Grafico de funções

Prévia do material em texto

Uma função é contínua quando o traçado de seu gráfico pode ser feito sem 
retirarmos o lápis do papel, ou seja, sem interrupções no traçado. 
As descontinuidades podem ser de três tipos: salto, removível ou infinita. 
As descontinuidades por salto podem ocorrer em funções que sejam definidas 
por equações diferentes para cada região do domínio real 
As descontinuidades removíveis e infinitas ocorrem devido a presença da 
variável (x) no denominador da equação de definição da função. 
As descontinuidades removíveis ocorrem em funções onde o numerador ou o 
denominador pode ser fatorado e permita simplificação de fatores. 
As descontinuidades infinitas ocorrem quando não há possibilidade de 
fatoração de numerador ou denominador e posterior simplificação da equação. 
À esquerda do valor de x (que não pertence ao domínio), a função tende a infinito 
(negativo ou positivo) e à direita do valor de x (que não pertence ao domínio), a 
função tende a infinito (positivo ou negativo). 
 
a) A função 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 3 é contínua porque não apresenta denominador. 
 
 
 
b) A função 𝑦 =
𝑥2+5𝑥+6
𝑥+2
 é descontínua, porque no denominador tem-se o 
fator 𝑥 + 2 , ou seja, com a variável x. Este denominador nunca poderá ser 
nulo, pois não é possível realizar divisão por zero. Deve-se fazer 𝑥 + 2 ≠ 0 
ou 𝑥 ≠ −2. O domínio são todos os valores reais, com exceção de 𝑥 = −2. 
Observando o numerador 𝑥2 + 5𝑥 + 6 é possível reescrever por fatoração 
(𝑥 + 2). (𝑥 + 3). Pode-se escrever a equação original como 𝑦 =
𝑥2+5𝑥+6
𝑥+2
=
(𝑥+2).(𝑥+3)
𝑥+2
 e simplificar o fator 𝑥 + 2 do numerador e do 
denominador, resultando 𝑦 = 𝑥 + 3 . 
Quando ocorre a simplificação ocorre a remoção da descontinuidade. O Wimplot 
apresenta o gráfico após a remoção da descontinuidade. Antes da remoção da 
descontinuidade o gráfico seria uma reta com o ponto (-2,1) em aberto. 
 
 
c) A função 𝑦 =
3
𝑥−1
 apresenta a variável x no denominador, fazendo com 
que 𝑥 − 1 ≠ 0 ou 𝑥 ≠ 1. O domínio será o conjunto dos reais com exceção 
de 𝑥 = 1. No numerador não é possível realizar fatoração, logo não haverá 
possibilidade de simplificação e remoção da descontinuidade. Observa-se 
que à esquerda de x = 1, o traçado do gráfico mostra que o valor de y tende 
a menos infinito (−∞) e à direita de x = 1, o valor de y tende a mais infinito 
(+∞). A descontinuidade é infinita. 
 
 
 
 
 
d) A função 𝑦 =
𝑥−1
3
 é contínua, porque não ocorre a variável x no 
denominador da equação. Tem-se apenas o valor 3 no denominador (que é 
uma constante). 
 
 
e) A função 𝑦 =
𝑥+2
𝑥2+5𝑥+6
 é descontínua, com duas descontinuidades. A 
equação pode ser reescrita por fatoração como 𝑦 =
𝑥+2
𝑥2+5𝑥+6
=
𝑥+2
(𝑥+2).(𝑥+3)
 . As descontinuidades ocorrem em 𝑥 = −2 e 𝑥 = −3. É 
possível simplificar a expressão resultando 𝑦 =
𝑥+2
(𝑥+2).(𝑥+3)
=
1
𝑥+3
 . 
Quando ocorre uma simplificação, uma descontinuidade é removida (em 𝑥 =
−2). Resta uma descontinuidade (infinita) em 𝑥 = −3.