ortogonal a um subconjunto não vazio
S ⊂ V se for ortogonal a todos os elementos de S. Neste caso
usaremos a notação u ⊥ S.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 21 / 29
Ortogonalidade
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais se 〈u, v〉 = 0 e, neste caso,
denotaremos u ⊥ v .
• Dizemos que um conjunto S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é ortogonal se
ui ⊥ uj quando i 6= j .
• Dizemos que um conjunto ortogonal S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é
ortonormal se ‖ui‖ = 1 para i = 1, . . . ,n
• Dizemos que u ∈ V é ortogonal a um subconjunto não vazio
S ⊂ V se for ortogonal a todos os elementos de S. Neste caso
usaremos a notação u ⊥ S.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 21 / 29
Ortogonalidade
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
Definição
Dizemos que u, v ∈ V são ortogonais se 〈u, v〉 = 0 e, neste caso,
denotaremos u ⊥ v .
• Dizemos que um conjunto S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é ortogonal se
ui ⊥ uj quando i 6= j .
• Dizemos que um conjunto ortogonal S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é
ortonormal se ‖ui‖ = 1 para i = 1, . . . ,n
• Dizemos que u ∈ V é ortogonal a um subconjunto não vazio
S ⊂ V se for ortogonal a todos os elementos de S. Neste caso
usaremos a notação u ⊥ S.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 21 / 29
Observações
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
• Se u = 0 ou v = 0, então u ⊥ v .
• Se u, v 6= 0, então u ⊥ v se, e somente se, o ângulo entre u e v é
pi
2 .
• Se S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortogonal com uj 6= 0
para j = 1, . . . ,n, então
S = { u1‖u1‖ , . . . ,
un
‖un‖}
é um conjunto ortonormal.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 22 / 29
Observações
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
• Se u = 0 ou v = 0, então u ⊥ v .
• Se u, v 6= 0, então u ⊥ v se, e somente se, o ângulo entre u e v é
pi
2 .
• Se S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortogonal com uj 6= 0
para j = 1, . . . ,n, então
S = { u1‖u1‖ , . . . ,
un
‖un‖}
é um conjunto ortonormal.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 22 / 29
Observações
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
• Se u = 0 ou v = 0, então u ⊥ v .
• Se u, v 6= 0, então u ⊥ v se, e somente se, o ângulo entre u e v é
pi
2 .
• Se S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortogonal com uj 6= 0
para j = 1, . . . ,n, então
S = { u1‖u1‖ , . . . ,
un
‖un‖}
é um conjunto ortonormal.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 22 / 29
Observações
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
• Se u = 0 ou v = 0, então u ⊥ v .
• Se u, v 6= 0, então u ⊥ v se, e somente se, o ângulo entre u e v é
pi
2 .
• Se S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortogonal com uj 6= 0
para j = 1, . . . ,n, então
S = { u1‖u1‖ , . . . ,
un
‖un‖}
é um conjunto ortonormal.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 22 / 29
Observações
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉.
• Se u = 0 ou v = 0, então u ⊥ v .
• Se u, v 6= 0, então u ⊥ v se, e somente se, o ângulo entre u e v é
pi
2 .
• Se S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortogonal com uj 6= 0
para j = 1, . . . ,n, então
S = { u1‖u1‖ , . . . ,
un
‖un‖}
é um conjunto ortonormal.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 22 / 29
Exercícios
1 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por n
vetores em Rn, considerando o produto interno canônico.
2 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n2 vetores em Mn, considerando o produto interno canônico.
3 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n + 1 vetores em Pn com relação ao produto interno dado por
〈p,q〉 =∑ni=0 aibi , para todos p =∑ni=0 aix i , q =∑ni=0 bix i ∈ Pn.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 23 / 29
Exercícios
1 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por n
vetores em Rn, considerando o produto interno canônico.
2 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n2 vetores em Mn, considerando o produto interno canônico.
3 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n + 1 vetores em Pn com relação ao produto interno dado por
〈p,q〉 =∑ni=0 aibi , para todos p =∑ni=0 aix i , q =∑ni=0 bix i ∈ Pn.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 23 / 29
Exercícios
1 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por n
vetores em Rn, considerando o produto interno canônico.
2 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n2 vetores em Mn, considerando o produto interno canônico.
3 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n + 1 vetores em Pn com relação ao produto interno dado por
〈p,q〉 =∑ni=0 aibi , para todos p =∑ni=0 aix i , q =∑ni=0 bix i ∈ Pn.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 23 / 29
Exercícios
1 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por n
vetores em Rn, considerando o produto interno canônico.
2 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n2 vetores em Mn, considerando o produto interno canônico.
3 Construa um exemplo de um conjunto ortonormal formados por
n + 1 vetores em Pn com relação ao produto interno dado por
〈p,q〉 =∑ni=0 aibi , para todos p =∑ni=0 aix i , q =∑ni=0 bix i ∈ Pn.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 23 / 29
Propriedades
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Se
S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortonormal (ou ortogonal com
elementos não nulos), então u1, . . . ,un são l.i.
Definição
Se V é um espaço vetorial de dimensão n com produto interno 〈·, ·〉 e
{u1, . . . ,un} ⊂ V formam um conjunto ortonormal, então diremos que
estes vetores formam uma base ortonormal de V .
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 que possui uma
base ortonormal {u1, . . . ,un} ⊂ V . Então, cada u ∈ V se escreve
como
u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 24 / 29
Propriedades
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Se
S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortonormal (ou ortogonal com
elementos não nulos), então u1, . . . ,un são l.i.
Definição
Se V é um espaço vetorial de dimensão n com produto interno 〈·, ·〉 e
{u1, . . . ,un} ⊂ V formam um conjunto ortonormal, então diremos que
estes vetores formam uma base ortonormal de V .
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 que possui uma
base ortonormal {u1, . . . ,un} ⊂ V . Então, cada u ∈ V se escreve
como
u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 24 / 29
Propriedades
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Se
S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjuntoortonormal (ou ortogonal com
elementos não nulos), então u1, . . . ,un são l.i.
Definição
Se V é um espaço vetorial de dimensão n com produto interno 〈·, ·〉 e
{u1, . . . ,un} ⊂ V formam um conjunto ortonormal, então diremos que
estes vetores formam uma base ortonormal de V .
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 que possui uma
base ortonormal {u1, . . . ,un} ⊂ V . Então, cada u ∈ V se escreve
como
u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 24 / 29
Propriedades
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Se
S = {u1, . . . ,un} ⊂ V é um conjunto ortonormal (ou ortogonal com
elementos não nulos), então u1, . . . ,un são l.i.
Definição
Se V é um espaço vetorial de dimensão n com produto interno 〈·, ·〉 e
{u1, . . . ,un} ⊂ V formam um conjunto ortonormal, então diremos que
estes vetores formam uma base ortonormal de V .
Proposição
Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 que possui uma
base ortonormal {u1, . . . ,un} ⊂ V . Então, cada u ∈ V se escreve
como
u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 24 / 29
Exercícios
Exercício
1 Encontre todas as bases ortonormais de R2 com relação ao
produto interno canônico.
2 Encontre as coordenadas de (1,1) ∈ R2 com relação à base
formada por (
√
2
2 ,
√
2
2 ) e (
√
2
2 ,−
√
2
2 ).
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 25 / 29
Exercícios
Exercício
1 Encontre todas as bases ortonormais de R2 com relação ao
produto interno canônico.
2 Encontre as coordenadas de (1,1) ∈ R2 com relação à base
formada por (
√
2
2 ,
√
2
2 ) e (
√
2
2 ,−
√
2
2 ).
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 25 / 29
Exercícios
Exercício
1 Encontre todas as bases ortonormais de R2 com relação ao
produto interno canônico.
2 Encontre as coordenadas de (1,1) ∈ R2 com relação à base
formada por (
√
2
2 ,
√
2
2 ) e (
√
2
2 ,−
√
2
2 ).
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 25 / 29
Propriedades - cont
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e
U = [u1, . . . ,un] o subespaço gerado por um conjunto ortonormal
S = {u1, . . . ,un}. Então para qualquer u ∈ V o vetor
v = u − (〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un) é ortogonal a U, i.e. v ⊥ U. Além
disso, v = 0 se, e somente se, u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un, i.e.
u ∈ U.
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e U ⊆ V . Se u ∈ U e
u ⊥ U, então u = 0 .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 26 / 29
Propriedades - cont
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e
U = [u1, . . . ,un] o subespaço gerado por um conjunto ortonormal
S = {u1, . . . ,un}. Então para qualquer u ∈ V o vetor
v = u − (〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un) é ortogonal a U, i.e. v ⊥ U. Além
disso, v = 0 se, e somente se, u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un, i.e.
u ∈ U.
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e U ⊆ V . Se u ∈ U e
u ⊥ U, então u = 0 .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 26 / 29
Propriedades - cont
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉 e
U = [u1, . . . ,un] o subespaço gerado por um conjunto ortonormal
S = {u1, . . . ,un}. Então para qualquer u ∈ V o vetor
v = u − (〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un) é ortogonal a U, i.e. v ⊥ U. Além
disso, v = 0 se, e somente se, u = 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un, i.e.
u ∈ U.
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno e U ⊆ V . Se u ∈ U e
u ⊥ U, então u = 0 .
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 26 / 29
Propriedades - cont
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉,
S = {u1, . . . ,un} e R = {v1, . . . , vn} conjuntos ortonormais de V tais
que [S] = [R]. Então, para cada u ∈ V temos
〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un = 〈u, v1〉 v1 + · · ·+ 〈u, vn〉 vn.
Definição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉,
S = {u1, . . . ,un} ⊆ V um conjunto ortonormal e U = [u1, . . . ,un]. Se
u ∈ V , o vetor 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un é chamado de projeção
ortogonal de u sobre o subespaço U.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 27 / 29
Propriedades - cont
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉,
S = {u1, . . . ,un} e R = {v1, . . . , vn} conjuntos ortonormais de V tais
que [S] = [R]. Então, para cada u ∈ V temos
〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un = 〈u, v1〉 v1 + · · ·+ 〈u, vn〉 vn.
Definição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉,
S = {u1, . . . ,un} ⊆ V um conjunto ortonormal e U = [u1, . . . ,un]. Se
u ∈ V , o vetor 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un é chamado de projeção
ortogonal de u sobre o subespaço U.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 27 / 29
Propriedades - cont
Proposição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉,
S = {u1, . . . ,un} e R = {v1, . . . , vn} conjuntos ortonormais de V tais
que [S] = [R]. Então, para cada u ∈ V temos
〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un = 〈u, v1〉 v1 + · · ·+ 〈u, vn〉 vn.
Definição
Sejam V um espaço vetorial com produto interno 〈·, ·〉,
S = {u1, . . . ,un} ⊆ V um conjunto ortonormal e U = [u1, . . . ,un]. Se
u ∈ V , o vetor 〈u,u1〉u1 + · · ·+ 〈u,un〉un é chamado de projeção
ortogonal de u sobre o subespaço U.
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 27 / 29
Exercícios
1 Com relação ao produto interno usual de R3, verifique que os
vetores u1 = ( 1√3 ,−
1√
3
, 1√
3
) e u2 = ( 1√2 ,
1√
2
,0) formam um
conjunto ortonormal e encontre a projeção ortogonal de
u = (2,3,1) sobre o subespaço gerado por {u1,u2}.
2 Considere P3 com o produto interno dado por
〈p,q〉 = ∫ 10 p(x)q(x)dx . Encontre a projeção de
p(x) = 1 + x + x2 + x3 sobre [q(x)] = [x3 − x ].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 28 / 29
Exercícios
1 Com relação ao produto interno usual de R3, verifique que os
vetores u1 = ( 1√3 ,−
1√
3
, 1√
3
) e u2 = ( 1√2 ,
1√
2
,0) formam um
conjunto ortonormal e encontre a projeção ortogonal de
u = (2,3,1) sobre o subespaço gerado por {u1,u2}.
2 Considere P3 com o produto interno dado por
〈p,q〉 = ∫ 10 p(x)q(x)dx . Encontre a projeção de
p(x) = 1 + x + x2 + x3 sobre [q(x)] = [x3 − x ].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 28 / 29
Exercícios
1 Com relação ao produto interno usual de R3, verifique que os
vetores u1 = ( 1√3 ,−
1√
3
, 1√
3
) e u2 = ( 1√2 ,
1√
2
,0) formam um
conjunto ortonormal e encontre a projeção ortogonal de
u = (2,3,1) sobre o subespaço gerado por {u1,u2}.
2 Considere P3 com o produto interno dado por
〈p,q〉 = ∫ 10 p(x)q(x)dx . Encontre a projeção de
p(x) = 1 + x + x2 + x3 sobre [q(x)] = [x3 − x ].
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 28 / 29
AULA 14
A.C.Bianchi (Unifesp) 10/03/2014 29 / 29